Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych
Poniższy tekst stanowi treść jednego z moich wykładów dla studentów mechaniki. Postanowiłem go udostępnić szerszemu gronu,
dotychczas korzystali z niego wyłącznie moi studenci, jeśli zechcieli wejść na moją stronę i ściągnąć odpowiedni plik. Świadomie
zrezygnowałem z precyzyjnego formułowania założeń przyjmując, że rozważane funkcje są dostatecznie regularne, aby zachodziły
żądane własności. Tym sposobem mogłem bardziej skupić się na technicznej stronie prezentowanego zagadnienia. Wszelkie
sugestie poprawek będą mile widziane. Proszę o kierowanie ich drogą prywatnych wiadomości.
Twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej
Załóżmy, że funkcje
,
mają pochodne cząstkowe w punkcie
, a funkcja
ma ciągłe pochodne
cząstkowe w punkcie
. Wtedy funkcja złożona
ma w
punkcie
pochodne cząstkowe, które wyrażają się wzorami
Powyższe twierdzenie znajduje zastosowanie w rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych, tj. takich równań
różniczkowych, w których wraz z funkcją niewiadomą występują jej pochodne cząstkowe. Często właściwa zamiana zmiennych
pozwala na znaczne uproszczenie równania różniczkowego, a co za tym idzie, na łatwiejsze jego rozwiązanie.
Uwaga. W poniższych przykładach zawsze będziemy zakładać równość pochodnych mieszanych drugiego rzędu. Zapewnia ją np.
ciągłość tych pochodnych (twierdzenie Schwarza).
Przykład 1.
Przekształcić wyrażenie różniczkowe
wprowadzając nowe zmienne
,
Z powyższej zamiany zmiennych obliczamy
Według wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Uwzględniając wzory (1) otrzymujemy stąd
Wstawiamy do wzoru (2) w miejsce wyrażenie
Korzystając jeszcze raz z (2) otrzymujemy
Uwzględniając równość pochodnych mieszanych otrzymujemy stąd
Podobną metodą obliczamy pochodne cząstkowe
skąd po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych
oraz
Po ponownym uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych otrzymujemy
Korzystając teraz ze wzorów (4), (5), (6) dostajemy
Przykład 2.
Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego
Wprowadzając nowe zmienne
,
i korzystając
z Przykładu 1 przekształcamy równanie (7) do postaci
Całkujemy obie strony tego równania względem :
skąd
gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej (zauważmy, że stała całkowania w równaniu (8) nie zależy od , ale
może zależeć od , gdyż jej pochodna cząstkowa względem musi wynosić 0). Całkując teraz obie strony równania (8) względem
dostajemy
gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych
otrzymujemy stąd rozwiązanie
równania (7):
gdzie
są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej.
Widzimy więc, że równanie różniczkowe cząstkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Często przy rozwiązywaniu
problemów natury technicznej interesuje nas nie tyle ogólna postać rozwiązania równania różniczkowego, ile konkretne jego
rozwiązanie spełniające jakieś dodatkowe warunki (wynikające np. z natury rozpatrywanego zagadnienia).
Przykład 3.
Wyznaczyć rozwiązanie
równania (7) spełniające warunki
Wstawiając
do wzoru (9) oraz korzystając z warunku (10) otrzymujemy
Podstawmy w powyższych równaniach w miejsce
skąd
Podstawmy jeszcze w równaniu (13)
w miejsce
Odejmując stronami od równania (14) równanie (12) otrzymujemy
Korzystając z (12) obliczamy
Wstawiając tak wyznaczone
do równania (9) otrzymujemy
skąd po dokonaniu uproszczeń
Łatwo sprawdzić, że
spełnia równanie (7) wraz z warunkami (10) oraz (11).
Jedną z częściej stosowanych zamian zmiennych jest przejście do współrzędnych
biegunowych.
Przykład 4.
Wyrażenie
zwane jest laplasjanem funkcji
(równanie
nazywamy równaniem Laplace'a). Rozpatrując laplasjan
w
obszarze
rozłącznym z osią zapisać go współrzędnych biegunowych.
Wprowadzamy współrzędne biegunowe
i obliczamy
skąd
Powyższe związki różniczkujemy względem i
Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Uwzględniając (15), (17) otrzymujemy
Podstawmy w powyższym wzorze w miejsce wyrażenie
Stosujemy jeszcze raz wzór (20):
Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd
Obliczymy teraz
Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej
skąd po uwzględnieniu wzorów (16), (18)
Podstawmy w powyższym wzorze
w miejsce
Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd
Dodając teraz stronami wzory (21) i (23) otrzymujemy
Dziękuję wszystkim, którzy doszli do tego miejsca, za okazaną cierpliwość.