ciagi i szeregi, geometryczne, algebraiczne, inne

background image

Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej
określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. f

n

(x) natomiast cały

ciąg będziemy oznaczać {f

n

(x) } który po napisaniu daje: (f

1

(x) i f

2

(x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny

{f

n

(x)}jest określony w A, to dla każdego x

0

A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego,

otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {f

n

(x

0

)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.

Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {f

n

(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy lim

n

→∞

f

n

(x)-f(x)

lub f

n

(x)

n

e

→∞

f(x)

Λ

ε>0

Λ

x

∈Α

V

s

Λ

n

>

s.

f

n

(x)- f(x)

<ε

oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego

zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem:

Λ

f

n

(x)

A

f(x)

Λ

ε>0

V

δ

Λ

x

A

f

n

(x)- f(x)

<ε

Dla zb. zwykłej liczba

δ

ma istnieć dla każdego

ε>

0 i x

A

Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A
Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła
[f

n

(x)

A

f(x)]

[f

n

(x)

e

f(x)]

Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą
Warunek Cauche’go:
Na to aby ciąg f

n

(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby

Λ

ε>0

V

r

że

Λ

n>r

zachodzi [f

n

(x)

- f

r

(x)]<

ε

-Szereg geometryczny:
Saq

n-1

lub Saq

k

1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a

0 to szer. geom.

-dla

q

<

1 szer. geom. zb. i S=a/1-q

-dla

q

≥

1 szer. geom. rozb.

-Szereg Dirchleta: S1/n

a

, a

R, dla

α>1

sz zbieżny; dla a

≤1

sz rozbieżny.

-Szereg naprzemienny: Szereg

Σ

(-1)

n+1

a

n

, gdzie a

n

>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer

naprzemiennym.
Def. Zbieżność szeregu liczbowego:
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy
właściwej lim S

n

=S ; S- suma szeregu.

Def. Równość szeregów:

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a

=

=

=

=

1

1

Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.

Def. Iloczyn przez liczbę:

(

)

=

=

=

1

1

;

n

n

n

n

R

k

ka

a

k

Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu

Σ

a

k

pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy

szereg:

...

2

1

1

+

+

=

+

+

+

=

n

n

n

k

k

a

a

a

który nazywamy n – resztą szeregu

Σ

a

k

.

Tw. Jeżeli szeregi

Σ

a

n

;

Σ

b

n

są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S

1

i S

2

to

Σ

(a

n

+ b

n

) i

Σ

(ka

n

) wynoszą odpowiednio S

1

+S

2

i kS

1

.

Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:
Jeżeli szereg

Σ

a

n

jest zbieżny, to lim a

n

=0

Dowód:
a

n

=S

n

-S

n-1

; lim a

n

= lim (S

n

-S

n-1

) = lim S

n

- lim S

n-1

= S-S=0

Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest
ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Dowód:
S

n

=a

1

+ a

2

+ a

3

+…+ a

n

Λ

a

n

0, ciąg S

n

jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z

założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny

S

n

-jest zbieżny.

Kryterium porównawcze:

background image

Jeżeli wyrazy szeregów

Σ

a

n

i

Σ

b

n

są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n

0

, że n>

n

0

i spełniona jest nierówność a

n

b

n

, to:

- ze zbieżności szer b

n

wynika zbieżność szeregu a

n

- z rozbieżności szeregu a

n

wynika rozb szeregu b

n

Dowód:
S

n

=

Σ

a

n

- chcemy pokazać, że jest zbieżny.

S

n

= S

n0

+

Σ

a

k

S

n0

+

Σ

b

k

S

n0

+ B;

k= n

0

+1 ciąg sum częściowych S

n

=S

n0

+ B jest ograniczony stąd wynika zbieżność

Σ

b

k\n

z

założenia zbieżny i równy B.
Kryterium d’Alamberta:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim a

n+1

/a

n

, to szereg

Σ

a

n

o wyrazach dodatnich

jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n

a

n

, to szereg o wyrazach nieujemnych jest

zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x

n

0

N wówczas war

koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n

0

f(x)dx

Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg {a

n

} jest nierosnący oraz lim a

n

=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

[Ciąg nierosnący

Λ

a

n+1

a

n

]

Kryterium Weierstrassa:
Jeżeli

Σ

a

n

liczb. jest zbież i jeżeli

Λ Λ

x A n n

i

0

spełniona jest nierówność

f

n

(x)

≤

a

n

to

Σ

funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A.

Σ

a

n

nazywamy majorantą

Σ

funkcyjnego.

Dowód:

Σ

a

n

jako zbieżny musi spełniać warunek:

Λ Υ Λ

ε

ε

>

>

+

+

+ + <

0

1

k n k

k

k

n

a

a

a

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

k

k

n

k

k

n

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+

+ +

+

+ +

+

+

1

1

+

+ + < ⇒

+

a

a

a

k

k

n

1

ε

f x

f

x

f x

k

k

n

( )

( )

( )

+

+ +

<

+

1

ε

- war. konieczny i dostateczny zb

Σ

funkcyjnego.

Def: Bezwzględna zbieżność szeregu:

Σ

a

n

nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny

Σ

złożony z bezwzględnych wartości.

Jeżeli

Σ

a

n

jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (

Σ

a

n

)=

Σ

(a

n

). Jeżeli

Σ

jest zbieżny to

nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczyn Caychy’ego szeregów:
Szereg

Σ

a

n

, gdzie a

n

=

Σ

a

k

b

n-k+1

; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów

Σ

a

n

i

Σ

b

n

tzn:
(

Σ

a

n

) (

Σ

b

n

) =

Σ

a

n

(

Σ

a

n

) (

Σ

b

n

) =

Σ

a

n

a

k

=

Σ

a

k

b

n

-

k

Twierdzenie: Jeżeli szeregi

Σ

a

n

i

Σ

b

n

są zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny,

to ich iloczyn jest zbieżny.
Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli

Σ

f

n

(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to

0

b

[

Σ

f

n

(x)]dx=

Σ

0

b

f

n

(x)dx.

Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:

background image

Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f

n

(x) w przedziale <a,b>,

Σ

funkcyjny

Σ

f

n

(x)

jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.

Σ

f’

n

(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:

( )

( )

=

= ∑

=



x a b

n

n

f x

n

n

f x

,

'

'

1

1

Def. Promień szeregu potęgowego:
Promieniem R zbieżności

Σ

potęgowego

Σ

a

n

x

n

nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych

wartości x dla

Σ

ten jest

Σ

zbieżnym.

Tw. Promień szeregu potęgowego:
Jeżeli istnieje granica:

lim

,

, ,...

lub lim

n

n

n

n

n

n

a

a

a

dla n

a

→∞

+

→∞

=

=

=

1

0

1 2

λ

λ

to promień zbieżności szeregu

Σ

a

n

x

n

wynosi:

R

gdy

R

dla

R

dla

=

= +∞

=

< < +∞

= +∞

=



0

1

0

0

λ

λ

λ

λ

Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału

Σ

pot.

Σ

a

n

x

n

tzn. x

(-R,R) to całka:

∫∑

=

=

+

+

=

x

n

n

n

n

n

n

x

n

a

dt

t

a

0

0

0

1

1

przy czym promień zbieżności tego szeregu jest taki jak szeregu

wyjściowego.
Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:

∑∫

=

+

=

+

=

=

+

=

=

=

+

x

n

n

n

x

n

n

t

n

n

n

x

n

n

n

n

x

a

n

a

dt

t

a

dt

t

a

n

0

1

1

0

0

1

0

0 0

1

1

1

Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb.

Σ

pot.

Σ

a

n

x

n

to pochodna:

=

=

=

1

1

0

n

n

n

n

n

n

nx

a

x

a

dx

d

-

promień zb. tego

Σ

jest taki sam jak szeregu wyjściowego.

Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu

Σ

funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować

wyraz po wyrazie:

(

)

=

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

1

1

2

3

2

1

2

2

1

0

0

...

3

2

...

n

n

n

n

n

n

nx

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

a

dx

d

x

a

dx

d

Szereg Taylora:
Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x

0

wszystkie pochodne, tzn. jest

klasy C

. Funkcję taką dla każdego x

Q-{x

0

} i każdego n

N możemy rozwinąć w

Σ

Taylora:

( )( )

( ) ( )

n

n

k

n

k

k

x

x

n

c

f

x

x

k

x

f

x

f

0

0

1

0

0

!

!

)

(

+

=

=

http://notatek.pl/ciagi-i-szeregi-macierze-rachunek-
operatorow-liczby-zespolone?notatka


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Doran & Lasenby, Geometric Algebra New Foundations, New Insights
ciagi i szeregi zespolone
Geometia i Algebra Liniowa
24 ciagi i szeregi funkcyjne 6 3 szeregi fouriera
8 Ciągi i szeregi
ciagi i szeregi
22 ciagi i szeregi funkcyjne 6 1 ogolne wlasnosci ciagow i szeregow funkcyjnych
zagadnienia, punkt 12, XII Ciągi i szeregi funkcyjne - zbieżność punktowa i jednostajna
W 1 Funkcje ciągi szeregi
Szereg geometryczny
ciagi i szeregi
wektory cwiczenia, studia, pomoce naukowe - repetytoria, algebra i geometria, algebra - z chomik.pl
14 Rozdział 13 Ciągi i szeregi funkcji
2010 11 05(2),19,26 szeregi, geometria analityczna
ciagi i szeregi
23 ciagi i szeregi funkcyjne 6 2 szeregi potegowe
Koła dokoła, ciągle ciągi i szeregi całą dobę człowiek tyra, od tira, kurwa do tira

więcej podobnych podstron