Całka Riemanna – oznaczona

Def: Zbiór P_n = { < x₀, x₁ > , < x₁, x₂ > …,   < x_n − 1, x_n>} gdzie a = x₀ < x₁ < … < x_n − 1 < x_n = b nazywamy podziałem przedziału <a, b> na przedziały częściowe <x₀, x₁ > , < x₁, x₂ > …,   < x_n − 1, x_n>

Def: Jeżeli P_n jest podziałem przedziału <a, b> oraz Δx_i = x_i = x_i − 1 , i=1 oznaczoną długością i-tego przedziału częściowego, to liczba λ_n = Δx_i  nazywamy średnicą tego zbioru

Def: Ciąg podziałów {P_n} przedziału <a, b> nazywamy normalnym ciągiem podziału tego przedziału jeżeli przy n → ∞, λ_n → ∞ czyli λ_n = 0 , gdzie {λ_n} jest ciągiem średnic kolejnych przedziałów

Def: Całki Oznaczonej

Niech dana jest funkcja f określona i ograniczona w przedziale domkniętym <a, b> .

Dzielimy przedział <a, b> na n przedziałów częściowych, wybierając punkty a = x₀ < x₁ < … < x_n − 1 < x_n = b

Otrzymujemy podział P_n przedziału <a, b> na przedziały częściowe o długości Δx_i = x_i = x_i − 1  ,   i = 1

W każdym przedziale częściowym wybieramy punkt ξ_i ∈   < x_i − 1,  x_i> obliczamy f(ξ_i) mnożymy przez długość i-tego przedziału czyli Δx_i . Tworząc sumę S_n =  f(ξ₁)Δx₁ + f(ξ₂)Δx₂ +  …  +  f(ξ_n)Δx_n nazywaną sumą Riemanna lub sumą całkową funkcji f na przedziale <a, b>

Zagęszczamy podział <a, b> tzn. każdy z przedziałów częściowych dzielimy na kolejne przedziały częściowe, otrzymane przedziały częściowe znowu dzielimy itd. Czyli tworzymy normalny ciąg przedziałów {P_n} (λ_n → ∞ przy n → ∞)

Każdemu z kolejnych podziałów odpowiada kolejna suma całkowa.

Normalnemu ciągowi podziałów {P_n} odpowiada ciąg sum całkowych {S_n}

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <a, b> istnieje, zawsze ta sama, skończona granica ciągu sum całkowitych {S_n} niezależnie od wyboru punktów pośrednich ξ_i , to granicę tą nazywamy całką oznaczoną (Riemana) funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy symbolem ∫_a^bf(x)dx .

$$\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}\operatorname{}{\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{\xi}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{\Delta}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}}\mathbf{\ }}$$

Interpretacja geometryczna

Suma całkowa jest sumą pół prostokątów o podstawach długości Δx_i i wysokości f(ξ_i)

Przy przejściu do granicy (n → ∞) otrzymujemy pole obszaru ograniczonego krzywą y = f(x) oraz osią Ox oraz prostymi x = a i x = b

Jeżeli f ≥ 0 to ∫_a^bf(x)dx = P . 

Jeżeli f < 0 to − ∫_a^bf(x)dx = P .  Ogólnie P =  ∫_a^b|f(x)|dx . 

Tw: Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> to jest w tym przedziale całkowalna!

Tw: O wartości średniej dla całki oznaczonej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> to

$$\exists_{c \in < a,b >}\text{\ f}\left( c \right) = \frac{1}{b - a}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\text{dx\ }}}$$

Własności Całki Oznaczonej

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale <a, b> to:

1. ∫_a^af(x)dx = 0

2. ∫_a^b[f(x) ± g(x)]dx = ∫_a^bf(x)dx ± ∫_a^bg(x)dx

3. ∫_a^bkf(x)dx = k∫_a^bf(x)dx ,  k ∈ R

4. ∫_a^bf(x)dx = −∫_b^af(x)dx

5. ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx

6. ∀_{x ∈ <a, b>} f(x)≤g(x) ⇒ ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx

Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego

Tw: Całka jako funkcja górnej granicy całkowania

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz x ∈ <a, b> to funkcja φ zdefiniowana wzorem

φ(x)=∫_a^xf(t)dt

Tw: Wzór Newtona – Leibniza

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, to:

∫_a^bf(x)dx = F(b)−F(a)

gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f

Tw: O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej

Jeżeli u, v ∈ C¹ w przedziale <a, b> , to

∫_a^bu(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b−∫_a^bu(x)v′(x)dx

Tw: O całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej

Jeżeli z φ ∈ C¹ w przedziale <α, β> oraz f jest ciągła w <a, b> ( czyli w zbiorze wartości funkcji φ na przedziale <α, β > ), to:

∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ′(t)dt

gdzie a =  φ(α), b =  φ(β),