ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
Podstawowe kategorie
(AWP)
składowych wyniku pomiaru
Jednostka prowadząca:
Instytut Metrologii i In\
ynierii Biomedycznej
i metody ich wyznaczania
Autor programu:
dr in\
. Jerzy Arendarski
Definicje Definicje
WYNIK POMIARU  wartość przypisana WYNIK SUROWY  wynik pomiaru przed
wielkości mierzonej, uzyskana drogą pomiaru. korekcją błędu systematycznego.
Całkowite wyra\
enie wyniku pomiaru zawiera WYNIK POPRAWIONY  wynik pomiaru po
dane dotyczące niepewności pomiaru. korekcji błędu systematycznego.
Definicje
Niepewność pomiaru to parametr,
POPRAWKA  wartość dodana algebraicznie do
związany z wynikiem pomiaru,
surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania
charakteryzujący rozrzut wartości, które
mo\
na w uzasadniony sposób przypisać
błędu systematycznego.
wielkości mierzonej.
WSPÓA
CZYNNIK POPRAWKOWY  współczynnik
Niepewność pomiaru to wynik postępowania
liczbowy, przez który nale\
y pomno\
yć surowy wynik
mającego na celu oszacowanie przedziału,
wewnątrz którego znajduje się wartość
pomiaru, aby skompensować błąd systematyczny.
prawdziwa wielkości mierzonej, zwykle z
daną wiarygodnością.
Wzory definicyjne błędu pomiaru,
błędu systematycznego pomiaru
i błędu przypadkowego pomiaru wielkości X:
Błąd pomiaru to ró\
nica między
"X = Xs - xp
wynikiem pomiaru wielkością prawdziwą
"X = "sx + "p X
wielkości mierzonej
"sx = Xs - xp
" X = Xs - Xs
p
Xs -xp
"X = X - xp + -X = X - xp
s
s s
Porównanie dwóch wyników pomiarów Porównanie dwóch wyników pomiarów
Wielkość o wartości umownie prawdziwej xup, mierzona przez tego samego
laboranta, w porównywalnych warunkach pomiarowych, w ró\
nych terminach, w
ramach badania kompetencji. Niepewność pomiaru wyznaczona zgodnie z
Z powy\
szego przykładu wynika,
odpowiednią instrukcją, w obu przypadkach była taka sama i wynosiła U.
\
e niepewność pomiaru określa przewidywane
U U
"x1
"
"
"
x
(przy wysokim poziomie ufności)
x1-U x1 xup x1+U
U U
granice zmienności błędów pomiarów,
x
x2-U x2 x2+U
których nie wyeliminowano z wyniku pomiaru.
Oba wyniki są wiarygodne, poniewa\
wartość  prawdziwa le\
y w wyznaczonych
przedziałach [x1 - U, x1 + U] i [x2 - U, x2 + U], ale wartości błędów pomiaru "x1 i "x2 są
" "
" "
" "
ró\
ne co do wartości jak i co i co do znaku.
Podstawową formą eliminacji błędów systematycznych
Dla pomiaru bezpośredniego:
z wyniku pomiaru jest wprowadzanie poprawek,
zatem w najbardziej ogólnej postaci wynik obejmuje
trzy składowe: X = (XS + ) ąU (X )
"Pi
Y = (YS + PŁ ) ą U (Y )
gdzie:
gdzie:
Xs  wskazanie przyrządu lub średnia z serii wskazań,
Y - wynik surowy;
S
PŁ - sumaryczna poprawka, kompensująca
Pi  poprawki (wskazań, temperaturowa,....).
wyznaczalne błędy systematyczne;
U(Y) - niepewności pomiaru.
Dla pomiaru pośredniego, wielkość mierzona Y
Inny sposób  wyznaczenie wyników poprawionych
wszystkich wielkości wejściowych:
zale\
y od wielu wielkości wejściowych i wpływających:
Y = f ( X1, X ,..., X ,)
2 m
X = Xs1 +
pop1 "P1i
wtedy, biorąc pod uwagę ogólną formułę:
Y = (YS + PŁ ) ą U (Y ) X = Xs2 +
pop2 "P2i
i wzór na wynik poprawiony:
X = Xs3 +
pop3 "P3i
Ypop = (YS + PŁ)
X = Xsm +
popm "Pmi
mo\
na w pierwszej kolejności wyznaczyć wynik surowy, obliczając:
Ys = f (X , X ,..., X ,) a następnie wyznaczenie:
s1 s2 sm
a następnie poprawkę sumaryczną:
Ypop = f (X , X , X ,..., X ,)
m pop1 pop2 pop3 popm
"Y
PŁ = Pi
"
"Xi
1
Przybli\
oną wartość wariancji tej zmiennej,
Argumenty funkcji
korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora,
Ypop = f (X , X , X ,..., X ,)
pop1 pop2 pop3 popm wyznacza się ze wzoru:
2
m m-1 m
są zmiennymi losowymi, więc wielkość wynikowa równie\
jest �ł �ł �ł �ł�ł �ł
"f "f "f
uc 2 (Y ) = u2 (X ) + 2
"�ł "Xi �ł i ""�ł "X �ł�ł "X �łu(Xi , X j
�ł �ł �ł �ł�ł �ł )
zmienną losową. i=1 i=1 j=1
�ł łł �ł i łł�ł j
łł
Wartość oczekiwana tej zmiennej, oblicza się podstawiając, do
gdzie:
jawnej postaci funkcji, argumenty równe wartościom oczekiwanym:
u(Xi)  niepewności standardowe wielkości składowych
�y = f (�x1, �x2, �x3,..., �xm)
(cząstkowych),
u(Xi,Xj)  kowariancje.
Kowariancja cov(Xi, Xj) = u(Xi, Xj) jest momentem centralnych drugiego
Niepewność standardową zło\
oną uc(Y),
rzędu, w rozkładzie dwuwymiarowym zmiennej (Xi , Xj), wyznaczanym
je\
eli uprawnione jest zało\
enie o niezale\
ności składowych,
według formuły:
oblicza się ze wzoru:
u(Xi,Xj) = E(Xi - �i) (Xj - �j)
2
dla i,j = 1, 2, & , m; i `" j. m
�ł �ł
"f
uc (Y ) =
Je\
eli zmienne Xi i Xj są stochastycznie niezale\
ne, to cov(Xi, Xj) = 0,
"�ł "Xi �ł u2(Xi )
�ł �ł
zatem gdy poszczególne argumenty w równaniu pomiaru są niezale\
ne, i=1
�ł łł
to składniki z kowariancjami będą zerowe, a wzór przyjmie postać:
2
m
�ł �ł
"f
2
uc (Y ) =
"�ł "Xi �ł u2(Xi)
�ł �ł
i =1
�ł łł
Przykład 1.
Przykład 1.
Pomiar długości zestawu dwóch elementów:
Pomiar długości zestawu dwóch elementów:
Ypop = Apop + Bpop = 45,000 mm
Ypop = Apop + Bpop = 45,000 mm
2 2
"Y "Y
�ł �ł �ł �ł
uc (Y ) = �" u2(A) + �" u2(B)
�ł �ł �ł �ł
"A "B
A B �ł łł �ł łł
Y
uc (Y ) = u2(A) + u2(B) = (0,0025mm)2 + (0,0025mm)2 = 0,00353mm
Równanie pomiaru:
Równanie pomiaru:
Y = A + B
Y = A + B
U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm
U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm
Apop = 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;
Apop = 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;
Bpop = 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;
Bpop = 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm; Y = (45,000 ą 0,007) mm
Y = (45,000 ą 0,007) mm
Przykład 2.
Przykład 2.
Ypop = Bpop + Apop = 12,230 mm
Ypop = Bpop + Apop = 12,230 mm
Pomiar wymiaru mieszanego:
Pomiar wymiaru mieszanego:
2 2
"Y "Y
�ł �ł �ł �ł
Y A
uc (Y ) = �" u2(B) + �" u2(A)
�ł �ł �ł �ł
"B "A
�ł łł �ł łł
B
Równanie pomiaru:
Równanie pomiaru:
uc (Y ) = u2(B) + u2(A) = (0,0025mm)2 + (0,0025mm)2 = 0,00353mm
Y = B  A
Y = B  A
Apop = 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;
Apop = 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;
U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm
U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm
Bpop = 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;
Bpop = 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;
Y = (12,230 ą 0,007) mm
Y = (12,230 ą 0,007) mm
Przykład 3.
Przykład 3.
Ypop = Apop * Bpop = 1000 mm2;
Pomiar pola przekroju płaskownika:
Pomiar pola przekroju płaskownika:
2 2
"Y "Y
�ł �ł �ł �ł
uc (Y ) = �" u2(A) + �" u2(B)
�ł �ł �ł �ł
"A "B
�ł łł �ł łł ;
A "Y
= B
"A
B "Y
= A
"B
Równanie pomiaru:
Równanie pomiaru:
uc (Y ) = B2 �" u2(A) + A2 �" u2(B) = 50,002 �" 0,012 + 20,002 �" 0,0252 = 0,70
Y = A * B
Y = A * B
Apop = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;
Apop = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;
U(Y) = 2 uc(Y) =1,4 mm2
Bpop = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;
Bpop = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;
Y = (1000,0 ą 1,4) mm2
Przykład 4.
Przykład 4.
Apop
Ypop = = 10
Bpop
Pomiar przeło\
enia dz
wigni dwuramiennej:
Pomiar przeło\
enia dz
wigni dwuramiennej:
2 2
"Y "Y
�ł �ł �ł �ł
A B uc (Y ) = �" u2(A) + �" u2(B)
�ł �ł �ł �ł
"A "B
�ł łł �ł łł
"Y 1 "Y A
1mm-1
= = 0,1mm-1 = - = -;
"A B "B B2
Równanie pomiaru:
Równanie pomiaru:
A
Y =
B
1 A2
uc (Y ) = �"u2(A) + �"u2 (B) = 0,12 �"0,12 +12 �"0,052 = 0,05099
B2 B4
Apop = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
Apop = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
U(Y) = 2 uc(Y) =0,10
Bpop = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;
Bpop = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;
Y = 10,00 ą 0,10
Wpływ korelacji
Wpływ korelacji
Diagramy korelacji
Diagramy korelacji
Silna negatywna korelacja
Słaba pozytywna korelacja
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI STANDARDOWEJ ZA
OśONEJ, GDY COV(Xi,Xj) >> 0
>>
>>
>>
X2 X2
2
m m -1 m
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
"f "f
2 2
�ł �ł (X )
uc (Y ) E" u (X )+ 2 �ł �ł�ł "f �łu i j
" i " "
�ł �ł �ł �ł�ł "X �ł , X
"X "X
i = 1 i =1 j = i + 1
�ł i łł �ł i łł�ł j
łł
Wygodnie jest korzystać z zale\
ności:
u(Xi,Xj) = r(Xi,Xj) u(Xi) u(Xj)
X1 X1
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Y=X1+X2
Diagramy korelacji
Diagramy korelacji
Wyniki badań
Brak korelacji
x1 16,2 15,4 13,8 18,0 15,1 17,3 16,8 15,0 15,9 16,5
X2
x2 32,4 30,8 27,6 36,0 30,2 34,6 33,6 30,0 31,8 33,0
48,6 46,2 41,4 54,0 45,3 51,9 50,4 45,0 47,7 49,5
y
u(x1)=1,23 u(x2)=2,46 u(y)=3,69
1
u( x1, x2 ) = Ł( x1i - x1)( x2i - x2 ) = 3,02
= Ł - - =
= Ł - - =
= Ł - - =
n - 1
-
-
-
X1
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
37
u2( y) H" 13,62 `" u2(x1) + u2(x2 ) H" 7,57
H" `" + H"
H" `" + H"
H" `" + H"
35
33
u2( y) = u2( x1 ) + u2( x2 ) + 2u( x1, x2 ) 31
= + +
= + +
= + +
29
27
u2(x1) + u2(x2 ) + 2u(x1, x2 ) H" 13,60 25
+ + H"
+ + H"
+ + H"
14 15 16 17 18 19
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Wyniki badań
4,5
4
x1 2,85 3,39 4,39 2,62 3,72 1,99 2,75 4,52 4,05 4,60
3,5
x2 3,92 2,72 2,63 3,79 3,09 2,03 3,58 3,15 4,10 2,49
3
6,77 6,11 7,02 6,41 6,81 4,02 6,33 7,67 8,15 7,09
y
2,5
2
u(x1)=0,909 u(x2)=0,686 u(y)=1,11
1,5
1
0,5
u( y) = u2(x1) + u2(x2 ) H" 1,14
= + H"
= + H"
= + H"
0
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Lp ai bi
1 a1 b1
2 a2 b2
Przykład 1.
... ... ...
Wyznaczanie niepewności ró\
nicy wskazań
... ... ...
n  1 an-1 bn-1
komparatora przy porównaniu wielkości
n an bn
mierzonej (wskazanie b)
Wartość średnia 0,012 -0,185
Odchylenie standardowe
0,0160 0,0146
ze wzorcem (wskazanie a)
eksperymentalne
h = - 0,197 ą U(h)
ą
ą
ą
h = b  a
( ) = ( )+ ( )
uc (h) = u2(b)+ u2 (a)
( ) = ( )+ ( )
( ) = ( )+ ( )
2 2
( ) = + =
uc (h) = 0,0146 + 0,016 = 0,0217
( ) = + =
( ) = + =
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Lp ai bi bi  ai
Obliczamy współczynnik korelacji:
1 a1 b1 b1 a1
2 a2 b2 b2 a2
u(a,b)
... ... ... ... >> 0
>>
>>
>>
r(a,b)= = 0,81
u(a)u(b)
... ... ... ...
n  1 an-1 bn-1 bn-1  an-1
n an bn b1 a2
i korzystamy ze wzoru:
Wartość średnia 0,012 -0,185 -0,197
Odchylenie standardowe
0,0160 0,0146 0,0094
eksperymentalne
= 0,0095
( ) = ( )+ ( )- ( )
uc (h) = u2 (b)+ u2 (a)- 2u(a,b)
( ) = ( )+ ( )- ( )
( ) = ( )+ ( )- ( )
0,0217 `" 0,0094
`"
`"
`"
0,0095 H" 0,0094
H"
H"
H"
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Nr pomiaru Wielkości wejściowe
V I �
�
�
�
k
(V) (mA) (rad)
1 5,007 19,663 1,0456
Przykład 2.
2 4,994 19,639 1,0438
3 5,005 19,640 1,0468
Przypadek pomiaru kilku mezurandów
4 4,990 19,685 1,0428
(wielkości wyjściowych) jednocześnie -
5 4,999 19,678 1,0433
równoczesny pomiar rezystancji i reaktancji:
Wartość średnia 4,9990 19,6610 1,04446
Odchylenie standardowe
0,0032 0,0095 0,00075
eksperymentalne średniej
r(V , I ) = -0,36
= -
= -
Współczynniki korelacji = -
r(V ,� ) = 0,86
� =
� =
� =
r(I ,� ) = -0,65
� = -
� = -
� = -
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Wyniki obliczeń wartości wielkości R, X i Z dla ka\
dej z serii pomiarów
V V Nr pomiaru Wielkości wyjściowe
V
X = sin� Z =
= � =
= � =
= � =
R = cos�
= �
= �
= �
R = (V/I)cos � X = (V/I)sin � Z = V/I
� �
� �
� �
I I
I
k
(&!) (&! (&!)
&! &! &!
&! &!) &!
&! &! &!
1 127,67 220,32 254,64
2
2
1 �ł V �ł 1 �ł V �ł
�ł �ł 2 127,89 219,79 254,29
2 2
uc (Z) = u2 (V ) + �ł �ł u (I ) + 2�ł �ł�ł- 2 �łu(V )u(I )r(V , I ) =
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł 2 �ł
I I I I
�ł łł �ł łł 3 127,51 220,64 254,84
�ł łł �ł łł
= 0,2372
4 127,71 218,97 253,49
5 127,88 219,51 254,04
2
2
�ł �ł
1 �ł V �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
2
= 0,2042 Wartość średnia 127,732 219,847 254,260
uc (Z) = u2(V ) + �ł �ł u2 (I )
= + �ł �ł
= �ł �ł + �ł �ł
= �ł �ł
�ł �ł + �ł �ł
�ł �ł
�ł 2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
I I
�ł łł
�ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł
�ł łł
Odchylenie standardowe
0,071 0,295 0,236
eksperymentalne średniej
Wpływ korelacji Wpływ korelacji
Pełna korelacja między wielkościami X1 i X2
Je\
eli:
r (X1, X2) = 1
Y =X1 + X2
To:
u (X1, X2) = u(X1) u(X2)
Wtedy:
u2(Y ) = u2(X1) + u2(X2 ) + 2u( X1, X2 )
= + +
= + +
= + +
u(Xi,Xj) = r(Xi,Xj) u(Xi) u(Xj)
u2(Y) =u2(X1)+u2(X2)+2u(X1)(X2)
Wpływ korelacji
Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru
i metody ich wyznaczania
Zatem:
2
( )
(
u2(Y ) = (u(X1) + u( X2 ))
= ( + )
= + )
= +
Dziękuję za uwagę
Czyli:
i zapraszam na dalszą część wykładu
u(Y ) = u( X1) + u( X2 )
= +
= +
= +
UWAGA!
Wpływ korelacji
Y = f (X1, X2,..., X )
= ( )
= ( )
= ( )
N
Poniewa\
błąd systematyczny nie
X5 X1
mo\
e być znany dokładnie,
u11 u12 u13 u14 ... u1(N -1) u1N
�ł łł
�łu u22 u23 u24 ... u2(N u2 śł
21 -1) N
�ł śł
kompensacja nie mo\
e być zupełna.
�ł śł
u31 u32 u33 u34 ... u3(N -1) u3N
�ł śł
X6 41 u4 śł
X2
�łu u42 u43 u44 ... u4(N -1) N
�ł śł
�ł śł
u(N u(N u(N ... u(N u(N
�łu(N -1)1 -1)2 -1)3 -1)4 -1)(N -1) -1)N śł
�łuN1 uN 2 uN 3 uN 4 ... uN(N -1) uNN śł
�ł �ł
X7 X3
2
N N -1 N
-
-
-
�ł
�ł �ł �ł �ł�ł " �ł
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
�ł "f �ł �ł "f �ł�ł "
�ł " �ł �ł " �ł�ł �ł
" "
" "
2
�ł �ł �ł �ł�ł �ł ( )
�ł ( )
( )E" �ł ( )+ ( )
uc (y)E" �ł �ł �ł �ł�ł �ł
( )E" u2(xi )+ 2 �ł �ł�ł "f �łu j
( )E" ( )+ �ł �ł�ł " �ł (xi , x )
"�ł "xi �ł ( )+ " "
"�ł " łł " "
"�ł " �ł " "
"�ł " łł " "
�ł �ł �ł �ł�ł " �ł
�ł �ł�ł �ł
�ł �ł �ł �ł�ł " �ł
�ł �ł�ł
"xi łł
"
"
"
i =1 i=1 = + �ł łł�ł "x j
= = = +
= �ł łł = j =i +1
= �ł łł = = + �ł łł�ł " �ł
�ł �ł łł�ł łł
�ł �ł łł�ł łł
łł
X8 X4