ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
(AWP)
Jednostka prowadząca:
Instytut Metrologii i In\
ynierii Biomedycznej
Autor programu:
dr in\
. Jerzy Arendarski
Metody szacowania niepewności
standardowych cząstkowych i zło\
onych
Niepewność standardowa zło\
ona
Y = f (X1, X ,..., X )
2 m
u11 u12 u13 u14 ... u1(m-1) u1m
�ł łł
�łu u22 u23 u24 ... u2(m-1) u2m śł
21
�ł śł
�ł śł
u31 u32 u33 u34 ... u3(m-1) u3m
�ł śł
�łu41 u42 u43 u44 ... u4(m-1) u4m śł
�ł śł
�ł śł
u(m-1)2 u(m-1)3 u(m-1)4 ... u(m-1)(m-1) u(m-1)m śł
�łu(m-1)1
�łum1 um2 um3 um4 ... um(m-1) umm śł
�ł �ł
2
m m - 1 m
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
" f " f
2 2
�ł �ł �ł �ł�ł " f �ł i j
u (y ) E" u (x )+ 2 (x )
c " i " "
�ł �ł �ł �ł�ł " x �ł u , x
" x " x
i = 1 i = 1 j = i + 1
�ł i łł �ł i łł�ł j
łł
Metoda typu A
Metoda typu A (metoda statystyczna) - obliczanie niepewności
standardowej na podstawie analizy serii pojedynczych obserwacji:
Na podstawie n wyników (x1, x2, ... xn-1, xn) oblicza się odchylenie
standardowe eksperymentalne ze wzoru:
2
�ł �ł
"�łxi -x �ł
�ł �ł
�ł łł
s(x )=
n-1
u (x) = s(x)
u( x)
�ł
u�ł x =
�ł �ł
�ł łł
n
Metoda typu A
X = (X + PŁ )ą k up(X )
s p
X = (X + PŁ )ą k up(X )/ n1
s p
X = (X + PŁ )ą k u(X)
s p,�
Metoda typu A
Metoda typu A
Metoda typu A
 Je\
eli laboratorium pomiarowe ma dość czasu i środków, mo\
e
prowadzić wyczerpujące badania statystyczne wszystkich mo\
liwych
przyczyn niepewności, stosując na przykład wiele ró\
nych
konstrukcji i rodzajów przyrządów pomiarowych, stosując ró\
ne
metody pomiaru, ró\
ne ich realizacje i ró\
ne aproksymacje ich
teoretycznych modeli. Niepewności powiązane ze wszystkimi
przyczynami mogą wtedy być obliczone drogą statystycznej analizy
serii obserwacji i ka\
da z nich mo\
e być scharakteryzowana przez
statystycznie obliczone odchylenie standardowe.
Metoda typu A
Metoda typu B
Dla estymaty xi wielkości Xi , nie wyznaczanej z powtarzalnych
obserwacji, estymatę jej wariancji u2(xi ) albo niepewność
standardową u(xi ) określa się na drodze analizy naukowej opartej
na wszystkich dostępnych informacjach o mo\
liwej zmienności Xi.
Zestaw tych informacji mo\
e obejmować:
poprzednie dane pomiarowe;
posiadane doświadczenie wraz z ogólną znajomością zjawisk i
właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów;
specyfikacje wytwórców;
dane uzyskane z kalibracji i certyfikacji;
niepewności przypisane danym odniesienia zaczerpniętym z
podręczników.
Metoda typu B
Metoda typu B - przykłady
Przykład 1.
Na podstawie poprzednich danych pomiarowych
W sprawozdaniu podano, \
e długość wahadła wynosi L = (92,95 ą 0,10) cm
oraz \
e niepewność rozszerzoną wyznaczono na poziomie ufności 1-ą
=0,95, przy zastosowaniu współczynnika rozszerzenia k = 2.
L+U(L)
L
U (L)
u(L) =
L-U(L)
2
Metoda typu B - przykłady
Przykład 2.
Na podstawie posiadanego doświadczenia wraz z ogólną znajomością zjawisk i
właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów
Do wyznaczenia poprawki temperaturowej potrzebny jest współczynnik
rozszerzalności cieplnej płytki wzorcowej, niestety w dostępnych materiałach jego
wartość nie jest podana. Doświadczony metrolog przyjmuje, \
e:
ą = (11,5ą1,5)�"10-6 K-1
�ą
ą+
2
ą
�ą
u(�ą)= =0,29�ą
�ą
ą-
2 3
2
-1
1,5�"10-6 K
-1
u(ą) = = 0,866�"10-6 K
3
Metoda typu B - przykłady
Przykład 4.
Na podstawie danych uzyskanych z kalibracji i certyfikacji
Ze świadectwa wzorcowania wynika, \
e błędy wskazań przyrządu nie
przekraczają dopuszczalnych wartości granicznych MPE (ą Eg)
W
+Eg
0
-Eg Eg
u(Eg)=
3
Metoda typu B - przykłady
Przykład 5.
Niepewność związana z rozdzielczością przyrządu, �x
�x
�
�
�
X+
+
+
+
2
X
�x
�
�
�
X-
-
-
-
2
�x
�
�
�
u(�x)= =0,29�x
� = = �
� = = �
� = = �
2 3
Niepewność standardowa zło\
ona
2
m
�ł �ł
"f
u(Y )=
"�ł "Xi �ł u2(Xi )
�ł �ł
1
�ł łł
Y = aX1ąX2� ...Xmł
2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
u(Y) u(X1)�ł + �2�ł u(X2)�ł + ...+ł2�ł u(Xm)�ł
�ł �ł �ł
= ą2�ł
Y X1 �ł X2 �ł Xm �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
Przykłady obliczania niepewności pomiaru
dwoma sposobami
Przykład 1.
Pomiar przyspieszenia ziemskiego g przy wykorzystaniu wahadła matematycznego
2
L
stąd
4Ą L
T = 2Ą
g =
2
g
T
Wyniki pomiarów bezpośrednich:
L= (92,95 ą 0,10)cm T= (1,936 ą 0,004)s 1-ą=0,95
cm
g = 979 ,04 ą U ( g )
2
s
Obliczenie niepewności pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób I
2 2
"g "g
" "
" "
" "
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
u( g ) = u2 ( L) + u2 (T )
= +
= +
= +
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
"L "T
" "
" "
" "
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
2 2
"g 4Ą 4Ą 1
" Ą Ą
" Ą Ą
" Ą Ą
= = = 10,5329
= = =
= = =
= = =
2 2 2 2
"L T 1,936 �" s s
" �"
" �"
" �"
2 2
"g 8Ą L 8Ą �" 92,95cm cm
" Ą Ą �"
" Ą Ą �"
" Ą Ą �"
= - = = 1011 ,4
= - = =
= - = =
= - = =
3 3 3 3
"T T 1,936 �" s s
" �"
" �"
" �"
u(L) = 0,05 cm u(T) = 0,002s
Obliczenie niepewności pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób I
2 2 2
u( g ) = 10,5329 �" 0,05 + 1011 ,42 �" 0,002 = 2,09
= �" + �" =
= �" + �" =
= �" + �" =
cm
u( g ) = 2,09
=
=
=
2
s
cm cm
U ( g ) = 4,18 H" 4
= H"
= H"
= H"
2 2
s s
cm
g = (979 ą 4)
= ą
= ą
= ą
2
s
Obliczenie niepewności pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób II
2 2
u( g ) u( L) u(T )
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł
= + 22 �ł
= +
= +
= +
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
g L T
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
u( L)
u(T )
%
= 0,054
=
=
=
%
= 0,10
=
=
=
L
T
u( g )
2 2
%
= 0,054 + 4 �" 0,103 = 0,213
= + �" =
= + �" =
= + �" =
g
cm cm
u( g ) = 979 �" 0,00213 = 2,09
= �" =
= �" =
= �" =
2 2
s s
Obliczenie niepewności pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób II
cm
U ( g ) H" 4
H"
H"
H"
2
s
cm
g = (979 ą 4)
= ą
= ą
= ą
2
s
Obliczenie niepewności pomiaru
pola przekroju - sposób I
Na poprzednim wykładzie niepewność standardową zło\
oną obliczono ze wzoru:
2 2
"Y "Y
�ł �ł �ł �ł
uc (Y ) = �" u2(A) + �" u2(B)
�ł �ł �ł �ł
"A "B
�ł łł �ł łł
I otrzymano wynik końcowy:
Y = (1000,0 ą 1,4) mm2
Obliczenie niepewności pomiaru
pola przekroju - sposób I
Przykład 2.
Pomiar pola przekroju płaskownika:
A
B
Równanie pomiaru:
Y = A * B
A = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;
B = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;
Y = A * B = 1000 mm2
Obliczenie niepewności pomiaru
pola przekroju - sposób II
2 2
uc (Y ) u(A) u(B)
�ł �ł �ł �ł
= +
�ł �ł �ł �ł
Y A B
�ł łł �ł łł
u(A)
= 0,05%
A
u(B)
= 0,05%
B
uc (Y )
= (0,05%)2 + (0,05%)2 = 0,0707% = 0,000707
Y
uc(Y) = 1000 mm2*0,000707=0,707 mm2
Uc(Y) 2* uc(Y)=1,4 mm2
Otrzymujemy taki sam wynik:
Y = (1000,0 ą 1,4) mm2
Obliczenie niepewności pomiaru
przeło\
enia dz
wigni- sposób I
Przykład 3: Pomiar przeło\
enia dz
wigni dwuramiennej:
A B
Równanie pomiaru: A
Y =
B
A = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
B = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;
A
Y = = 10
B
Obliczenie niepewności pomiaru
przeło\
enia dz
wigni- sposób I
Na poprzednim wykładzie niepewność standardową zło\
oną obliczono ze wzoru:
2 2
"Y "Y
�ł �ł �ł �ł
uc (Y ) = �" u2(A) + �" u2(B)
�ł �ł �ł �ł
"A "B
�ł łł �ł łł
i otrzymano wynik końcowy:
Y = 10,00 ą 0,10
Obliczenie niepewności pomiaru
przeło\
enia dz
wigni- sposób II
2 2
uc (Y ) u(A) u(B)
�ł �ł �ł �ł
= +
�ł �ł �ł �ł
Y A B
�ł łł �ł łł
u(A)
= 0,1%
A
u(B)
= 0,5%
B
uc (Y )
= (0,1%)2 + (0,5%)2 = 0,5099% = 0,005099
Y
uc(Y) = 10*0,005099=0,05099
Uc(Y) 2* uc(Y)=0,10
Otrzymujemy taki sam wynik:
Y = 10,00 ą 0,10
Bud\
et niepewności pomiaru
Y = f (X1, X ,..., X )
2 m
2
m
�ł �ł
"f
u(Y )=
"�ł "Xi �ł u2(Xi )
�ł �ł
1
�ł łł
Bud\
et niepewności pomiaru
Składowe niep.
Oszaco- Szerokość Wsp. Niepewn. Wsp.
Wielkość
połówkowa zło\
.
wanie rozrzutu standard. wpływu
1 2 3 4 5 6 7
Xi xi 0,5Ri k*i uB(Xi) ci ui(Y)
X1 x1 - - uA(X1) c1 u1(Y)
X-2 x2 - - uA(X2) c2 u2(Y)
X3 x3 0,5R3 k*3 uB(X3) c3 u3(Y)
... ... ... ... ... ... ...
Xm xm 0,5Rm k*m uB(Xm) cm um(Y)
Y y uc(Y)
U(Y) = k uc (Y)
Bud\
et niepewności pomiaru
Niepewność standardową uB(Xi) oblicza się ze wzoru
ai
( )
( )
( )=
uB(Xi )=
=
=
k*
i
Udziały poszczególnych niepewności cząstkowych w niepewności
zło\
onej wyznacza się ze wzoru:
"Y
"
"
"
( ) ( ) �" ( )
( ) ( )= �"
( )
( )= �" = �"
ui(Y )= ci �" u(Xi )= �" u(Xi )
= �" ( ) ( )
= �" =
"Xi
"
"
"
Niepewność standardową zło\
oną oblicza się korzystając ze wzoru:
m
2
u(Y )=
"u (Y )
i
1
Przykład postępowania przy obliczaniu
niepewności pomiaru bezpośredniego
1. Równanie pomiaru:
X =W + Pw + Prw + Pws
2. Równanie niepewności standardowej zło\
onej:
u(X ) = u2(W) + u2(Pw ) + u2(Prw ) + u2(Pws )
3. Niepewność standardowa poprawki wskazania:
U(Pw )
u(Pw ) =
Pw ąU(Pw )
2
2
2
Ek
�ł �ł U(Ew )
�ł �ł
u(Pw ) = +
�ł �ł �ł �ł
2
3
�ł łł
�ł łł
Eg
u(Pw ) =
3
Przykład postępowania przy obliczaniu
niepewności pomiaru bezpośredniego
4. Niepewność standardowa poprawki kompensującej błąd
rozdzielczości
d
d
u(P )=
Prw = 0 ą rw
2 2 3
5. Niepewność standardowa poprawki temperaturowej
u(Pt ) = Wą �" u(�t)
Przykład
Kontrola wału, którego średnica powinna nale\
eć do przedziału
[183,900 mm; 184,000 mm]
Pomiar średnicy mikrometrem: W = 183,955 mm
Przykład postępowania przy obliczaniu
niepewności pomiaru bezpośredniego
1. Równanie pomiaru:
X = W + Pw + Prw + Wą�t
2. Równanie niepewności standardowej zło\
onej:
2 2 2 2 2
u(X)= c1 u2(W)+c2 u2(Pw )+c3 u2(Prw )+c4 u2(ą )+c5 u2(�t )
Współczynniki wpływu:
c1 = c2 = c3 =1
c4 =W�t = 0
c5 =Wą
Przykład postępowania przy obliczaniu
niepewności pomiaru bezpośredniego
Szerokość Niepewn. Wsp. Składowe
Współ.
Wielkość Estymata
połówkowa rozrzutu standard. wpływu niep. zło\
.
1 2 3 4 5 6 7
Xi xi 0,5Ri k*i u (Xi) ci ui(Y)
W 183,955 - - 0,0012 1 0,0012
Pw 0 0,007 0,004 1 0,004
3
Pw 0
Prw 0 0,0005 0,0003 1 0,0003
3
0,00213
�t 0 3 1,73 0,0037
3
D 183,955 0,00559
U(D) = k uc (D) = 0,01118 mm H" 0,011 mm; D = (183,955 ą 0, 011) mm
Dziękuję za uwagę
i zapraszam na dalszą część wykładu
xs
U(Xs) U(Xs)
xs
x
U(X) U(X)
x