ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ

Twierdzenie

(

o zamianie zmiennych w całce potrójnej

)

Niech

V

,



- obszary w regularne w

3

R ,

V

suriekcja





:



,







 

 







w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,











dla









w

v

u ,

,

.

Jeśli

1º odwozorowanie



przekształca różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego



na wnętrze obszaru regularnego V ,

V

int

int

:

bijekcja







2º

 

,

,

,

1

U

C









gdzie U – obszar w

3

R ,

U





3º

 

V

C

f



4º

0





J

w obszarze



to







 

 







dudvdw

J

w

v

u

w

v

u

w

v

u

f

dxdydz

z

y

x

f

V



















,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

1

Współrzędne walcowe (φ, r, h)

z

x

y

P(x,y,z)

P'

φ

r

h

φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY
r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych
h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą
płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)

Wtedy

















h

z

r

y

r

x





sin

cos

, gdzie





0

,

2

,

0





r





Wyznaczamy jakobian tego odwzorowania:

r

J

r

r

r

r

r

J































2

2

cos

sin

1

0

0

0

sin

cos

0

cos

sin

det

Przykład

Obliczyć całkę potrójną





V

dxdydz

x

I

2

, gdzie

2

2

4

0

:

y

x

z

V









.

Obszar V jest ograniczony przez płaszczyznę

0



z

oraz powierzchnię

2

2

4

y

x

z







.

Przekształcając ostatnie równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równości pojawiło
się wyrażenie nieujemne, otrzymujemy

4

0

4

4

0

2

2



















z

z

z

y

x







czyli

 

4

,

0



z

.

Jeśli

const



z

, to

const

4

2

2









z

y

x

.

równanie okręgu
o środku w punkcie (0,0)

2

Zatem przekroje powierzchni płaszczyznami

const



z

są okręgami.

Jeśli ustalimy

0



x

, to otrzymamy

2

4 y

z





.

Zatem przekrój powierzchni płaszczyzną

0



x

jest parabolą.

Podobnie przekrój powierzchni płaszczyzną

0



y

jest parabolą.

Stąd powierzchnia

z

y

x







4

2

2

jest paraboloidą.

(φ,r)

h=4-r

2

x

y

z

2

-2

4

V

Do oblicznia tej całki zastosujemy współrzędne walcowe

















h

z

r

y

r

x





sin

cos

, gdzie

]

2

,

0

[



 

,

]

2

,

0

[



r

,

]

4

,

0

[

2

r

h





.

Stąd









drdh

rd

r

I





2

2

cos

, gdzie

]

4

,

0

[

]

2

,

0

[

]

2

,

0

[

2

r













i zamieniając na całkę iterowaną otrzymujemy



























































3

16

2

sin

4

1

2

1

3

16

2

cos

2

1

2

1

3

16

cos

3

16

6

1

cos

4

cos

4

cos

cos

cos

2

0

2

0

2

0

2

2

0

2

0

6

4

2

2

0

5

3

2

0

2

2

0

2

2

3

2

0

2

0

4

0

2

3

2

0

4

0

2

3

2

0

2

0

2

2

























 













 



















































d

d

r

r

d

dr

r

r

d

dr

r

r

d

dr

h

r

d

dh

r

dr

d

I

r

r

3

Współrzędne sferyczne

(φ, θ, r)

z

x

y

P(x,y,z)

θ

P'

φ



– miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na

płaszczyznę OXY,









2

,

0



 – miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P,











2

,

2







r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych,

0



r

Wtedy



























sin

sin

cos

cos

cos

r

z

r

y

r

x

Wyznaczamy jakobian dla tego odwzorowania.

























































cos

cos

sin

cos

cos

sin

cos

sin

cos

cos

cos

sin

sin

cos

sin

cos

0

sin

cos

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

sin

sin

cos

det

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

J



























Ponieważ











2

,

2







, zatem

0



J

.

4

Zastosowanie całek potrójnych

Niech V – obszar regulany

3

R . Wtedy





V

V

dxdydz

- objętość obszaru V

Przykład

Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu R wycina stożek kołowy o wierzchołku w

środku kuli, wysokości R

 i o kącie rozwarcia 

2 , gdzie

2

0



 



.

R

R

R

y

z

x

V

Ω

α

Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi OZ, zatem objętość







dxdydz

V

4

, gdzie



jest ćwiartką bryły V.
Stosujemy współrzędne sferyczne



























sin

sin

cos

cos

cos

r

z

r

y

r

x

, gdzie









2

,

0



,







 



2

,

2









,

 

R

r

,

0



Zatem



jest obrazem prostopadłościanu P,

 

R

P

,

0

2

,

2

2

,

0









 





















.

Stąd

)

cos

1

(

3

2

2

)

cos

1

(

3

4

)

cos

1

(

3

1

4

sin

3

1

4

cos

3

1

4

cos

4

cos

4

3

3

2

0

3

2

0

2

2

2

0

2

2

3

3

2

0

2

2

0

2

2





















































































 



  









R

R

d

R

d

R

d

R

d

dr

r

d

d

dr

d

d

r

V

R

P

opracował Mateusz Targosz

5