Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych

Poniższy tekst stanowi treść jednego z moich wykładów dla studentów mechaniki. Postanowiłem go udostępnić szerszemu gronu,
dotychczas korzystali z niego wyłącznie moi studenci, jeśli zechcieli wejść na moją stronę i ściągnąć odpowiedni plik. Świadomie

zrezygnowałem z precyzyjnego formułowania założeń przyjmując, że rozważane funkcje są dostatecznie regularne, aby zachodziły
żądane własności. Tym sposobem mogłem bardziej skupić się na technicznej stronie prezentowanego zagadnienia. Wszelkie

sugestie poprawek będą mile widziane. Proszę o kierowanie ich drogą prywatnych wiadomości.

Twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej

Załóżmy, że funkcje

mają pochodne cząstkowe w punkcie

, a funkcja

ma ciągłe pochodne

cząstkowe w punkcie

. Wtedy funkcja złożona

ma w

punkcie

pochodne cząstkowe, które wyrażają się wzorami

Powyższe twierdzenie znajduje zastosowanie w rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych, tj. takich równań
różniczkowych, w których wraz z funkcją niewiadomą występują jej pochodne cząstkowe. Często właściwa zamiana zmiennych

pozwala na znaczne uproszczenie równania różniczkowego, a co za tym idzie, na łatwiejsze jego rozwiązanie.

Uwaga. W poniższych przykładach zawsze będziemy zakładać równość pochodnych mieszanych drugiego rzędu. Zapewnia ją np.
ciągłość tych pochodnych (twierdzenie Schwarza).

Przykład 1.

Przekształcić wyrażenie różniczkowe

wprowadzając nowe zmienne

Z powyższej zamiany zmiennych obliczamy

Według wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej

Uwzględniając wzory (1) otrzymujemy stąd

Wstawiamy do wzoru (2) w miejsce wyrażenie

Korzystając jeszcze raz z (2) otrzymujemy

Uwzględniając równość pochodnych mieszanych otrzymujemy stąd

Podobną metodą obliczamy pochodne cząstkowe

skąd po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych

oraz

Po ponownym uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych otrzymujemy

Korzystając teraz ze wzorów (4), (5), (6) dostajemy

Przykład 2.

Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego

Wprowadzając nowe zmienne

i korzystając

z Przykładu 1 przekształcamy równanie (7) do postaci

Całkujemy obie strony tego równania względem :

skąd

gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej (zauważmy, że stała całkowania w równaniu (8) nie zależy od , ale

może zależeć od , gdyż jej pochodna cząstkowa względem musi wynosić 0). Całkując teraz obie strony równania (8) względem

dostajemy

gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych

otrzymujemy stąd rozwiązanie

równania (7):

gdzie

są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej.

Widzimy więc, że równanie różniczkowe cząstkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Często przy rozwiązywaniu
problemów natury technicznej interesuje nas nie tyle ogólna postać rozwiązania równania różniczkowego, ile konkretne jego

rozwiązanie spełniające jakieś dodatkowe warunki (wynikające np. z natury rozpatrywanego zagadnienia).

Przykład 3.

Wyznaczyć rozwiązanie

równania (7) spełniające warunki

Wstawiając

do wzoru (9) oraz korzystając z warunku (10) otrzymujemy

Podstawmy w powyższych równaniach w miejsce

skąd

Podstawmy jeszcze w równaniu (13)

w miejsce

Odejmując stronami od równania (14) równanie (12) otrzymujemy

Korzystając z (12) obliczamy

Wstawiając tak wyznaczone

do równania (9) otrzymujemy

skąd po dokonaniu uproszczeń

Łatwo sprawdzić, że

spełnia równanie (7) wraz z warunkami (10) oraz (11).

Jedną z częściej stosowanych zamian zmiennych jest przejście do współrzędnych
biegunowych.

Przykład 4.

Wyrażenie

zwane jest laplasjanem funkcji

(równanie

nazywamy równaniem Laplace'a). Rozpatrując laplasjan

obszarze

rozłącznym z osią zapisać go współrzędnych biegunowych.

Wprowadzamy współrzędne biegunowe

i obliczamy

skąd

Powyższe związki różniczkujemy względem i

Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej

Uwzględniając (15), (17) otrzymujemy

Podstawmy w powyższym wzorze w miejsce wyrażenie

Stosujemy jeszcze raz wzór (20):

Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd

Obliczymy teraz

Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej

skąd po uwzględnieniu wzorów (16), (18)

Podstawmy w powyższym wzorze

w miejsce