Całka Riemanna

+

−

f(x)

a

b

x

y

Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z
rzeczywistej funkcji

f

na przedziale

[a,b]

jest

pole powierzchni

ob-

szarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru
oznaczonego kolorem żółtym.

Całka Riemanna – konstrukcja

analizy matematycz-

nej

przedstawiona przez niemieckiego matematyka

Bernharda Riemanna

w 1854 roku w jego

pracy habilita-

cyjnej

na

Uniwersytecie w Getyndze

pt. Ueber die Dar-

stellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Re-
ihe („O reprezentowalności

funkcji

przez

szereg trygo-

nometryczny

”) jako pierwsza ścisła definicja

całki

. Ist-

nieje również

całkowicie równoważna całce Riemanna

konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskie-
go matematyka

Gastona Darboux

, który wprowadził ją w

swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations
aux dérivées partielles du second ordre („O

równaniach

różniczkowych cząstkowych

drugiego rzędu”) i uzasad-

nił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w
pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues
(„Rozprawa o teorii

funkcji nieciągłych

”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność,
klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadze-
nia wystarczające częstokroć do większości zastoso-
wań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco
mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowa-
dzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla kon-
strukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek na-
leży względnie mała ilość

funkcji całkowalnych

, czy ko-

nieczność

zbieżności jednostajnej ciągu funkcji

przy za-

mianie operatorów

granicy

i całki

[uwaga 1]

, co znacząco

zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje

wiele

uogólnień

tego pojęcia mających na celu pokonanie róż-

norakich jego ograniczeń.

W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka
to

operator

przypisujący danej

rzeczywistej funkcji ogra-

niczonej

określonej na

przedziale

(rzeczywistym) pewną

liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako

pole po-

wierzchni

między jej

wykresem

a

osią odciętych

(pole

zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funk-
cji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne ist-
nieniu i wartości tzw.

miary Jordana

wspomnianego ob-

szaru (zob.

Związek z miarą Jordana

). Sama całka Rie-

manna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost
na

przestrzenie euklidesowe

dowolnego wymiaru, co opi-

sano w

osobnej sekcji

.

1 Konstrukcje

Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym po-
działem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej śred-
nicy zaznaczono kolorem czerwonym.

1.1 Podział przedziału

Podziałem

P

przedziału

[a,b]

nazywa się każdy (ściśle)

rosnący ciąg skończony

(p

0

,...,p

n

)

elementów nazywanych

1

2

1 KONSTRUKCJE

punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i
ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i ko-
niec przedziału, tzn.

a=p

0

<p

1

<

···<p

n

−1

<p

n

=b.

W każdym

z podprzedziałów podziału

P

można wyróżnić jeden ele-

ment, nazywany punktem pośrednim: podział

P (q

1

,...,q

n

)

z

punktami pośrednimi

q

1

,...,q

n

przedziału

[a,b]

można zde-

finiować jako ciąg skończony

(p

0

,...,p

n

,q

1

,...,q

n

),

dla które-

go

a=p

0

<p

1

<

···<p

n

−1

<p

n

=b

oraz

q

i

∈P

i

dla

i=1,...,n.

Każda

para „sąsiednich” punktów podziału

(p

i

−1

,p

i

)

wyznacza

podprzedział

P

i

=[p

i

−1

,p

i

]

o długości

|P

i

|=∆p

i

:=p

i

−p

i

−1

dla

i=1,...n.

Podział

S

rozdrabnia (lub zagęszcza) podział

P,

jeżeli

podział

P

jest

podciągiem

podziału

S,

tzn. dla każde-

go

i=1,...,m

można wybrać

j

i

=1,...,n

tak, że

s

i

=p

ji

.

Po-

dobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie)
podziału

P (q

1

,...,q

n

)

przez podział

S(t

1

,...,t

n

)

z jedynym

zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośred-
nie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego

i=1,...,m

można było tak wybrać

j

i

=1,...,n,

by

r

i

=p

ji

oraz

t

i

∈{q

ji

,...,q

ji+1−1

}.

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podzia-
łów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów.
Średnicą podziału

P

nazywa się największą długość prze-

działu,

diam P =max

i=1,...,n

|P

i

|.

Ciąg podziałów

(P

k

)

nazy-

wa się normalnym, jeżeli

diam P

k

→0

dla

k

→∞.

1.2

Całka Darboux

x

1

1

y

0

Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami
zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów.

Niech dana będzie funkcja ograniczona

f : [a,b]

→R.

Kresy

dolny i górny

funkcji

f

w danym podprzedziale

P

i

podzia-

łu

P

przedziału

[a,b]

oznaczane będą odpowiednio symbo-

lami

m

f,P

i

=

inf

x

∈P

i

f (x)

oraz

M

f,P

i

=

sup

x

∈P

i

f (x);

różnicę tych liczb

ω

f,P

i

= M

f,P

i

− m

f,P

i

nazywa się oscylacją funkcji

f

na przedziale

P

i

.

Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się
liczby

L

f,P

=

n

∑

i=1

m

f,P

i

·∆p

i

oraz

U

f,P

=

n

∑

i=1

M

f,P

i

·∆p

i

.

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i
górnej (Darboux) funkcji

f

jako odpowiednio

L

f

=

sup

{

L

f,P

: P

jest podziałem [a, b]

}

oraz

U

f

=

inf

{

U

f,P

: P

jest podziałem [a, b]

}

.

O funkcji

f

mówi się, że jest całkowalna w sensie Dar-

boux lub krótko D-całkowalną, jeżeli

L

f

=U

f

;

wówczas tę

wspólną wartość

D

f

całki dolnej i górnej Darboux nazy-

wa się po prostu całką Darboux.

1.3 Całka Riemanna

Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w
prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimal-
nej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i
lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech
przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprze-
działów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).

Niech dana będzie

funkcja ograniczona

f : [a,b]

→R.

Sumą

częściową (Riemanna) nazywa się liczbę

R

f,P (q

1

,...,q

n

)

=

n

∑

i=1

f (q

i

)

· ∆p

i

.

Funkcję

f

nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub

krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normal-
nego

(P

k

)

podziałów przedziału

[a,b],

istnieje (niezależna

od wyboru punktów pośrednich) granica

[uwaga 2]

3

R

f

=

lim

k

→∞

R

f,P

k

(

q

k
1

,...,q

k

nk

)

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równo-
ważnie: jeżeli istnieje taka liczba

R

f

,

że dla dowolnej

liczby rzeczywistej

ε>0

istnieje taka liczba rzeczywista

δ>0,

że dla dowolnego podziału

P (q

1

,...,q

n

)

o średnicy

diam P (q

1

,...,q

n

)<δ;

bądź też w języku rozdrobnień: że

dla dowolnej liczby rzeczywistej

ε>0

istnieje taki po-

dział

S(t

1

,...,t

m

)

przedziału

[a,b],

że dla każdego podziału

P (q

1

,...,q

n

)

rozdrabniającego

S(t

1

,...,t

m

)

zachodzi

R

f,P (q

1

,...,q

n

)

− R

f

< ε.

Funkcję

f

nazywa się wtedy całkowalną w sensie Rieman-

na (R-całkowalną), a liczbę

R

f

jej całką Riemanna.

1.4

Równoważność

Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma
górna zmniejsza się.

Jeżeli

P

′

jest rozdrobnieniem

P,

to

U

f,P

⩾U

f,P ′

oraz

L

f,P

⩽

L

f,P ′

.

Jeżeli

P

1

,P

2

są dwoma podziałami przedziału

[a,b],

to istnieją ich rozdrobnienia

P

′

1

=P

′

2

(podział złożony z

punktów

P

1

i

P

2

), mamy więc

L

f,P1

⩽L

f,P ′

1

⩽U

f,P ′

2

⩽U

f,P2

, skąd

L

f

⩽U

f

.

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiada-
jącymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla
podziału z punktami pośrednimi

P (q

1

,...,q

n

)

i odpowiada-

jącego mu podziału

P

bez punktów pośrednich odcinka

[a,b]

zachodzi

L

f,P

⩽ R

f,P (q

1

,...,q

n

)

⩽ U

f,P

;

więcej, są to kresy dolne i górne wartości

R

f,P (q1,...,qn)

odpowiadającej podziałowi

P (q

1

,...,q

n

)

z dowolnymi

punktami pośrednimi

[uwaga 3]

.

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn.

L

f

=U

f

,

to istnieje

również

R

f

=D

f

,

tak więc

U

f,P

− L

f,P

=

n

∑

i=1

ω

f,P

i

· ∆p

i

< ε

dla dowolnego podziału

P,

pociąga całkowalność w sen-

sie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział
z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma
wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux,
co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnie-
nie całki Darboux.

2 Oznaczenia

Różne warianty

typograficzne

znaku całki – od lewej do prawej:

symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w
krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publika-
cjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do
tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z
wariantów.

Symbol całki ∫ powstał z

minuskuły

ſ (tzw. „

długiego

s

”)

[uwaga 4]

używanej przez

Gottfrieda Leibniza

w łaciń-

skim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on
ſumma. Dla funkcji

f : [a,b]

→R

całki Darboux górną

U

f

i

dolną

L

f

oznacza się zwykle odpowiednio symbolami

∫

b

∫

a

f (x)

dx,

∫

b

∫

a

f (x)

dx,

zaś samą całkę Darboux

D

f

oraz całkę Riemanna

R

f

do-

dając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,

(

D)

b

∫

a

f (x)

dx,

(

R)

b

∫

a

f (x)

dx.

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle
mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle
pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do
nieporozumień:

4

3 WŁASNOŚCI

b

∫

a

f (x)

dx.

3

Własności

Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w pra-
wym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – moż-
na zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce
funkcji.

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej

f : [a,b]

→R,

gdzie

a

⩽b,

będą dane jej

kresy dolny i górny

oraz kres

górny

wartości bezwzględnej

:

m

f

=

inf

x

∈[a,b]

f (x),

M

f

=

sup

x

∈[a,b]

f (x)

oraz

K

f

=

sup

x

∈[a,b]

f (x)

.

Wówczas

[uwaga 5]

m

f

(b

− a) ⩽

b

∫

a

f (x)

dx

⩽ M

f

(b

− a),

skąd też

[uwaga 6]

b

∫

a

f (x)

dx

⩽ K

f

(b

− a),

zaś dla funkcji

f

spełniającej

f (x)

⩾0

dla wszystkich

x

∈[a,b]

zachodzi

[uwaga 7]

b

∫

a

f (x)

dx

⩾ 0.

Całka Riemanna jest

operatorem liniowym

na przestrze-

ni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli

f,g

są

R-całkowalne oraz

c,d

∈R,

to funkcja

cf +dg

również jest

całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi

[uwaga 8]

b

∫

a

cf (x) + dg(x)

dx = c

b

∫

a

f (x)

dx + d

b

∫

a

g(x)

dx.

3.1 Podstawowe twierdzenie rachunku cał-

kowego

Jeśli

f

jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona cał-

kowalna na

[a,x]

dla dowolnego

x

∈[a,b],

a funkcja

F : [a,b]

→

R

dana wzorem

F (x) =

x

∫

a

f (t)

dt

jest

ciągła

na

[a,b]

i

różniczkowalna

w każdym punkcie

ciągłości funkcji

f.

3.2 Twierdzenie Newtona-Leibniza

Jeśli

f

jest ciągła, a

F

jest jej dowolną

funkcją pierwotną

,

to zachodzi tzw. wzór Newtona-Leibniza,

b

∫

a

f (x)

dx = F (b)

− F (a).

Dowód

Pole powierzchni S zawarte pomiędzy wykresem funk-
cji f a osią odciętych OX na przedziale [a, b] dzielimy
na n równych części, przy czym n jest nieskończenie du-
że, czyli n

→ ∞ . W ten sposób przedział [a, b] zostaje

podzielony na ciąg złożony z nieskończenie małych od-
cinków, z których każdy ma tę samą szerokość równą
różniczce dx . Współrzędne tych odcinków tworzą ciąg:
(x

0

, ..., x

n

)

, przy czym x

0

= a, x

1

= a + dx, x

2

=

a + 2dx, ..., x

n

= b

. Wynika stąd, że:

∧

k

∈{0,...,n−1}

x

k+1

− x

k

= dx

W rezultacie otrzymujemy nieskończenie cienkie prosto-
kąty o wymiarach f (x

k

)

× dx dla k ∈ {0, ..., n − 1}

będące kolejnymi różniczkami pola powierzchni. Defini-
cja pochodnej funkcji F w punkcie x :

F

′

(x) =

F (x + dx)

− F (x)

dx

5

Dzieląc przedział [a, b] funkcji F identycznie, jak dla
funkcji f , powyższą definicję można zapisać następują-
co:

∧

k

∈{0,...,n−1}

F

′

(x

k

) =

F (x

k+1

)

− F (x

k

)

dx

Funkcja pierwotna funkcji f to taka funkcja F , której
pochodną jest funkcja f .

F

′

(x) = f (x)

Wynika stąd, że:

∧

k

∈{0,...,n−1}

f (x

k

) = F

′

(x

k

) =

F (x

k+1

)

− F (x

k

)

dx

Całkowite pole powierzchni jest więc równe sumie pól
powierzchni wszystkich otrzymanych prostokątów.

S =

n

−1

∑

k=0

f (x

k

)dx

S = f (x

0

)dx+f (x

1

)dx+...+f (x

n

−2

)dx+f (x

n

−1

)dx

S =

F (x

1

)

− F (x

0

)

dx

dx+

F (x

2

)

− F (x

1

)

dx

dx+...+

F (x

n

−1

)

− F (x

n

−2

)

dx

dx+

F (x

n

)

− F (x

n

−1

)

dx

dx

Podkreślone wyrazy, czyli różniczki dx , upraszczają się.

S = [F (x

1

)

−F (x

0

)]+[F (x

2

)

−F (x

1

)]+...+[F (x

n

−1

)

−F (x

n

−2

)]+[F (x

n

)

−F (x

n

−1

)]

Podkreślone wyrazy upraszczają się. Nietrudno jest zo-
rientować się, że tym sposobem uproszczą się wszystkie
wyrazy, z wyjątkiem

−F (x

0

)

i F (x

n

)

. Ostatecznie pole

powierzchni jest więc równe:

S = F (x

n

)

− F (x

0

)

S = F (b)

− F (a)

co należało udowodnić.

3.3

Charakteryzacja funkcji całkowalnych

Z

równoważności konstrukcji

funkcja jest całkowal-

na w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
całkowalna w sensie Darboux; w tej części artyku-
łu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposo-
bów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalny-
mi. Niech dana będzie funkcja

f : [a,b]

→R.

Każda

funkcja

ciągła

f

jest całkowalna

[uwaga 9]

; podobnie, gdy

f

jest

monotoniczna

[uwaga 10]

.

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych moż-
na dokonać za pomocą

teorii miary

; nie mniej funkcje

te można opisać definiując pojęcie nieodwołujące się
do ogólnej teorii: zbiór

E

⊆R

nazywa się zaniedbywal-

nym

[uwaga 11]

wtedy i tylko wtedy, gdy można

pokryć

go

(co najwyżej)

przeliczalną

liczbą dowolnie krótkich od-

cinków, tzn. dla każdego

ε>0

istnieje (co najwyżej) prze-

liczalny ciąg przedziałów

(I

n

)

spełniający

E

⊆

∪

n

I

n

oraz

∑

n

|I

n

|<ε.

Przykładami takich zbiorów są np.

punkt

, tj.

zbiór jednoelementowy, dowolne

zbiory skończone

lub

przeliczalne;

kontrprzykładami

są

odcinek

, czyli prze-

dział, bądź dowolny

zbiór otwarty

.

Twierdzenie:

Funkcja ograniczona

określona na prze-

dziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy,
gdy jest

prawie wszędzie ciągła

, tzn. zbiór jej nieciągłości

jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co
najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególno-
ści, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że

wartość bezwzględna

|f|

funkcji całkowalnej

f

jest rów-

nież całkowalna. Podobnie iloczyn (

określony punktowo

)

f g

dwóch funkcji całkowalnych

f,g

również jest funk-

cją całkowalną. Jeżeli

ciąg funkcji

całkowalnych

(f

n

)

jest

jednostajnie zbieżny

do funkcji

f,

to jest ona całkowalna

oraz

b

∫

a

f (x)

dx = lim

n

→∞

b

∫

a

f

n

(x)

dx.

4 Całka wielokrotna

5 Związek z miarą Jordana

6 Uogólnienia

Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna
jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstruk-
cje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przed-
stawione wyżej; nie mniej zwykle wymaga się, by dane

6

6 UOGÓLNIENIA

„Objętość pod powierzchnią” jako uogólnienie intuicji „pola pod
krzywą”.

Różnica ideowa między całką Riemanna/Darboux a całką Le-
besgue'a: w pierwszej wprowadza się podział dziedziny, w drugiej
– przeciwdziedziny funkcji.

uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sen-
sie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Rieman-
na/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna.
Pełniejszą listę całek można znaleźć w

osobnym artyku-

le

.

6.1

Całka Riemanna–Stieltjesa

Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprze-
działów danego podziału za pomocą ich obrazów w pew-
nej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako całka
Riemanna–Stieltjesa; dla dość szerokiej klasy funkcji jest

ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może da-
wać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży zwią-
zek z

całkowaniem przez podstawienie

znajdując zasto-

sowanie w

rachunku prawdopodobieństwa

(zbudowanym

w oparciu o tę całkę).

6.2 Całki Lebesgue'a, Daniella–Stone'a,

Lebesgue'a–Stieltjesa

Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest całka Le-
besgue'a, która jest równoważna z tzw. całką Daniella–
Stone'a: funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też
całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a
ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykła-
dem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a
(Daniella–Stone'a), a nie jest całkowalna w sensie Rie-
manna jest

funkcja Dirichleta

. Dalszym uogólnieniem,

łączącym w sobie zalety całki Lebesgue'a i Riemanna–
Stieltjesa, jest całka Lebesgue'a–Stieltjesa nazywana rów-
nież całką Lebesgue'a–Radona lub po prostu całką Rado-
na.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem
funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji
ograniczonej na przedziale nieograniczonym.

6.3 Całka niewłaściwa

W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne by-
wa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szcze-
gólności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym
z jego końców. Mówiąc o całce niewłaściwej, definio-
wanej jako granica całek określonych na przedziale do-
mkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedzia-
łu otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki

7

Riemanna. Nie mniej możliwe jest analogiczne uogólnie-
nie całki Lebesgue'a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej
dla opisanej niżej całki Henstocka–Kurzweila nie ma sen-
su, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik,
o czym mówi

twierdzenie Hake'a

. Oddzielnym zagadnie-

niem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe,
tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywisty-
mi.

6.4

Całka Henstocka–Kurzweila

Całka Henstocka–Kurzweila znana również jako całka
Denjoy, czy Perrona (albo Denjoy–Perrona) jest pewnym
uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco
od niej nieodbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-
Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji cał-
kowalnych w sensie Lebesgue'a oraz funkcji całkowal-
nych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uwa-
żane jest za jej główną zaletę. Istnieje drobna modyfika-
cja całki Henstocka–Kurzweila, znana jako całka McSha-
ne'a, która jest równoważna konstrukcji Lebesgue'a – ma
ona tym samym wszystkie jej zalety, a jej definicja nie
wymaga przy tym ogólnego aparatu

teorii miary

.

7

Linki zewnętrzne

•

Całka Riemanna

(

ang.

) w encyklopedii

MathWorld

8

Uwagi

[1] W przeciwieństwie do np.

całki Lebesgue'a

, czy

całki

Henstocka-Kurzweila

(zob.

Uogólnienia

), które przy dość

łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamia-
nę granicy z całką przy

zbieżności punktowej

ciągu funk-

cyjnego (por.

twierdzenia Lebesgue'a

i

lemat Fatou

).

[2] Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpo-

wiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to
jednej i tej samej granicy. Niech

(S

k

)

oraz

(U

k

)

będą dwo-

ma normalnymi ciągami podziałów przedziału

[a,b].

Ciąg

podziałów

(P

k

)

zdefiniowany jako

S

1

,U

1

,S

2

,U

2

,S

3

,U

3

,...

jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sen-
sie Riemanna, więc granica

lim

k

→∞

R

f,P k

(

qk

1

,...,qk

nk

)

istnie-

je i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla
podciągów (

P

2m

) i (

P

2m+1

) granice muszą być takie sa-

me (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej
samej granicy), więc

lim

k

→∞

S

f,Sk

=

lim

k

→∞

S

f,Uk

.

[3] Niech

ε>0;

wyznaczając

q

i

∈P

i

tak, by

f (q

i

)

⩾M

f,Pi

−

ε/(b

−a)

otrzymuje się

R

f,P (q1,...,qn)

=

∑

n
i=1

f (q

i

)

·∆p

i

⩾

∑

n
i=1

(

M

f,Pi

−ε/(b−a)

)

·∆p

i

=U

f,P

−ε,

co z dowolności

ε>0

oraz oszacowania

U

f,P

⩾R

f,P (q1,...,qn)

pociąga tezę dla

kresu górnego; podobnie dowodzi się, że

L

f,P

jest kre-

sem dolnym

R

f,P (q1,...,qn)

.

[4] Zob. również tzw. „

esz

” ʃ.

[5] Dla dowolnego podziału

P (q

1

,...,q

n

)

oraz dowolnej sumy

R

f,P (q1,...,qn)

zachodzi

m

f

⩽f(q

i

)

⩽M

f

(

i=1,...,n

), zatem

m

f

(b

−a)⩽R

f

⩽M

f

(b

−a),

gdyż

b

−a=∆p

1

+

···+∆p

n

.

[6] Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności

−K

f

⩽

m

f

⩽M

f

⩽K

f

.

[7] Wynika wprost z powyższego, gdyż

m

f

⩾0.

[8]

Addytywność

R

f

±g

=R

f

±R

g

wynika stąd, iż dla ustalo-

nego podziału

P (q

1

,...,q

n

)

zachodzi równość sum częścio-

wych

R

f

±g,P (q1,...,qn)

=R

f,P (q1,...,qn)

±R

g,P (q1,...,qn)

,

która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga
zbieżność sum po lewej stronie będących odpowied-
nio całką Riemanna z sumy funkcji

f

±g

oraz sumą

całek Riemanna z funkcji

f

i

g.

Podobnie dowodzi się

jednorodności

R

cf

=cR

f

.

[9] Funkcja

f

jest

jednostajnie ciągła

(jako określona na prze-

dziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego

ε>0

ist-

nieje podział

P

odcinka

[a,b]

o oscylacjach

ω

f,Pi

<ε/(b

−

a)

(

i=1,...,n

); stąd

U

f,P

−L

f,P

=

∑

n
i=1

ω

f,Pi

·∆p

i

<ε/(b

−

a)

∑

n
i=1

∆p

i

=ε,

zatem funkcja

f

jest D-całkowalna.

[10] Niech dla ustalenia uwagi funkcja

f

będzie

niemalejąca

;

jeśli

P

jest podziałem

[a,b]

spełniającym

(f (b)

−f(a))·

diam P

⩽ε

dla dowolnie wybranego

ε>0,

to

ω

f,Pi

<f (p

i

)

−

f (p

i

−1

)

(

i=1,...,n

), czyli

U

f,P

−L

f,P

=

∑

n
i=1

ω

f,Pi

·∆p

i

⩽

∑

n
i=1

ω

f,Pi

·diam P ⩽(f(b)−f(a))·diam P ⩽ε,

skąd wynika D-

całkowalność funkcji

f.

[11] Dowodzi się, że zbiory zaniedbywalne w powyższym sen-

sie odpowiadają dokładnie tzw.

zbiorom miary Lebes-

gue'a zero

, tzn. zbiorom, których

miara Lebesgue'a

jest

równa zeru.

8

9 ŹRÓDŁA, AUTORZY I LICENCJE TREŚCI I ZDJĘĆ

9

Źródła, autorzy i licencje treści i zdjęć

9.1

Tekst

• Całka Riemanna Źródło:

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka_Riemanna?oldid=47390870

Autorzy: Petryk, Olaf, Wojteks, Taw-

bot, Kuki, Olafbot, WojciechSwiderski, Nineth, LukKot, Tsca.bot, Avathar, Googl, Sunridin, Julo, Alx-pl, Yurik, 4C, Rosomak, YurikBot,
Eskimbot, Stotr, Akira~plwiki, Konradek, M gol, Thijs!bot, Escarbot, Loxley, .anacondabot, Rei-bot, Mpfiz, Stv.bot, TXiKiBoT, Heka-
tomba, SieBot, MastiBot, NickyBot, KamikazeBot, Żangle, Alexbot, Jacekkbdg, CarsracBot, D.M. from Ukraine, LaaknorBot, Al matach,
Luckas-bot, Ptbotgourou, KarolPiotrowski, Tremendo, Doman46, Mattwiki, Milek80, Rubinbot, Ferrycy, RedBot, D'ohBot, Blotowij, Ca-
thy Richards, Mattedia, MerlIwBot, Blackfish, Karol Szapsza, Addbot, EinsBot, Tom7em, Jacek Pontacik oraz Anonimowy: 23

9.2

Zdjęcia

• Plik:Darboux.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Darboux.svg

Licencja: Public domain Autorzy: own

work using a python script Artysta:

w:de:Benutzer:Gunther

• Plik:Darboux_refinement.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Darboux_refinement.svg

Licencja: Pu-

blic domain Autorzy: Praca własna Artysta:

w:de:Benutzer:Gunther

• Plik:Improper_integral.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/Improper_integral.svg

Licencja: CC-BY-

SA-3.0 Autorzy: self-made using gnuplot with alterations to SVG (piecewise-Bézier replacement of function graph, area fill) Artysta:

KSmrq

• Plik:Information_icon4.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Information_icon4.svg

Licencja: Public do-

main Autorzy: modified versions from below, which were modifies of

http://www.kde-look.org/

Artysta:

penubag

(color adjustments)

• Plik:Integral_Riemann_sum.png Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Integral_Riemann_sum.png

Licencja:

CC-BY-SA-3.0 Autorzy: self-made using text editor, rendered with GLIPS Graffiti Artysta:

KSmrq

• Plik:Integral_Uprightness.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Integral_Uprightness.svg

Licencja: CC0

Autorzy: Praca własna Artysta:

WhiteTimberwolf

• Plik:Integral_example.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Integral_example.svg

Licencja: CC-BY-SA-

3.0 Autorzy: self-made using text editor Artysta:

KSmrq

• Plik:Question_book-4.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Question_book-4.svg

Licencja: CC-BY-SA-

3.0 Autorzy: Created from scratch in Adobe Illustrator. Originally based on

Image:Question book.png

created by

User:Equazcion

. Artysta:

Tkgd2007

• Plik:RandLintegrals.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/RandLintegrals.svg

Licencja: Public domain

Autorzy: Praca własna Artysta:

Aaron Rotenberg

• Plik:Riemann.gif Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/Riemann.gif

Licencja: CC-BY-SA-3.0 Autorzy: ? Ar-

tysta: ?

• Plik:Riemann_sum_convergence.png Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Riemann_sum_convergence.png

Licencja: CC-BY-SA-3.0 Autorzy: self-made using text editor, rendered by GLIPS Graffiti Artysta:

KSmrq

• Plik:Volume_under_surface.png Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Volume_under_surface.png

Licencja:

Public domain Autorzy: self-made with MATLAB Artysta:

Oleg Alexandrov

• Plik:Wiki_letter_w.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Wiki_letter_w.svg

Licencja: CC BY-SA 3.0 Au-

torzy: Praca własna; Wikimedia Foundation Artysta: SVG

Jarkko Piiroinen

; rights, design and origin Wikimedia Foundation

9.3

Licencja zawartości

•

Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0