n a p ę d y i s t e r o w a n i e

w w w. e l e k t r o . i n f o . p l

n r 7 - 8 / 2 0 0 4

30

F

iltry proste jednogałęziowe, a zwłaszcza ich grupy, są nadal powszechnie
i chętnie stosowane do poprawy jakości energii elektrycznej. Analiza po-

jedynczego filtru nie sprawia większych problemów. Można bez większego
problemu zaprojektować filtry, które będą dostrojone do wybranych wyższych
harmonicznych, jednak po złożeniu ich w jedną grupę, okazuje się, że ich po-
jemności i indukcyjności mają wpływ na pozostałe filtry, zniekształcając ich
wypadkową charakterystykę częstotliwościową. W artykule zostanie zapre-
zentowana metoda projektowania grupy filtrów prostych, których charakte-
rystyka wypadkowa spełnia wymagania projektowe.

filtr prosty

W artykule [3] przedstawiono wymagania oraz metodę projektowania filtru pro-

stego i podwójnie nastrojonego, jak również zespołu filtrów prostych i podwójnie
nastrojonych. Metody te jednak nie uwzględniają wzajemnego wpływu poszczegól-
nych filtrów. Ten wzajemny wpływ jest powodem przesunięcia maksimów charak-
terystyki wypadkowej zespołu filtrów od zadanych częstotliwości.

przykład 1

Zaprojektować filtry proste jednogałęziowe o sumarycznej mocy 1MVAr,

pracujące na napęciu 6 kV przy założeniu R

F

= 0. Filtry mają za zadanie eli-

minację harmonicznych o numerach 5, 7, 11 i 13.

U = 6 kV
Q

F

= 1 MVAr

n

r

5

7

11

13

ω

(n)

500 π

700 π

1100 π

1300 π

Rozład mocy na poszczególne filtry:

Q

Q

Q

Q

Q

F

F

F

F

F

=

+

+

+

5

7

11

13

5

7

7

11

11

13

5

7

7

11

11

13

Q

Q

Q

Q

Q

Q

F

F

F

F

F

F

=

=

=

Z powyższych zależności wyznaczyć można poszczególne moce filtrów:

Q

kVAr

Q

kVAr

Q

kVAr

Q

kVAr

F

F

F

F

5

7

11

13

392
280

178
150

=
=

=
=

Impedancję filtru opisuje wzór (1):

Z

j L

j

C

Fn

Fn

Fn

=

−

ω

ω

1 (1)

projektowanie grupy

filtrów prostych

z uwzględnieniem ich wzajemnych wpływów

dr inż. Ryszard Klempka - Akademia Górniczo-Hutnicza

Dla częstotliwości dostrojenia filtru otrzymamy:

Z

L

C

Fn

rn

rn Fn

rn Fn

ω

ω

ω

(

)

=

−

=

1

0 (2)

Stąd można wyznaczyć wartość L

Fn

:

L

C

Fn

rn Fn

=

1

2

ω

(3)

Wstawiając do wzoru na impedancję:

Z

j

C

Fn

Fn

rn

rn

= −

−

1

2

2

2

ω

ω

ω ω

(4)

Moc filtru:

Im Z

j

U

Q

Fn

Fn

ω

1

2

( )

( )

(

)

= −

(5)

Uwzględniając moc filtru:

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

C

U

Q

C

Q

U

n

Fn

rn

rn

Fn

Fn

rn

rn

Fn

r

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

−

=

=

−

=

( )

( )

( )

( )

nn

rn

Fn

n

Q

U

2

2

1

2

1 1

−

( )

ω

(6)

Korzystając ze wzorów (3) i (6) można wyznaczyć parametry L i C poszcze-
gólnych filtrów.

n

r

5

7

11

13

C [mF]

33.24

24.23

15.61

13.24

L [mH]

12.2

8.5

5.4

4.5

Należy zwrócić uwagę, że maksima charakterystyki wypadkowej nie pokry-

wają się z częstotliwościami 300 Hz, 450 Hz i 600 Hz (6., 9. i 12. harmonicz-
na). Dla tych częstotliwości impedancja całkowita filtru jest mała, co może
być powodem wystąpienia rezonansów z siecią.

Drugą ważną rzeczą jest kolejność załączania i odłączania filtrów. Pod-

czas załączania należy załączać filtry od najniższej harmonicznej do naj-
wyższej, nie pomijając żadnej z występujących harmonicznych, gdyż może
to być powodem powstania rezonansów, natomiast odłączać filtry należy
w odwrotnej kolejności.

grupa filtrów prostych

Już w fazie projektowania zachodzi potrzeba uwzględnienia wzajemnego

wpływu poszczególnych filtrów. Charakterystyka wypadkowa grupy filtrów
powinna spełniać następujące warunki:

w w w. e l e k t r o . i n f o . p l

n r 7 - 8 / 2 0 0 4

31

impedancja grupy filtrów dla harmonicznych eliminowanych powinna

być równa 0 przy założeniu R

Fn

= 0,

impedancja grupy filtrów dla harmonicznych pośrednich tj. 6., 9. i 12. po-

winna dążyć do nieskończoności,

moc wypadkowa grupy filtrów powinna wynosić założoną wartość.

Impedancja filtru prostego:

Z

j

C

j

n

k

n k

C

Fn

Fn

rn

rn

rn

rn

Fn

= −

−

= −

−

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

ω

ω

ω ω

ω

( )

(7)

gdzie

k =

( )

ω

ω

1

Impedancja grupy filtrów:

1

1

Z

Z

F

Fn

n

=

∑

(8)

Dla harmonicznych eliminowanych:

Z

F

rn

ω

(

)

= 0 (9)

Co prowadzi do zależności (3).
Dla harmonicznych pośrednich, tj 6., 9. i 12.:

Z

F

pm

ω

( )

= ∞ czyli

Z

F

pm

ω

( )

=

1

0 (10)

gdzie:
m – ilość częstotliwości pośrednich,
m = ilość filtrów prostych –1,
w

p

– pulsacja harmonicznych pośrednich,

p – numer harmonicznej pośredniej.

p

p

=

( )

ω

ω

1

Korzystając z zależności (5) można napisać:

1

1

2

Im Z

j

Q
U

F

F

ω

( )

( )

(

)

=

(11)

Na podstawie zależności (10) i (11) można zbudować układ równań, który jed-
noznacznie określi parametry grupy filtrów:

1

0

1

0

1

1

1

2

Z

Z

Z

Q
U

F

p

F

pm

F

F

ω

ω

ω

( )

=

( )

=

( )

=

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪

( )

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

(12)

Zależności (8) i (12) prowadzą do kolejnych uproszczeń:

1

1

1

1

1

1

5

1

7

1

1

5

2

2

5

Z

Z

Z

Z

Z

Z

F

p

F

p

Fn

p

F

p

Fn

p

F

pm

ω

ω

ω

ω

ω

ω

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

5

1

7

1

1

Z

Z

Z

Z

Fn

pm

F

F

Fn

ω

ω

ω

ω

( )

( )

( )

( )

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

( )

( )

( )

⎢⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

0

0

2

Q
U

F

⎢⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

(13)

Uwzględniając zależność (7) można zapisać:

Rys. 1 Wykres mocy całkowitej filtru oraz mocy poszczególnych filtrów

Rys. 2 Wykres wypadkowej impedancji zespołu filtrów

n a p ę d y i s t e r o w a n i e

w w w. e l e k t r o . i n f o . p l

n r 7 - 8 / 2 0 0 4

32

n

n

n

n

n

n

n

r

r

r

r

rn

rn

r

5

2

1

5

2

2

7

2

1

7

2

2

2

1

2

2

5

2

1

6

6

6

6

6

6

9

ω

ω

ω

ω

( )

( )

( )

( )

−

−

−

nn

n

n

n p

n

p

n p

n

r

rn

rn

r

r

rn

rn

5

2

2

2

1

2

2

5

2

1

5

2

2

2

1

2

9

9

9

−

−

−

−

ω

ω

ω

( )

( )

( )

pp

n

n

n

n

n

n

r

r

r

r

rn

rn

2

5

2

1

5

2

7

2

1

7

2

2

1

2

1

1

1

ω

ω

ω

( )

( )

( )

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

C

C

F

Fn

5

⎢⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

0

0

2

Q
U

F

⎢⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

(14)

Równanie (14) można uprościć:

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

r

r

r

r

rn

rn

r

r

rn

rn

5

2

5

2

2

7

2

7

2

2

2

2

2

5

2

5

2

2

2

6

6

6

6

6

6

9

9

9

−

−

−

−

22

2

5

2

5

2

2

2

2

2

5

2

1

5

2

7

2

1

7

2

9

1

−

−

−

−

n p

n

p

n p

n

p

n

n

n

n

r

r

rn

rn

r

r

r

r

ω

ω

( )

( )

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

1

1

2

1

2

n

n

rn

rn

ω

( )

⎥⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

C

C

F

Fn

5

=

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

0

0

2

Q
U

F

(15)

W

A

C

Fn

Dla powyższego równania można już ostatecznie wyznaczyć wartości po-

jemności poszczególnych filtrów:

C

A W

Fn

=

−1

nr

5

7

11

13

Przyk

ład 1

C

Fn

[µF]

33.24

24.23

15.61

13.24

L

Fn

[mH]

12.2

8.5

5.4

4.5

Q

Fn

[kVar]

391.63

279.73

178.01

150.63

Przyk

ład 2

C

Fn

[µF]

45.33

19.95

10

10.7

L

Fn

[mH]

8.9

10.4

8.4

5.6

Q

Fn

[kVar]

533.94

230.3

113.93

121.79

Tab. 1 Parametry filtrów wyznaczone obiema metodami

przykład 2

Dla danych z przykładu 1 można zaprojektować grupę filtrów poniższą me-
todą:

5 6

5

6

7 6

7

6

11 6

11

6

13 6

13

6

5 9

5

9

7 9

7

9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

111 9

11

9

13 9

13

9

5 12

5

12

7 12

7

12

11 12

11

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

113 9

13

9

5 100

5

1

7 100

7

1

11 100

11

1

13 100

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

π

π

π

ππ

13

1

2

5

7

11

13

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

C
C

C
C

F

F

F

F

⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎥

=

⋅

(

)

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

0
0
0

10

6 10

6

3 2

nr

5

7

11

13

C [µF]

45.33

19.95

10

10.7

L [mH]

8.9

10.4

8.4

5.6

Jak widać, charakterystyka częstotliwościowa grupy filtrów spełnia posta-
wione wymagania.
W tabeli 1 zestawiono parametry filtrów wyznaczone obiema metodami.
Na rysunku 4 pokazano zestawienie mocy poszczególnych filtrów projekto-
wanych dwiema metodami.

wnioski

Moc filtru piątej harmonicznej wyznaczonego metodą „macierzową” jest

większa od mocy w przypadku projektowania tradycyjną metodą. Moce pozo-
stałych filtrów są mniejsze w metodzie „macierzowej”. Moc ostatniego filtru
w metodzie drugiej jest większa od mocy przedostatniego filtru. W metodzie
klasycznej moce filtrów maleją hiperbolicznie i są odwrotnie proporcjonalne
do numeru harmonicznej, do której dany filtr jest dostrojony.

Zaletą metody „macierzowej” jest otrzymanie charakterystyki częstotliwo-

ściowej grupy filtrów zgodnie z założeniami, natomiast w metodzie klasycznej
kształt charakterystyki jest wynikiem doboru parametrów filtrów.

Jak do tej pory projektowanie filtrów dokonywano przy założeniu, że rezystan-

cje wewnątrz filtrów są zerowe. Tak jednak nie jest. Rezystancje (głównie od dła-

Rys. 3 Wykres wypadkowej impedancji zespołu filtrów

w w w. e l e k t r o . i n f o . p l

n r 7 - 8 / 2 0 0 4

33

wików) wpływają na wartość impedancji dla charakterystycznych dla filtra czę-
stotliwości, jak również w pewnych przypadkach, może przesuwać minima lub
maksima lokalne impedancji (rozstrojenie). Rezystancje są też powodem nieze-
rowania się impedancji dla częstotliwości dostrojenia filtrów, a dla częstotliwo-
ści pośrednich zamiast nieskończoności otrzymuje się wartości skończone.

Dodatkowo w systemie energetycznym zainstalowane są dodatkowe urzą-

dzenia, jak również sama sieć wpływa na pracę filtru. Dodatkowe indukcyjno-
ści i pojemności w systemie mają znaczący wpływ na prawidłową pracę ukła-
du filtrującego, stąd wniosek, że wszystkie te parametry należy uwzględnić
przy projektowaniu filtrów. Jednak analiza systemu z taką ilością parametrów
jest trudna, dlatego do projektowania takich urządzeń można i warto zasto-
sować inteligentne systemy optymalizacyjne, takie jak Algorytmy Genetycz-
ne, Fuzzy Logic, sieci neuronowe itp.

literatura

1. Chi-Jui Wu, Jung-Chen Chiang etc., Investigation and mitigation of harmo-

nic amplification caused by single-tuned filters, IEEE Trans. on Power De-
livery, 13, 3, 1998.

2. Hanzelka Z., Klempka R., Filtry wyższych harmonicznych – wybrane za-

gadnienia. „Napędy i Sterowanie“, 3, 9, 2000.

3. Hanzelka Z., Klempka R., Pasywne filtry wyższych harmonicznych, „elek-

tro.info“ 6/2003.

4. Klempka R., Hanzelka Z., Application of Genetic Algorithm in Double Tu-

ned Filters Design, EPE 2001, Graz.

5. Klempka R., Designing a group of single-branch filters, Electrical Power

Quality and Utilisation 2003, Kraków.

6. Klempka R., Hanzelka Z., Filtr pasywny podwójnie nastrojony, zaprojekto-

wany Algorytmem Genetycznym. SENE’01, Łódź 2001.

7. Klempka R., Hanzelka Z., Filtering Properties of the Selected Double Tuned

Passive Filter Structures Designed Using Genetic Algorithm, EPE PEMC
2002, Dubrovnik.

8. Harder J.E., AC filter arrester application. IEEE Trans. on Power Delivery,

11, 3, 1996.

9. Xiao Yao, Algorithm for the parameters of double tuned filter. 8th Int.

Conf. on Harmonics and Quality of Power, Oct. 14-16, 1998, Athens.

Rys. 4 Wykres macy poszczególnych filtrów dla obu metod projektowania w kolejności

przytoczonej w artykule.