Uklady równań liniowych
mgr Zofia Makara
21 marca 2004
1 Uklady równań liniowych
Niech będzie dany układ równań o wszystkich współczynnikach i zmiennych
z określonego ciała K:
Å„Å‚
ôÅ‚
a11x1+ ... +a1nxn = b1
òÅ‚
..
ôÅ‚
ół
am1x1+ ... +amnxn = bm
możemy również zapisać w postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 ... a1n x1 b1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
.. · .. = ..
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 ... amn xm bm
Definicja 1 Macierz kwadratowÄ… A nazywa siÄ™:
" osobliwą, jeżeli det A = 0;
" nieosobliwą, jeżeli det A = 0

Definicja 2 Układem Cramera nazywa się układ równań liniowych, którego
macierz współczynników A jest kwadratową macierzą nieosobliwą.
Definicja 3 Macierzą uzupełnioną macierzy A danego układu nazywa się
macierz, która ma dodatkową kolumnę - kolumnę wyrazów wolnych.
Macierz uzupełnioną oznacza się jako U = [A|b].
Twierdzenia 1 Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie (x1, ..., xn)
dane wzorem:
dAj
xj = ,
dA
gdzie dA = [akj]n×n jest wyznacznikiem macierzy A danego ukÅ‚adu zaÅ› dAj
jest wyznacznikiem macierzy, w której kolumna j została zastąpiona kolumną
wyrazów wolnych.
1
Własność 1 Jeżeli wszystkie współczynniki wolne w układzie Cramera rów-
ne są 0, wówczas układ nazywa się jednorodnym i ma jedno rozwiązanie -
(0, 0, ..., 0).
Definicja 4 Rzędem macierzy nazywa się ilość jej wektorów liniowo nieza-
leżnych.
Można mówić o:
" rzędzie wierszowym - maksymalna liczba niezależnych wierszy danej
macierzy;
" rzędzie kolumnowym - maksymalna liczba niezależnych kolumn danej
macierzy;
Rząd wierszowy i kolumnowy danej macierzy są równe.
Rząd macierzy można wyznaczyć przez wyszukanie minora stopnia n danej
macierzy różnego od zera, dla którego nie istniej minor tej macierzy stopnia
wyższego niż n. Wówczas n jest rzędem macierzy.
Dla danego układu można zastoswać kryterium zgodności Kroneckera -Cap-
peliego, to jest, jeśli:
" rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej U = [A|b]
(układ jest zgodny rz A = rz U), wówczas układ posiada rozwiąza-
nia. Ponadto, jeśli rząd macierzy jest równy ilości niewiadomych, wów-
czas ma dokładnie jedno rozwiązanie, w przeciwnym przypadku (rząd
macierzy jest mniejszy niż ilość niewiadomych w równaniu), wówczas
układ ma nieskończenie rozwiązań (układ nieoznaczony).
" rząd macierzy A jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej U = [A|b]
(układ jest sprzeczny), wówczas układ nie posiada rozwiązania.
Inną metodą rozwiązywania kwadatowego układu równań jest metoda
eliminacji Gauss a, w której stosując przekształcenia macierzy rozszerzonej
[A|b] danego układu:
" przestawienie dwóch wierszy (równań w układzie);
" pomnożeniu przez dowolną liczbę (różną od zero);
" dodanie/odjęcie od siebie dwóch wierszy (równań w układzie);
doprowadza się macierz A (w skończonej ilości kroków) do macierzy diago-
nalnej.
Uwaga 1 W kwadratowym układzie równań w macierzy A na diagonalii
może wystąpić 0, zaś w kolumnie wyrazów wolnych element różny od 0, wów-
czas układ nie ma rozwiązania.
2
Uwaga 2 Jeżeli w kwadratowym układzie równań w jego macierzy A na
diagonalii i w kolumnie wyrazów wolnych wystąpi 0, wówczas układ posiada
nieskończenie wiele rozwiązań.
Uwaga 3 Eliminację Gauss a można również stosować do prostokątnych
układów równań.
Uwaga 4 Eliminację Gauss a można również stosować wyznaczania macie-
rzy odwrotnej.
A
atwo zauważyć, że dla danego układu macierzowego AX = I można doko-
nać ciągu przekształceń pozwalającego na wyznaczenie macierzy odwrotnej
A-1. Dokonując kolejne przekształcenia można w skończonej ilości kroków
(jeśli macierz A jest kwadratową macierzą nieosobliwą) otrzymać:
" AX = I;
" A1X = B1;
" ...;
" AsX = Bs;
" IX = A-1;
dla dowolnego s " N.
W praktyce nie zapisuje się macierzy X, ale przekształcenia oznacza się jako
[A|I]Ü[A1|B1]Ü... [As|Bs]Ü[I|A-1].
2 Zadania
Rozwiąż układy równań (i podaj ilość rozwiązań - o ile istnieją, ich macierze
główne i uzupełnione oraz rzędy tych macierzy):
1.

3x1 + 2x2 = -1
x1 + x2 = 2
2.

x1 + 2x2 = -1
2x1 + 4x2 = 2
3.

x1 + 2x2 = -1
-x1 - 2x2 = 1
3
4.

x1 + 2x2 + x3 = -1
2x1 + 4x2 + 2x3 = 2
5.
Å„Å‚
ôÅ‚
x1 + 2x2 + x3 = -1
òÅ‚
2x1 + 4x2 + 2x3 = 2
ôÅ‚
ół
3x1 - x2 + 5x3 = 2
6.
Å„Å‚
ôÅ‚
x1 + x2 + x3 = 0
òÅ‚
2x1 + 5x2 + 3x3 = 0
ôÅ‚
ół
3x1 - x2 + 4x3 = 0
7.
Å„Å‚
ôÅ‚
x1 + 2x2 + x3 = 6
òÅ‚
2x1 + 3x2 + 3x3 = -2
ôÅ‚
ół
3x1 + 5x2 + 4x3 = 4
8.
Å„Å‚
ôÅ‚
x1 + 2x2 + x3 = 6
òÅ‚
2x1 + 3x2 + 3x3 = -2
ôÅ‚
ół
3x1 + 5x2 + 4x3 = 5
9.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 -1 x1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ ïÅ‚ śł
0 3 1 · x2 śł = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-2 1 1 x3 5
10.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1 x1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ ïÅ‚ śł
0 3 1 · x2 śł = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 4 0 x3 -1
11.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 2 -1 x1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ ïÅ‚ śł
1 3 1 · x2 śł = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4 8 1 x3 -1
4
12.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 · x +
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -1 · y + 2 · z = -4
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4 1 4 -2
13.

i 1 - i i
· x + · y =
i 0 1 + i
14.

2 5 -7 1
· x + · y + · z =
3 -8 5 2
5