2. INTERWAA
W PRZESTRZENIACH O RÓ NEJ KRZYWI NIE
Jednym z podstawowych problemów kosmologii jest rozstrzygnięcie globalnej krzywizny
przestrzeni Wszechświata. Z doświadczenia wiemy, że lokalnie przestrzeń naszą możemy opisywać
geometrią euklidesową. Globalne własności natomiast opisują odpowiednie równania OTW
(przedstawione w rozdziale   Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina ). We wstępie do OTW
(patrz rozdział:  Podstawy Ogólnej Teorii Względności ) mówi się, że podstawowym obiektem
matematycznym charakteryzującym własności geometryczne czasoprzestrzeni, jest tzw. interwał
czasoprzestrzenny, który w płaskiej czasoprzestrzeni ma postać:
DS = (DX ) - (DX ) - (DX ) - (DX ) (1)
Ze względu na izotropowość przestrzeni, wygodnie jest przejść od współrzędnych kartezjańskich
(X X X ) do współrzędnych sferycznych:
X = R SIN SIN
X = R SIN COS (2)
X = R COS
Wówczas przestrzenna część interwału (1) (po prostych różniczkowaniach) przybierze postać:
DL = (DX ) + (DX ) + (DX ) =
(3)
= DR + R D + R SIN �D
Od czasów odkrycia Hubble a (1929) wiemy, że przestrzeń Wszechświata ekspanduje. Wszystkie
punkty wzajemnie oddalają się, nie zmieniając jednak swoich współrzędnych (względem przyjętej
siatki współrzędnych). To trochę tak jakby nadmuchiwać Ziemię (jak balon), wówczas wszystkie
miejscowości oddalają się od siebie nie zmieniając jednak swoich współrzędnych geograficznych. Aby
ten fakt uwzględnić, wygodnie jest wprowadzić tzw.  czynnik skalujący  RT)  który mówi nam
(
przez jaką wielkość trzeba przemnożyć odległość pomiędzy dwoma punktami przestrzeni po upływie
czasu T. A więc formułę (3) zapiszemy w postaci:
DL = R (T) �(DR + R D + R SIN �D ) (4)
Formuły (1)  (4) dotyczyły przestrzeni euklidesowej. Teraz zapiszemy interwał (4) w ogólniejszej
formie, uwzględniającej możliwą globalną krzywiznę przestrzeni. Przestrzeń nasza nie musi być
bowiem globalnie euklidesowa. Może ona mieć własności geometryczne podobne do powierzchni
sferycznej (np. suma kątów trójkąta jest wtedy większa od 180 ) lub też własności podobne do
powierzchni hiperboloidalnej (gdzie suma kątów trójkąta jest mniejsza od 180 ). Prześledzimy to na
przykładzie sfer o geometrii sferycznej.
(I) jednowymiarowa sfera (okr g) o promieniu R na płaszczy nie euklidesowej
x
r
l
�
�
x
X = R COS X = R SIN
Interwał długości:
DL = (DX ) + (DX ) = R D (5)
Kąt oraz promień krzywizny R leżą poza linią okręgu (nie należą do tej jednowymiarowej
przestrzeni). Długość okręgu ( objętość tej jednowymiarowej przestrzeni) jest skończona i wynosi
2ĄR.
(II) dwuwymiarowa powierzchnia sfery o promieniu A w 3-wymiarowej przestrzeni
euklidesowej
x
l
a
�
�
x
x
R = A SIN
X = R COS = A SIN COS
X = R SIN = A SIN SIN
X = A COS = A 1 -

Interwał długości (po prostych różniczkowaniach) otrzymamy:
DL = (DX ) + (DX ) + (DX ) =
(6)
= A D + A SIN �D = A D + R D
Promień krzywizny sfery A oraz kąt leżą poza powierzchnią sfery (nie należą do tej
dwuwymiarowej przestrzeni). Powierzchnia sfery ( objętość tej dwuwymiarowej przestrzeni) jest
skończona i wynosi
Obwód dowolnego okręgu o promieniu R na sferze:
Natomiast pole powierzchni takiego koła
S = ĄR = Ą �A SIN < 2Ą �A (1 - COS ) �! [POLE CZASZY KULISTEJ]
jest mniejsze niż przykrywające go pole czaszy kulistej.
III 3-wymiarowa hipersfera o promieniu w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
Przez analogię z punktem (II) napiszemy równanie hipersfery
(X ) + (X ) + (X ) + (X ) = R = CONST
(tu X to zwykła czwarta współrzędna przestrzenna  nie mylić jej ze współrzędną czasową).
I dalej przez analogię podstawimy A = R SIN .
Promień hipersfery oraz współrzędna kątowa nie leżą w przestrzeni naszej hipersfery (tak jak
promień krzywizny A oraz kąt leżały poza powierzchnią sfery w przykładzie II).
Współrzędne hiper(sferyczne) będą teraz:
X = R SIN SIN COS
X = R SIN SIN SIN
X = R SIN COS
X = R COS = R 1 -

Interwał przestrzenny będzie teraz:
DL = (DX ) + (DX ) + (DX ) + (DX ) =
(7)
= R [D + SIN (D + SIN D )]
Ponieważ DA = R COS �D więc
DA DA DA
RD ===
COS 1 - SIN -
1
a stąd interwał przestrzenny

DA

DL = (8)
1 - + A (D + SIN D )
Składowe tensora metrycznego będą tu następujące:
A
G = R =
SIN
G = R SIN = A
G = R SIN SIN = A SIN
Nasza hipersferyczna przestrzeń ma też skończoną objętość
V = G D D D = R SIN SIN D D D = 2Ą R

Możemy także stosunkowo łatwo opisać przestrzeń o ujemnej krzywiz
nie  tzw. hiperboliczną 
przez prostą zamianę funkcji SIN na jej odpowiednik hiperboliczny SINH oraz korzystać z jedynki
trygonometrycznej dla funkcji hiperbolicznych COSH - SINH = 1. Wówczas interwał
przestrzenny dla takiej 3-wymiarowej przestrzeni z ujemną krzywizną będzie:
DL = R [D + SINH (D + SIN D )] =
(9)
DA
=+ A (D + SIN D )
1 +
Gdy krzywizna R " co oznacza przechodzenie do przestrzeni  płaskiej , to interwał
DL = DA + A (D + SIN D ) (10) = (3)
czyli otrzymujemy coś identycznego jak w formule (3).
Wprowadzimy sobie teraz bezwymiarową współrzędną radialną
A
R :=
R
lub DA = RDR (nie należy mylić i utożsamiać jej z promieniem okręgu R z przykładu (I), to całkiem
nowe oznaczenie!!!).
Wprowadz
my też sobie następującą wielkość, K przyjmującą trzy możliwe wartości:
N K = 0  dla przestrzeni euklidesowej,
N K =+1  dla geometrii typu sferycznego,
N K =-1  dla geometrii typu hiperbolicznego.
Wówczas interwał przestrzenny uwzględniający wszystkie trzy możliwości  czyli formuły (7),
(8), (9) i (10)  da się zapisać jedną formułą (uwzględniającą już możliwość ekspansji przestrzeni,
czyli zależność R = RT)):
(

DR
DL = R (T) � (11)
1 - K �R + R D + R SIN �D



Współrzędna R jest tu wielkością bezwymiarową, zaś ma wymiar długości. W niektórych
ujęciach monograficznych bywa stosowane podejście, w którym kosmologiczny czynnik skali
odległości RT) traktuje się jako bezwymiarowy, natomiast wymiar długości przenoszony jest do
(
współrzędnej R.
My w kolejnych rozdziałach będziemy jednak traktować czynnik RT) jako posiadający wymiar
(
długości.
Rozpatrzmy jeszcze dla prostoty odległość DL tylko wzdłuż współrzędnej radialnej R .
Wówczas dla K =+1 mamy:
DR
DL = RT) � (12)
(
1 - R
co po scałkowaniu stronami daje nam:
L
= ARC SIN(R) (13)
R
lub:
L
R = SIN (14)

R
Dla małych wartości L lub dużych stosowane jest przybliżenie
L
R . (15)
R
Można tu dostrzec podobieństwo do zależności między długością łuku, a promieniem na
powierzchni kuli (patrz poniższy rysunek).
W przypadku K =+1 mamy więc przestrzeń o własnościach hipersfery, zaś czynnik skali RT) jest
(
jakby (zmiennym w czasie) promieniem tej hipersfery. Przestrzeń taka ma skończoną objętość (tak jak
powierzchnia sfery ma skończone pole) równą V = 2Ą R .
Dla K =-1 formuła (12) będzie:
DR
DL = RT) � (16)
(
1 + R
co po scałkowaniu da nam funkcję hiperboliczną:
L
= ARCSH(R) (17)
R
W tym sensie przestrzeń taka jest jakby trójwymiarową hiperboloidą o ujemnej krzywiz
nie.
Przestrzeń taka ma nieskończoną objętość.
* * *
Interwał czasoprzestrzenny dla potrzeb kosmologii zapisuje się więc


DR
DS = C DT - R (T) � (18)
1 - K �R + R D + R SIN �D


lub z użyciem współrzędnej kątowej :
DS = C DT - RT)[D + S ( )(D + SIN D )] (19)
(
gdzie:


SIN DLA K =+1




S( ) = DLA K = 0



SINH DLA K =-1



prof. Jerzy Sikorski