Temat VI  równania różniczkowe - wILIŚ - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
Na zaj¸ rozwi¸ tylko niektóre z poniższych zadaÅ„. Zadania nierozwi¸ na tablicy należy przerobić
eciach ażemy azane
samemu w domu.
Zadanie 1. Sprawdz
, czy dane funkcje s¸ rozwi¸
a azaniami podanych równań różniczkowych:
1
(a) y = x · e- x - xy2 + y = 0
, x3y2 2
sin x cos x-y
(b) y = , y2 =
x x
"
(c) x(t) = 4 - t2, x · x2 = t
2x+y
(d*) sprawdz
, że caÅ‚k¸ ogóln¸ równania y2 = jest rodzina krzywych danych równaniem:
a a
x-2y
y
ln(x2 + y2) - arctg(x ) + C = 0
Zadanie 2. Rozwiaż równania różniczkowe metod¸ bezpoÅ›redniego caÅ‚kowania:
¸ a
-1 - ln 2 1
"
(a) y2 = cos3 x (b) y2 2 = , y(Ä„ ) = , y2 (Ä„ ) = 2 (c) y2 = , y(1) = 0
sin2 x 4 2 4 1+ x
5
2
(d) y2 2 = ex + x- 4
(e) y2 2 2 = 2x + 4, y2 (0) = 1, y2 2 (0) = 3, y(0) = 2 (f) y2 2 = (1 )x, y(0) = 1, y(1) = 2
7 2
Zadanie 3. Rozwiaż równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
¸
y+1 dy dy
(a) y2 = (b) y2 · = x (c) = e2x+y
x+1 dx dx
xy dy dy dy
(d) = (e) x · = y2 + 1 (f) (1 + x2) = -xy
x+1 dx dx dx
dy y+1
dx
(g) y3 · = x3 (h) = (i) 3x · y2 = 2y
dx dy x+1
y
(j) x2 · y2 - y = 0 (k) y2 = ex-y (l) y2 = (x )3
xy
dx dx
(m) = (n) x · = y - 1 (o) y2 + 2x2 · y2 = 0
x+1 dy dy
x+y x-y
(p) y2 = (x + 1)2y2 (q") y2 + sin = sin (r) x(y2 - 1)dx + y(x2 - 1)dy = 0
2 2
ds
(s") e-s(1 + ) = 1 (t) y2 + ytg x = y (u) eydx + x2(2 + ey)dy = 0
dt
Zadanie 4. Rozwiaż równania różniczkowe jednorodne:
¸
y y y y
(a) y2 = + tgx (b) x · y2 = y(1 + ln y - ln x) (c) x - y · cos + x · y2 · cos = 0
x x x
"
x-2y x
(d) 2x2y2 = x2 + y2 (e) y2 = (f) xy2 = y + x ey
x
"
y+ x2+y2
x+y 2x+y
(g) xy2 - y = (x + y) ln (h) x2y2 = xy + 4x2 + 4y2 (i") y2 = (j) y2 =
x x x-2y
Zadanie 5. Rozwiaż równania postaci y2 = f(ax + by + c):
¸
"
1
(a) y2 = cos2(x + y) (b) y2 = (c) y2 = (y - x)2 (d) y2 = 4y - x (e) y2 = (4x + y)-2
y+x-1
Zadanie 6. Rozwiaż zagadnienie pocz¸ Cauchy ego. Dobierz odpowiedni¸ metod¸ wyznaczenia caÅ‚ki
¸ atkowe a e
ogólnej.
(a) y = y2 cos2 x ln y, y(Ä„) = 1 (b) xy2 = 3y + 2x, y(1) = 0
Ä„ x Ä„
(c) sin x cos 2ydx + cos x sin 2ydy = 0, y(0) = (d) y - xy2 = y , y(1) =
2 cos( ) 4
x
Zadanie 7. Rozwiaż równania liniowe metod¸ czynnika caÅ‚kuj¸
¸ a acego:
(a) y2 + y = e-x (b) xy2 + 2y = 10x2 (c) xy2 - y = x2
(d) xy2 - 2y = x4 sin x (e) xy2 - 2y = x2 (f) y2 + yctg x = cos x
1
2y 2x+1
(g) (x2 - 1)y2 + 2xy = x (h) y2 - = (x + 1)3 (i) y2 - · y = e- x
x+1 x2
1 x-1
x x
(j) x2 · y2 + y = e · x2 (k) y2 + y sin x = sin x (l) x2y2 - y = x2e
xy 1
"
(m) y2 - 4y = (2x2 + 1)e4x (n) y2 + = (o) x(x - 1)y2 + y = x2
1+x2 x 1+x2
Temat VI  równania różniczkowe - wILIŚ - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
Zadanie 8. Rozwiaż 10 dowolnych przykÅ‚adów z Zadania 7 metod¸ uzmienniania staÅ‚ej.
¸ a
Zadanie 9. Rozwiaż zagadnienie pocz¸ Cauchy ego:
¸ atkowe
Ä„ x+1
(a) y2 + ytg x = cos2 x, y( ) = 0.5 (b) y2 + y = 3xe-x, y(1) = 0
4 x
Zadanie 10. Rozwiaż równania sprowadzalne do równaÅ„ pierwszego rz¸
¸ edu:
y2
(a) y2 2 + y2 tg x = sin 2x (b) xy2 2 = y2 ln
x2
(c) xy2 2 - y2 = x2 (d) y2 2 x ln x = y2
(e) y · y2 2 = (y2 )2 (f) 2y · y2 2 - (y2 )2 = 1
2 1
(g) (y - 1)y2 2 = 2(y2 )2 (h) (1 + x2)y2 2 + 2xy2 = , y(1) = 1, y2 (1) = -
x3 2
Zadanie 11. Rozwiaż równania Bernoulliego:
¸
xy x
(a) y2 + xy - xy3 = 0 (b) y2 - = (c) y2 + 2xy = 2x3y3
2(x2-1) 2y
"
(d) y2 + y = xy-6 (e) xy2 - 4y = x2 y (f) y2 + y - xy4 = 0
Zadanie 12. Rozwiaż równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:
¸
(a) y2 2 - y2 - 2y = 0 (b) y2 2 - 6y2 + 13y = 0 (c) 4y2 2 - 12y2 + 9y = 0
(d) y2 2 - y = 0 (e) y2 2 + 4y2 + 4 = 0 (f) y2 2 + 2y2 + 5y = 0
(g) y2 2 2 + y = 0 (h) y2 2 2 + y2 2 - 6y2 = 0 (i) y(4) - 8y2 = 0
(j) y(4) + 5y2 2 + 4y = 0 (k) y(4) - 16y = 0 (l) y2 2 2 + 2y2 2 - y2 - 2y = 0
(m) y2 2 2 + y2 2 = 3y2 - 5y = 0 (n) y(4) + y2 2 2 - 2y2 2 = 0 (o") y(4) + 4y2 2 2 + 8y2 2 + 8y2 + 4y = 0
Zadanie 13. Rozwiaż zagadnienie pocz¸ Cauchy ego:
¸ atkowe
(a) y2 2 - 3y2 = 0, y(0) = 2, y2 (0) = 1 (b) 3y2 2 2 + 5y2 2 + y2 - y = 0, y(0) = 0, y2 (0) = 1, y2 2 (0) = -1
Ä„
(c) y2 2 - 2y2 + 5y = 0, y(0) = 0, y2 (0) = 1 (d) y2 2 2 + 9y2 = 0, y( ) = 2, y2 (Ä„ ) = 3, y2 2 (Ä„ ) = 9
3 3 3
Zadanie 14. Rozwiaż równania liniowe niejednorodne o staÅ‚ych współczynnikach metod¸ przewidywaÅ„:
¸ a
(a) y2 2 - 2y2 - 3y = 6 (b) y2 2 + 5y2 + 6y = 2x (c) y2 2 - y = ex
(d) y2 2 - 2y2 + y = ex (e) y2 2 + 3y2 + 2y = 10 cos 2x (f) y2 2 - y = ex + sin x
(g) y2 2 + 2y2 + y = x2e-x (h) y2 2 - 4y2 + 3y = e2x sin x (i) y2 2 + 3y2 - 4y = e-4x + xe-x
(j) y2 2 2 + y2 2 - 2y2 = 4x (k) y2 2 2 + 2y2 = ex (l) y2 2 2 + y2 2 + y2 + y = xe-x
(m) y(4) + y2 2 2 - y2 2 - y2 = x2 (n) y(4) + 5y2 2 + 4y = sin 3x (o) y2 2 2 + 2y2 2 - y2 - 2y = 2x - e-x
(p) y(4) + y2 2 2 = 4 + cos 4x
Zadanie 15. Rozwiaż zagadnienie pocz¸ Cauchy ego:
¸ atkowe
(a) y2 2 - 4y = 4x2 + 2 y(0) = 0, y2 (0) = 2
(b) y2 2 - 4y2 + 4y = e2x y(0) = 2, y2 (0) = 8
(c) y2 2 2 + 2y2 2 + y2 = -2e-2x y(0) = 2, y2 (0) = 1, y2 2 (0) = 1
Zadanie 16. Rozwiaż równania liniowe niejednorodne metod¸ uzmienniania staÅ‚ych:
¸ a
ex 2
(a) y2 2 - 2y2 + y = , (b) y2 2 + y = tg x, (c) y2 2 + y = , (d) y2 2 - 2y2 + y = exarctg x
x cos3 x
Sporz¸ ac list¸ zadaÅ„ korzystaÅ‚am z materiałów wÅ‚asnych oraz z materiałów dr J. Dymkowskiej i mgr. W.
adzaj¸ e
Gr¸
aziewicza.