automatyka i sterowanie wyklad 17

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Częstotliwość próbkowania – wpływ na pracę układu dyskretnego

)

(t

f

)

(

*

t

f

)

(t

x

5

.

0

=

T

2T

10T

20T

background image

3

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

)

(t

f

)

(

*

t

f

)

(t

x

5

.

0

=

T

1

x(t)

f(u)

IMPULSATOR

T

Ekstrapolator

1

f(t)

T

kT

t

kT

kT

f

t

x

+

<

=

)

(

)

(

[

]

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

0

T

kT

t

kT

t

kT

f

t

x

k

=

=

)

(

)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

*

0

)

1

(

0

s

f

s

E

e

kT

f

s

e

e

s

e

s

kT

f

s

x

kTs

k

Ts

Ts

k

kTs

k

=

=

⎥⎦

⎢⎣

=

=

+

=

Filtr??

Czy częstotliwości z wejścia są
zniekształcane przez impulsowanie?

Czy będą na wyjściu?

background image

4

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

*

kT

t

t

f

kT

t

kT

f

t

f

k

k

=

=

−∞

=

=

δ

δ

Przeprowadzimy analizę częstotliwościową tej funkcji.

Podstawy częstotliwościowej analizy sygnałów:


Okresową funkcję f(t) o okresie T , spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić w postaci sumy
szeregu Fouriera

)

t

n

sin

b

t

n

cos

a

(

a

)

t

(

f

A

n

n

A

n

ω

ω

=

+

+

=

1

0

T

A

π

ω

2

=

+

=

T

t

t

dt

)

t

(

f

T

a

0

0

1

0

,

+

=

T

t

t

A

m

tdt

m

cos

)

t

(

f

T

a

0

0

2

ω

,

+

=

T

t

t

A

m

tdt

m

sin

)

t

(

f

T

b

0

0

2

ω

, m=1,2,....

lub:

background image

5

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

)

t

n

sin

b

t

n

cos

a

(

a

)

t

(

f

A

n

n

A

n

ω

ω

=

+

+

=

1

0

=

−∞

=

n

t

jn

n

A

e

c

ω

,

n

n

a

b

tan

j

n

n

n

n

n

e

b

a

jb

a

c

1

2

2

2

1

2

+

=

=

=

=

T

t

jn

T

T

t

jn

dt

e

)

t

(

f

T

dt

e

)

t

(

f

T

A

A

0

2

2

1

1

ω

ω


Transformatę Fouriera (nieokresowej) funkcji x(t) określa:

{

}

=

=

dt

e

)

t

(

x

)

j

(

X

)

t

(

x

t

j

ω

ω

a transformatę odwrotną

{

}

=

=

ω

ω

π

ω

ω

d

e

)

j

(

X

)

t

(

x

)

j

(

X

t

j

2

1

1

gdy x(t)=0 dla t<0 to

ω

ω

ω

j

s

t

j

)

s

(

X

dt

e

)

t

(

x

)

j

(

X

=

=

=

0

background image

6

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Gdy x(t) jest okresowa, to ma rozwinięcie w szereg Fouriera

−∞

=

=

n

t

jn

n

A

e

c

)

t

(

x

ω

wtedy:

{

}

=

=

dt

e

)

t

(

x

)

j

(

X

)

t

(

x

t

j

ω

ω

=

∫ ∑

−∞

=

dt

e

e

c

t

j

n

t

jn

n

A

ω

ω

=

−∞

=

dt

e

e

c

t

j

t

jn

n

n

A

ω

ω

=

=

(

)

t

jn

n

n

A

e

c

ω

−∞

=

=

)

n

(

c

A

n

n

ω

ω

δ

π

−∞

=

2

background image

7

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Zastosujmy to do funkcji

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

*

kT

t

t

f

kT

t

kT

f

t

f

k

k

=

=

−∞

=

=

δ

δ

Funkcja

)

kT

t

(

k

−∞

=

δ

jest okresowa o kresie T .

Współczynniki jej szeregu Fouriera:

=

=

2

2

1

1

T

T

t

jn

n

T

dt

e

)

t

(

T

c

A

ω

δ

n=1,2,..

czyli

T

,

e

T

)

kT

t

(

A

t

jk

k

k

A

π

ω

δ

ω

2

1

=

=

−∞

=

−∞

=

background image

8

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

t

jk

k

*

A

e

)

t

(

f

T

)

t

(

f

ω

−∞

=

=

1

{

}

=

=

dt

e

)

t

(

f

)

j

(

F

)

t

(

f

t

j

*

*

*

ω

ω

(

)

+

−∞

=

−∞

=

=

=

dt

e

)

t

(

f

T

dt

e

e

)

t

(

f

T

)

j

(

F

t

k

j

k

t

j

k

t

jk

*

A

A

ω

ω

ω

ω

ω

1

1

(

)

(

)

ω

ω

ω

+

=

−∞

=

A

k

*

k

j

F

T

)

j

(

F

1

gdzie

{

}

=

=

dt

e

)

t

(

f

)

j

(

F

)

t

(

f

t

j

ω

ω

przesunięte o wielokrotność

T

A

π

ω

2

=

transformaty Fouriera funkcji

f(t)

Załóżmy, że

0

=

)

j

(

F

ω

dla

1

ω

ω

>

1

2

ω

ω

>

A

background image

9

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

0

=

)

j

(

F

ω

dla

1

ω

ω

>

i

1

2

ω

ω

>

A















2

A

ω

2

A

ω

A

ω

)

j

(

G

ω

1

ω

1

ω

A

ω

2

A

ω

A

ω

2

1

=

k

2

=

k

1

=

k

A

ω

)

j

(

F

ω

1

ω

1

ω

)

j

(

F

*

ω

1

ω

1

ω

A

ω

2

A

ω

A

ω

2

1

=

k

2

=

k

1

=

k

background image

10

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania


Stosujemy filtr idealny o transmitancji widmowej

<

<

=

2

0

2

1

A

A

dla

dla

)

j

(

G

ω

ω

ω

ω

ω

jego odpowiedź impulsowa:

{

}

=

=

ω

ω

π

ω

ω

d

e

)

j

(

G

)

t

(

g

)

j

(

G

t

j

2

1

1

=

2

2

2

1

A

A

d

e

t

j

ω

ω

ω

ω

π

=

2

2

1

2

A

A

j

t

j

t

e

e

jt

ω

ω

π

=

1

2

A

sin

t

t

ω

π

=

1

2

2

A

A

sin

t

T

t

ω

ω

=

1

2

2

A

A

sin

t

T

t

ω

ω

=


T

2T

background image

11

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Tw. Shannona
Jeżeli

0

=

)

j

(

F

ω

dla

1

ω

ω

>

to F(j

ω

) jest jednoznacznie określona przez ciąg f(kT) i f(t) jest dana

przez

−∞

=

=

k

A

A

)

kT

t

(

)

kT

t

(

sin

)

kT

(

f

)

t

(

f

2

2

ω

ω

background image

12

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Moduł transmitancji widmowej
ekstrapolatora zerowego rzędu

A

ω

A

ω

2

2

A

ω

0,637

background image

13

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

0

=

)

j

(

F

ω

dla

1

ω

ω

>

ale

1

2

ω

ω

<

A













2

A

ω

A

ω

1

ω

2

ω

)

j

(

F

ω

)

j

(

F

*

ω

1

ω

A

ω

2

A

ω

A

ω

2

1

=

k

2

=

k

1

=

k

1

ω

1

ω

2

2

ω

ω

ω

alias

)

(

j

(

F

A

)

(

j

(

F

2

ω

background image

14

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Środki zaradcze:

1. Podnieść

A

ω

tak by

1

2

ω

ω

>

A

czyli zmniejszyć T. W praktyce

1

10

5

ω

ω

÷

>

A

2. Obciąć widmo f(t) do 2

A

ω

przez filtr dolnoprzepustowy przed próbkowaniem

background image

15

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

background image

16

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

background image

17

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Wolne próbkowanie (undersampling) może być stosowane świadomie. Przetwornik A/C może
przetwarzać informację zakodowana w modulowanym sygnale nośnym o dużej częstotliwości i
wytwarzać sygnał o częstotliwości niższej.
Stosowanie przetwornika próbkującego poniżej częstotliwości Nyquista może być opłacalne finansowo.
Np. Sygnał nośny 10MHz jest modulowany sygnałem o paśmie 100kHz (±50kHz ośrodku 10MHz).
Próbkowanie z częstotliwością 4MHz daje składniki (f1+f2 i f1-f2) o częstotliwości 14MHz i 6Mz, i
składniki (2f1, 2f2, 2f1+f2, f1+2f2, | 2f1-f2 |, | f1-2f2) | o częstotliwości 8MHz, 20MHz, 18MHz, 2MHz,
24MHz i 16MHz. Sygnał o częstotliwości 2MHz jest tym, o który chodzi. Z sygnału 10MHz przez
próbkowanie wytworzono “alias” 2MHz. W sposób cyfrowy można teraz “odzyskać” sygnał o
częstotliwości 50kHz. Nie wymaga to kosztownej obróbki analogowej, wystarczy odpowiednie
oprogramowanie.

Szybkie próbkowanie (oversampling) może być używane do redukcji szumów w przypadku zakłócenia
szumem białym. Zbieramy więcej próbek, niż to konieczne do odtworzenia sygnału, potem filtrując dane
redukujemy poziom zakłóceń.

background image

18

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Transmisja sygnałów w układzie regulacji

W układzie regulacji tor główny od sygnału uchybu powinien tłumić częstotliwości

2

A

ω

ω

>

i widmo

sygnału wyjściowego powinno być takie jak wejściowego. Jeżeli widmo to jest ograniczone przez

ω

1

,

to trzeba wybrać

1

2

ω

ω

>

A

, a w praktyce

1

10

5

ω

ω

÷

>

A


Okres próbkowania wpływa na model układu dyskretnego – na transmitancje dyskretne i na macierze
opisu w przestrzeni stanów

=

=

=

+

T

c

A

t

t

c

T

k

A

T

A

B

d

e

B

d

e

B

e

A

c

c

c

0

)

)

1

((

0

,

τ

τ

τ

τ

gdy

0

det

c

A

[

]

c

T

A

c

T

c

A

B

I

e

A

B

d

e

B

c

c

=

=

1

0

τ

τ


ma więc wpływ na dynamikę układu dyskretnego i nawet na jego stabilność.

background image

19

Automatyka i sterowanie 17

Częstotliwość próbkowania

Sterowalność:
Jeżeli wartościami własnymi układu ciągłego są s

i

, to wartościami własnymi układu po dyskretyzacji są

T

s

i

e

. Jeżeli dwie różne wartości własne przejdą na tą samą wartość własną układu dyskretnego, to układ

dyskretny nie będzie sterowalny, mimo że układ ciągły jest całkowicie sterowalny.

2

2

1

1

ω

σ

ω

σ

j

s

,

j

s

+

=

+

=

(

)

(

)

T

j

T

j

e

e

2

1

ω

σ

ω

σ

+

+

=

(

)

1

2

1

=

T

j

e

ω

ω

"

,

,

q

,

q

T

2

1

2

2

1

=

±

=

ω

ω

π

gdy

0

2

1

>

=

=

ω

ω

ω

"

,

,

q

,

q

T

2

1

=

±

=

ω

π

Jeżeli wartości sterowania są ograniczone to
istotny jest „zakres sterowalności” =obszar w
przestrzeni stanów osiągalny z 0 w N krokach
przy ograniczonym sterowaniu. Dla zwiększenia
„zakresu sterowalności” zaleca się wybierać
częstotliwość próbkowania 3 do 6 razy większą
od częstotliwości dla której następuje utrata

sterowalności czyli

3

6

π

ω

π

<

< T

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad 3
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 4
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 8
automatyka i sterowanie wyklad 2
automatyka i sterowanie wyklad 15

więcej podobnych podstron