automatyka i sterowanie wyklad 15

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Obserwator pełnego rzędu:

Rozważać będziemy opis układu w postaci:

(a)

równanie st

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y(

anu

równan

t ) C

ie w

x( t )

yjścia

=

+

=

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1

Szukamy obserwatora - układu

(b)

e

d

ˆ

ˆ

x( t ) Fx( t ) Hu( t ) K y( t )

dt

=

+

+

,

który zapewni

0

t

ˆ

lime( t )

e( t ) x( t ) x( t )

→∞

=

=

niezależnie od warunków początkowych.

background image

3

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Dobrym pomysłem będzie zbudowanie takiego układu (b), w którym transmitancja będzie taka sama jak
w układzie (a), czyli

(

)

1

ˆX( s )

sI

A

BU( s )

=

e

ˆ

ˆ

sX ( s ) FX ( t ) HU( s ) K Y ( s )

=

+

+

e

ˆ

ˆ

sX ( s ) FX ( t ) HU( s ) K CX ( s )

=

+

+

(

)

e

ˆ

sI F X ( s ) HU( s ) K CX ( s )

=

+

(

)

[

]

1

e

ˆX( s )

sI F

HU( s ) K CX ( s )

=

+

(

)

(

)

1

1

e

ˆX( s )

sI F

H K C sI

A

B U( s )

=

+

(

)

(

)

(

)

1

1

1

e

sI

A

B

sI F

H K C sI

A

B

=

+

(

)

(

)

(

)

1

1

1

e

I

sI F

K C sI

A

B

sI F

H

=

background image

4

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

) (

)

(

)

(

)

1

1

1

e

sI F

sI F

K C sI

A

B

sI F

H

=

[

]

(

)

1

e

sI F K C sI

A

B H

− −

=

(

)

(

)

1

e

sI

F K C

sI

A

I

B H

+

=

=

(

)

e

F K C

A

B H

+

=

=

e

F

A K C

H

B

= −

=

Równaniem obserwatora jest więc

(

)

e

e

d

ˆ

ˆ

x( t )

A K C x( t ) Bu( t ) K y( t )

dt

=

+

+

lub inaczej:

(

)

e

d

ˆ

ˆ

ˆ

x( t ) Ax( t ) Bu( t ) K y( t ) Cx( t )

dt

=

+

+

Model układu

Sprzężenie od różnicy wyjść układu i modelu

background image

5

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

)

e

e

d

ˆ

ˆ

x( t )

A K C x( t ) Bu( t ) K y( t )

dt

=

+

+

odejmujemy od

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt

=

+

(

)

(

)

(

)

e

e( t )

d

ˆ

ˆ

ˆ

x( t ) x( t )

A x( t ) x( t )

K C x( t ) x( t )

dt

=

(

)

e

d

e( t )

A K C e( t )

dt

=

Warunkiem koniecznym działania obserwatora jest by macierz

(

)

e

A K C

była stabilna, a

dostatecznym by estymacja była szybka by wartości własne

(

)

e

A K C

leżały bardziej na lewo (2-4

razy) niż wartości własne A. Wartości własne

(

)

e

A K C

są takie same jak wartości własne

(

)

T

T

T

T

e

e

A K C

A

C K

=

. Macierz

T

e

K

musi być tak zaprojektowana by przesunąć wartości

background image

6

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

własne w układzie

(

)

T

T

A ,C

w zadane położenia. Więc:

1. Sterowalność pary

(

)

T

T

A ,C

jest konieczna dla rozwiązania tego zadania, czyli obserwowalność pary

(

)

C,A

jest konieczna dla zaprojektowania obserwatora.

2.

T

e

K

można wyznaczyć z formuły Ackermana

[

]

( )

1

1

0 0

1

n

T

T

T

T

T

T

T

e

c

n

K

C

A C

A

C

M ( A )

=

"

"

background image

7

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

1

1

0
0

1

e

c

n

C

CA

K

M ( A )

CA

⎤ ⎡ ⎤

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

=

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

⎦ ⎣ ⎦

"

#

Uwaga:

Zakładaliśmy idealną znajomość parametrów modelu obiektu!
Pominęliśmy zakłócenia:

background image

8

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

d

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t ) B d( t )

dt
y( t ) Cx( t ) n( t )

=

+

+

=

+

da

(

)

e

d

e

d

e( t )

A K C e( t ) B d( t ) K n( t )

dt

=

+

jak widać macierz

e

K

wzmacnia szum pomiarowy, powinna więc być jak „najmniejsza”. Z drugiej

strony im większa

e

K

tym szybsza estymacje można uzyskać i tym mniejszy bład ustalony

wprowadzany przez zakłócenie d(t).

background image

9

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Połączmy teraz obserwator z problemem
przesuwania biegunów:

ˆ

u( t )

Kx( t )

= −

.

Otrzymaliśmy układ stopnia 2n. Jakie
będą jego bieguny?

[

]

d

ˆ

x( t ) Ax( t ) BKx( t )

dt

d

x( t ) Ax( t ) BK x( t ) e( t )

dt

=

=

(

)

e

d

e( t )

A K C e( t )

dt

=


background image

10

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

0

e

A BK

BK

x( t )

x( t )

d

A K C

e( t )

e( t )

dt

= ⎢

wielomianem charakterystycznym jest

(

)

(

)

e

det sI

A BK det sI

A K C

⎡ −

Takie same wartości własne będzie miał układ równań

d

ˆ

x( t ) Ax( t ) BKx( t )

dt

=

(

)

(

)

e

e

e

e

d

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

x( t )

A K C x( t ) Bu( t ) K y( t )

A K C x( t ) BKx( t ) K Cx( t )

dt

=

+

+

=

+

e

e

A

BK

x( t )

x( t )

d

ˆ

ˆ

K C A BK K C

x( t )

x( t )

dt

= ⎢

, bo

0

x( t )

I

x( t )

ˆx( t )

I

I

e( t )

⎤ ⎡

⎤ ⎡

=

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦ ⎣

⎦ ⎣

,

background image

11

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

czyli układ możemy projektować niezależnie

(

)

(

)

e

det sI

A BK det sI

A K C

⎡ −

wartości własne odpowiadające za regulację wektora stanu x(t)
wartości własne odpowiadające za dynamikę wektora stanu obserwatora

ˆx( t )


Regulator+obserwator można przedstawić w postaci transmitancji:

(

)

e

e

d

ˆ

ˆ

ˆ

x( t )

A K C x( t ) BKx( t ) K y( t )

dt

=

+

(

)

e

e

d

ˆ

ˆ

x( t )

A K C BK x( t ) K y( t )

dt

=

+

(

)

1

e

ˆX( s )

sI

A K C BK

Y ( s )

=

− +

+

background image

12

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

)

1

e

U( s )

K sI

A K C BK

Y ( s )

= −

− +

+





background image

13

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego




Obserwator zredukowany
Odtwarzaliśmy wszystkie zmienne stanu, choć pełna informacja o części z nich była w równaniu wyjścia:

równanie st

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y(

anu

równan

t ) C

ie w

x( t )

yjścia

=

+

=

Możemy odtwarzać tylko niedostępne zmienne stanu – obserwator będzie układem niższego rzędu.
Jeśli na przykład

background image

14

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

[

]

1

1

11

1

1

1

1

1 0

0

e

e

e

e

ee

e

e

x ( t )

x( t )

x ( t )

x ( t )

a

A

x ( t )

b ( t )

d

u( t )

x ( t )

A

A

x ( t )

B ( t

równanie stanu

równanie wyjścia

)

dt
y( t ) Cx( t )

x( t )

= ⎢

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

=

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

=

=

"

,

to można wyprowadzić

równania obserwatora:

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

11

1

1

e

e

e

e

ee

e

e

e

e

e

ee

e

e

e

e

e

e

ˆ

ˆ

x ( t ) x ( t ) K y( t )

d

ˆ

ˆ

x ( t )

A

K A x ( t )

A

K a

A K

K A K y( t )

B

K b u( t )

dt

=

=

+

+

+

background image

15

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

1

1

1

2

1

0
0

1

e

e

ee

e

c

ee

n

e

ee

A

A A

K

M ( A )

A A

⎤ ⎡ ⎤

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

=

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

"

#

i regulatora:

[

]

1

1

2

e

x ( t )

u( t )

k

K

ˆx ( t )

= −






background image

16

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego


Obserwator zakłóceń:

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t ) Bd

dt
y( t ) Cx( t )

=

+

+

=

0

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t ) Bd

dt

d

d( t )

dt

=

+

+

=

[

]

0

0

0

0

x( t )

A B

x( t )

B

d

u( t )

d( t )

d( t )

dt

x( t )

y( t )

C

d( t )

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡ ⎤

=

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣ ⎦

=

warunkiem jest obserwowalność pary

[

]

0

0 0

A B

C

,

background image

17

Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

)

[

]

0 0

0

1

e

d

e

ˆ

ˆ

x( t )

x( t )

K

A B

B

d

ˆ

u( t )

y( t ) Cx( t )

ˆ

ˆ

K

dt d( t )

d( t )

ˆx( t )

u( t )

K

ˆd( t )

⎡ ⎤

=

+

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= −

CAŁKOWANIE!!


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad 3
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 4
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 8
automatyka i sterowanie wyklad 2

więcej podobnych podstron