GEOMETRIA PRZEKROJU

1

1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Oznaczenia:

(y, z) - dowolny układ współrzędnych

(y

c

, z

c

) - centralny układ współrzędnych, "równoległy" do układu (y, z)

A - pole powierzchni figury

C

-

środek ciężkości figury

y

s

, z

s

- współrzędne środka ciężk. figury C w dowolnym ukł. współrzędnych (y, z)

C

y

z

y

c

z

c

y

s

z

s

A

dA

ρ

O

1.1. Momenty statyczne

S

z d A

S

y d A

y

A

z

A

=

=

∫∫

∫∫

1.2. Położenie środka ciężkości C

z

S

A

y

S

A

s

y

s

z

=

=

1.3. Momenty bezwładności, moment dewiacji

I

z d A

I

y d A

y

A

z

A

=

>

=

>

∫∫

∫∫

2

2

0

0

(

)

(

)

(

)

I

d A

y

z

d A I

I

o

z

y

A

A

=

=

+

=

+

>

∫∫

∫∫

ρ

2

2

2

0

(

)

I

y z d A

yz

A

=

<=>

∫∫

(

)

0

1.4. Promienie bezwładności

i

I

A

i

I

A

y

y

z

z

=

=

2. Translacja układu współrzędnych - twierdzenie Steinera

C

y

z

y

c

z

c

y

s

z

s

A

O

α

y '

z '

I

I

A z

y

y

s

c

=

+

2

I

I

A y

z

z

s

c

=

+

2

I

I

A y z

yz

y z

s

s

c c

=

+

GEOMETRIA PRZEKROJU

2

3. Obrót układu współrzędnych

I

I

I

I

I

I

y

y

z

y

z

yz

'

cos

sin

=

+

+

−

−

2

2

2

2

α

α

I

I

I

I

I

I

z

y

z

y

z

yz

'

cos

sin

=

+

−

−

+

2

2

2

2

α

α

I

I

I

I

y z

y

z

yz

' '

sin

cos

=

−

+

2

2

2

α

α

4. Główne osie i momenty bezwładności

(

)

I

I

I

I

I

I

y

z

y

z

yz

1 2

2

2

2

1

2

4

,

=

+

±

−

+

tan

,

,

α

1 2

1 2

=

−

I

I

I

yz

z

y

z

1

2

α

1

> 0

z

y

1

α

1

< 0

2

5. Algorytm wyznaczania położenia głównych, centralnych osi bezwładności i

obliczania głównych, centralnych momentów bezwładności

Przyjąć dowolny układ współrzędnych (x, y)

"wygodny" do obliczeń

1

Wyznaczyć położenie środka ciężkości

C ( y , z )

s

s

2

Obliczyć centralne momenty bezwładności

( twierdzenie Steinera )

I

y

c

= I

y

s

- A z

2

I

z

c

= I

z

s

- A y

2

c

= I

yz

s

- A y z

I

z

y

c

s

3

Obliczyć główne centralne

momenty bezwładności

4

Wyznaczyć połóżenie głównych centralnych

osi bezwładności

5

GEOMETRIA PRZEKROJU

3

6. Charakterystyki wybranych przekrojów

I

I

a

I

I

a

I

a

y

z

y

z

y z

=

=

=

=

=

4

4

4

12

3

4

'

'

' '

;

I

bh

I

hb

I

bh

I

hb

I

b h

y

z

y

z

y z

=

=

=

=

=

3

3

3

3

2

2

12

12

3

3

4

;

;

;

'

'

' '

I

bh

I

hb

I

b h

I

bh

I

hb

I

b h

y

z

yz

y

z

y z

=

=

= −

=

=

=

3

3

2

2

3

3

2

2

36

36

72

12

12

24

;

;

;

;

'

'

' '

I

I

R

y

z

=

=

π

4

4

I

R

I

R

y

z

=

=

0 11

8

4

4

.

;

π

I

I

R

I

R

y

z

yz

=

=

= −

0 055

0 0165

4

4

.

.

y

z

z '

y '

a

a

y

z

z '

y '

b

h

z '

y '

b

h

y

z

y

z

R

y

z

4 R

3 π

R

y

z

R

a

a

4 R

3 π

a =