ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
Twierdzenie
(
o zamianie zmiennych w całce potrójnej
)
Niech
V
,
- obszary w regularne w
3
R ,
V
suriekcja
:
,
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
dla
w
v
u ,
,
.
Jeśli
1º odwozorowanie
przekształca różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego
na wnętrze obszaru regularnego V ,
V
int
int
:
bijekcja
2º
,
,
,
1
U
C
gdzie U – obszar w
3
R ,
U
3º
V
C
f
4º
0
J
w obszarze
to
dudvdw
J
w
v
u
w
v
u
w
v
u
f
dxdydz
z
y
x
f
V
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
1
Współrzędne walcowe (φ, r, h)
z
x
y
P(x,y,z)
P'
φ
r
h
φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY
r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych
h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą
płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)
Wtedy
h
z
r
y
r
x
sin
cos
, gdzie
0
,
2
,
0
r
Wyznaczamy jakobian tego odwzorowania:
r
J
r
r
r
r
r
J
2
2
cos
sin
1
0
0
0
sin
cos
0
cos
sin
det
Przykład
Obliczyć całkę potrójną
V
dxdydz
x
I
2
, gdzie
2
2
4
0
:
y
x
z
V
.
Obszar V jest ograniczony przez płaszczyznę
0
z
oraz powierzchnię
2
2
4
y
x
z
.
Przekształcając ostatnie równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równości pojawiło
się wyrażenie nieujemne, otrzymujemy
4
0
4
4
0
2
2
z
z
z
y
x
czyli
4
,
0
z
.
Jeśli
const
z
, to
const
4
2
2
z
y
x
.
równanie okręgu
o środku w punkcie (0,0)
2
Zatem przekroje powierzchni płaszczyznami
const
z
są okręgami.
Jeśli ustalimy
0
x
, to otrzymamy
2
4 y
z
.
Zatem przekrój powierzchni płaszczyzną
0
x
jest parabolą.
Podobnie przekrój powierzchni płaszczyzną
0
y
jest parabolą.
Stąd powierzchnia
z
y
x
4
2
2
jest paraboloidą.
(φ,r)
h=4-r
2
x
y
z
2
-2
4
V
Do oblicznia tej całki zastosujemy współrzędne walcowe
h
z
r
y
r
x
sin
cos
, gdzie
]
2
,
0
[
,
]
2
,
0
[
r
,
]
4
,
0
[
2
r
h
.
Stąd
drdh
rd
r
I
2
2
cos
, gdzie
]
4
,
0
[
]
2
,
0
[
]
2
,
0
[
2
r
i zamieniając na całkę iterowaną otrzymujemy
3
16
2
sin
4
1
2
1
3
16
2
cos
2
1
2
1
3
16
cos
3
16
6
1
cos
4
cos
4
cos
cos
cos
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
6
4
2
2
0
5
3
2
0
2
2
0
2
2
3
2
0
2
0
4
0
2
3
2
0
4
0
2
3
2
0
2
0
2
2
d
d
r
r
d
dr
r
r
d
dr
r
r
d
dr
h
r
d
dh
r
dr
d
I
r
r
3
Współrzędne sferyczne
(φ, θ, r)
z
x
y
P(x,y,z)
θ
P'
φ
– miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY,
2
,
0
– miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P,
2
,
2
r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych,
0
r
Wtedy
sin
sin
cos
cos
cos
r
z
r
y
r
x
Wyznaczamy jakobian dla tego odwzorowania.
cos
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
0
sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
det
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
J
Ponieważ
2
,
2
, zatem
0
J
.
4
Zastosowanie całek potrójnych
Niech V – obszar regulany
3
R . Wtedy
V
V
dxdydz
- objętość obszaru V
Przykład
Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu R wycina stożek kołowy o wierzchołku w
środku kuli, wysokości R
i o kącie rozwarcia
2 , gdzie
2
0
.
R
R
R
y
z
x
V
Ω
α
Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi OZ, zatem objętość
dxdydz
V
4
, gdzie
jest ćwiartką bryły V.
Stosujemy współrzędne sferyczne
sin
sin
cos
cos
cos
r
z
r
y
r
x
, gdzie
2
,
0
,
2
,
2
,
R
r
,
0
Zatem
jest obrazem prostopadłościanu P,
R
P
,
0
2
,
2
2
,
0
.
Stąd
)
cos
1
(
3
2
2
)
cos
1
(
3
4
)
cos
1
(
3
1
4
sin
3
1
4
cos
3
1
4
cos
4
cos
4
3
3
2
0
3
2
0
2
2
2
0
2
2
3
3
2
0
2
2
0
2
2
R
R
d
R
d
R
d
R
d
dr
r
d
d
dr
d
d
r
V
R
P
opracował Mateusz Targosz
5