automatyka i sterowanie wyklad 12

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Intuitively, the state may be regarded as a kind of information storage or memory or accumulation
of past causes. We must, of course, demand that the set of internal states
x be sufficiently
rich to carry all information about the past history of
x to predict the effect of the past upon
the future. We do not insist, however, that the state is the
least such information although this
is often a convenient assumption.
R.E.Kalman, P.L. Falb and M.A.Arbib, Topics in Mathematical SystemTheory, 1969

Rozważać będziemy opis układu w postaci:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

1

((

kT

Du

kT

Cx

kT

y

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

+

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x

0

lub bardziej ogólnie x(t

0

)=x

0

background image

3

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

)

(

)

1

1

0

X ( s )

sI

A

x

sI

A

BU( s )

=

+

,

(

) (

)

)

(

)

0

(

)

(

1

z

Bu

zx

A

zI

z

X

+

=

0

0

t

x( t )

( t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

)

(

)

0

(

)

(

1

0

1

i

Bu

A

x

A

kT

x

k

i

i

k

k

=

+

=

=

=

)

)

((

)

0

(

1

1

T

i

k

Bu

A

x

A

k

i

i

k

+

=

1

z

u(kT)

y(kT)

x(kT)

x((k+1)T

background image

4

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

)

{

}

(

)

(

)

1

1

1

adj sI

A

( t ) L

sI

A

L

det sI

A

Φ

=

=

(

)

{

}

1

1

=

A

zI

z

Z

A

k

2 2

3 3

0

2

3

i i

i

A t

A t

A t

( t ) I

At

!

!

i!

=

Φ

= +

+

+

+

=

At

( t ) e

Φ

=

0

0

0

t

t

x( t )

( t t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ −

+ Φ −

)

(

)

0

(

)

(

1

0

1

i

Bu

A

x

A

kT

x

k

i

i

k

k

=

+

=

=

=

)

)

((

)

0

(

1

1

T

i

k

Bu

A

x

A

k

i

i

k

+

=


background image

5

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Postać modalna rozwiązania:

( )

0

1

1

0

0

1

0

i

i

i

i

t

n

n

s t

s t

T

T

i

i

i

i

i

i

t

n

s t

s

T

i

i

i

x( t )

e v w x

e

v w Bu( )d

e v w

x

e

Bu( )d

τ

τ

τ τ

τ τ

=

=

=

=

+

=

=

+

)

(kT

x

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

i

i

n

i

k

i

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

Bu

z

w

v

i

j

k

i

n

j

T

j

j

+

=

=


(

)

1

Y ( s )

C sI

A

B D U( s ) G( s )U( s )

=

+

=

(

)

1

Y ( z )

C zI

A

B D u( z ) G( z )u( z )

=

+

=

(

)

(

)

(

)

1

adj sI

A

G( s ) C sI

A

B D C

B D

det sI

A

=

+ =

+

(

)

1

adj( zI

A)

G( z )

C zI

A

B D

C

B D

det( zI

A)

=

+

=

+

mogą wystąpić skrócenia – transmitancja może być niższego rzędu niż wymiar wektora stanu!!

background image

6

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( t ) x( t ), det P

=

0

Pq( kT ) x( kT ), det P

=

równanie stanu

d

Pq( t ) APq( t ) Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

now

równanie wyjś a

e

ci

=

+

=

+

1

Pq(( k

)T ) APq( kT ) Bu( kT )

y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )

+

=

+

=

+

1

1

równanie st

d

q( t ) P APq( t ) P Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

anu

równanie wyjścia

nowe

=

+

=

+

1

1

1

q(( k

)T ) P APq( kT ) P Bu( kT )

y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )

+

=

+

=

+

1

1

d

q( t ) Aq( t ) Bu( t )

A P AP, B P B

dt
y( t ) Cq( t ) Du( t )

C CP

=

+

=

=

=

+

=

1

q(( k

)T ) Aq( kT ) Bu( kT )

y( kT ) Cq( kT ) Du( kT )

+

=

+

=

+

wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!

liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!

background image

7

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Układ ciągły:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

u

D

t

x

C

t

y

t

u

B

t

x

A

t

x

dt

d

c

c

c

c

c

c

+

=

+

=

poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu

(odpowiedniego wymiaru) i impulsatorem:

+

+

=

+

t

t

c

T

k

A

T

A

kT

u

B

d

e

kT

x

e

T

k

x

c

c

0

)

(

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

τ

τ

=

=

=

+

T

c

A

t

t

c

T

k

A

T

A

B

d

e

B

d

e

B

e

A

c

c

c

0

)

)

1

((

0

,

τ

τ

τ

τ

gdy

0

det

c

A

[

]

c

T

A

c

T

c

A

B

I

e

A

B

d

e

B

c

c

=

=

1

0

τ

τ

0

)

det(

)

det(

)

(

=

=

=

T

A

tr

T

A

T

A

c

c

c

e

e

A

e

A


background image

8

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Diagonalizacja równania stanu

(

)(

)

(

)

(

) (

)

(

)

1

0

1

1

2

0

1

2

1

2

n

n

n

n

n

n

y( s )

b s

b s

b

c

c

c

G( s )

b

u( s )

s p

s p

s p

s p

s p

s p

+

+ +

=

=

=

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

(

)

1

i

i

i i

i

d

x ( s )

u( s )

x ( t )

p x ( t ) u( t )

s p

dt

=

= −

+

+

1

1

1

2

2

2

0

0

1

0

0

1

0

0

1

n

n

n

x ( t )

p

x ( t )

x ( t )

p

x ( t )

u( t )

x ( t )

p

x ( t )

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡ ⎤

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

=

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎦ ⎣

⎦ ⎣

[

]

1

2

1

2

0

n

n

x ( t )

x ( t )

y( t )

c

c

c

b u( t )

x ( t )

=

+


background image

9

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Przypomnienie:

0

i

i

i i

v

, Av

s v

=

definicja wartości wektorów własnych

(

)

0

i

i

s I

A v

=

(

)

0

i

det s I

A

=

(

)

det sI

A

wielomian charakterystyczny A

(

)

0

det sI

A

=

równanie charakterystyczne

czyli jest n wartości własnych A rzeczywistych lub zespolonych parami sprzężonych, jedno lub
wielokrotnych. Dalej zakładamy, że wartości własne są jednokrotne.
Równania definiujące wektory i wartości własne można zapisać łącznie:

background image

10

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

[

] [

]

1

2

2

1

1

1

2

1

0

0

0

0

0

0

n

n

n

s

s

s

S

S

A

v

v

v

v

v

v

V V

V

V

V

,

V

A

S

A

A

=

=

=

=

Jeśli potrafimy wskazać n niezależnych liniowo wektorów własnych macierzy stanu, to równanie stanu
możemy przekształcić do postaci kanonicznej diagonalnej. Będzie tak zawsze w przypadku różnych
wartości własnych, ale nie tylko.



background image

11

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Co w przypadku wielokrotnych biegunów transmitancji:

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

) (

)

1

0

1

1

2

3

4

0

3

3

2

1

4

1

4

1

1

n

n

n

n

y( s )

b s

b s

b

c

c

c

c

G( s )

b

u( s )

s p

s p

s p

s p

s p

s p

s p

+

+ +

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

3 4

i

, , ,n

=

:

(

)

1

i

i

i i

i

d

x ( s )

u( s )

x ( t )

p x ( t ) u( t )

s p

dt

=

= −

+

+

(

)

(

)

2

3

2

1 2

1

2

1

1

1

1

d

x ( s )

u( s )

x ( s )

x ( t )

p x ( t ) x ( t )

s p

dt

s p

=

=

= −

+

+

+

(

)

(

)

1

2

1

1 1

2

3

1

1

1

1

d

x ( s )

u( s )

x ( s )

x ( t )

p x ( t ) x ( t )

s p

dt

s p

=

=

= −

+

+

+

background image

12

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

1

1

1

2

2

1

3

3

1

4

4

2

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1
1

0

0

1

0

0

n

n

n

x ( t )

x ( t )

p

x ( t )

x ( t )

p

x ( t )

x ( t )

p

u( t )

x ( t )

x ( t )

p

x ( t )

x ( t )

p

⎤ ⎡ ⎤

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

=

+

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

[

]

1

2

1

2

0

n

n

x ( t )

x ( t )

y( t )

c

c

c

b u( t )

x ( t )

=

+

background image

13

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Postać kanoniczna Jordana:
Klatką Jordana związaną z liczbą s

i

nazwiemy macierz postaci

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

i

i

ij

i

s

s

J

s

= ⎢



a blokiem Jordana macierz blokową postaci

1

2

0

0

0

0

0

0

i

i

i

i

id

J

J

J

J

= ⎢


gdzie J

i j

j=1,…,d

i

są klatkami Jordana związanymi z tą sama liczbą s

i

, a pozostałe elementy są zerami.

Jak widać każdy blok Jordana ma tylko jedna wartość własną s

i.

.

background image

14

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Każda macierz kwadratowa jest podobna do macierzy blokowej, która ma na głównej przekątnej bloki
Jordana, a poza nią bloki zerowe. Macierz tą

1

2

0

0

0

0

0

0

k

J

J

J

J

= ⎢


nazywamy postacią kanoniczną Jordana macierzy A.

Niech

1 2

n

T

t t

t

= ⎣

będzie macierzą przekształcenia do postaci kanonicznej Jordana składającej się z k

klatek Jordana o wartościach własnych

1

2

k

s ,s , s

i wymiarach (czyli krotnościach wartości własnych)

1

2

k

m ,m , m

.

background image

15

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

1

2

0

0

0

0

0

0

k

J

J

AT T

J

= ⎢


1

1

1

2

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

k

s

s

s

AT T

J

J

=

1

1 11

2

11

1 1 2

1

1 1 1

1 1 1

,

,

,

m

,m

,m

At

s t

At

t

s t

At

t

s t

=

=

+

=

+

Jaka będzie macierz tranzycyjna, jeśli postacią kanoniczną macierzy stanu jest postać Jordana?

wektor własny związany z wartością własną s

1

wektory główne związane z wartością własną s

1

background image

16

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

1

2

1

0

0

0

0

0

0

k

J t

J t

J t

e

e

( t ) T

T

e

Φ

=

(

)

1

1

1

0

0

0

i

i

i

i

i

i

i

i

s t

s t

m

s t

i

s t

J t

s t

s t

e

te

t

e

m

!

e

e

te

e

=

1

1

1

2

2

1

i

i

i

i

i

i

k

s t

s t

m

s t

T

T

T

i ,

i ,

i ,

i ,

i ,m

i ,m

i

( t )

e t

te t

t

e t

η

η

η

=

Φ

=

+

+ +

1

1

2

T

T

T

n

T

:

η
η

η

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= Ν =

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

background image

17

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Mody odpowiedzi swobodnej układu:
Jeśli postać kanoniczna macierzy stanu jest diagonalna:

V- nieosobliwa macierz wektorów własnych,

1

1

2

T

T

T

n

w
w

V

:W

w

=

=

1

2

1

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

( t ) V

V

e

Φ

=

1

i

n

s t

T

i

i

i

( t )

e v w

=

Φ

=

background image

18

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

0

0

t

x( t )

( t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

( )

0

0

1

1

1

0

0

i

i

i

i

t

t

n

n

n

s t

s t

s t

s

T

T

T

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x( t )

e v w x

e

v w Bu( )d

e v w x

e

Bu( )d

τ

τ

τ τ

τ τ

=

=

=

=

+

=

+

Bez wymuszenia:

0

1

i

n

s t

T

i

i

i

x( t )

e v w x

=

=


Jeżeli wartość własna s

i

jest rzeczywista to odpowiadający jej wektor własny v

i

jest też rzeczywisty.

Składnik tej sumy – mod opisuje ruch rzutu rozwiązania na prostą wyznaczoną przez wektor v

i

.Jeżeli

0

i

x

v

α

=

, to

0

i

i

s t

s t

i

x( t )

e v

e x

α

=

=

, bo

1

0

T

T

i

i

j

i

w v

, w v

j i

=

=

. Trajektoria rozpoczynająca się w x

0

będzie prostoliniowa, ekspotencjalnie dążąca do 0 lub nieskończoności zależnie od znaku s

i

. Jeżeli mod

związany z wartością własną s

i

ma nie wystąpić w rozwiązaniu, to warunek początkowy x

0

musi mieć

składową = zeru w kierunku wektora v

i

.

background image

19

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-3.6667 -2.6667
-1.3333 -2.3333
S =
-1 0
0 -5
V =
1 2
-1 1






background image

20

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-3.0000 -4.0000
-2.0000 -1.0000
S =
1 0
0 -5
V =
1 2
-1 1







background image

21

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-3.6667 -2.6667
-1.3333 -2.3333
S =
1 0
0 5
V =
1 2
-1 1












background image

22

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-3.3333 -3.3333
-1.6667 -1.6667
S =
0 0
0 -5
V =
1 2
-1 1






background image

23

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-5.0000 0
0.0000 -5.0000
S =
-5 0

0 -5

wektorami własnymi mogą być dowolne
liniowo niezależne wektory







background image

24

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Jeżeli postać kanoniczna jest postacią Jordana (dalej rozważamy rzeczywiste wartości własne), to
trajektorie prostoliniowe będą wyznaczone tylko przez wektory własne (jest ich po jednym na klatkę
Jordana). Trajektorie zaczynające się na prostych wyznaczonych przez wektory główne nie są
prostoliniowe!

1

2

1

0

0

0

0

0

0

k

J t

J t

J t

e

e

( t ) T

T

e

Φ

=

(

)

1

1

1

0

0

0

i

i

i

i

i

i

i

i

s t

s t

m

s t

i

s t

J t

s t

s t

e

te

t

e

m

!

e

e

te

e

=


Trajektorie w przestrzeni stanów można rozłożyć na składowe odpowiadające rzutom na podprzestrzenie
rozpięte na wektorze własnym i wektorach głównych związanych z kolejnymi klatkami Jordana.

background image

25

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-4.6667 0.3333
-0.3333 -5.3333
S =
-5 1
0 -5
T =
1 2
-1 1






background image

26

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

W przypadku zespolonej pojedynczej wartości własnej

i

s

j

σ

ω

= +

istnieje sprzężona do niej. Odpowiednie

wektory własne są też zespolone sprzężone. W sumie dwu modów zwianych ze sprzężonymi wartościami
własnymi nastąpi skrócenie części urojonych i pozostanie część rzeczywista w postaci drgań
harmonicznych o pulsacji równej modułowi części urojonej wartości własnej tłumiona (lub wzmacniana)
wykładniczo zgodnie z

t

e

σ

.

A =
0 1
-1 0
S =
0 + 1.0000i 0
0 0 - 1.0000i
V =
1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i
-1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i

background image

27

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
-1 1
-1 -1
S =
-1.0000 + 1.0000i 0
0 -1.0000 - 1.0000i
V =
1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i
-1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i






background image

28

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Bardzo podobne rozważania można przeprowadzić dla układów dyskretnych w czasie korzystając z

zależności

)

(kT

x

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

i

i

n

i

k

i

=

.

Kosmita talerzowy łagodny porusza się w przestrzeni

3

2

1

x

x

x

skokami, zgodnie z równaniem

=

+

+

+

)

k

(

x

)

k

(

x

)

k

(

x

.

.

.

.

.

.

.

.

.

)

k

(

x

)

k

(

x

)

k

(

x

3

2

1

3

2

1

2

0

7

0

4

0

4

0

9

0

4

0

7

0

7

0

9

0

1

1

1

. Z którego punktu na kuli

10

3

2

1

=

x

x

x

musi wystartować kosmita by

trafić do początku układu współrzędnych po linii prostej. Narysuj wszystkie trajektorie prostoliniowe.
Po ilu skokach znajdzie się w odległości mniejszej niż zasięg szczypiec (0.1) od celu.


background image

29

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

A =
0.9000 0.7000 -0.7000
0.4000 0.9000 -0.4000
0.4000 0.7000 -0.2000
>> [V S]=eig(A)

V =
0 -0.5774 0.7071
-0.7071 -0.5774 -0.0000
-0.7071 -0.5774 0.7071
S =
0.5000 0 0
0 0.9000 0
0 0 0.2000

Mamy 3 stabilne, rzeczywiste wartości własne, będą więc 3 proste wyznaczające trajektorie
prostoliniowe – kierunki 3 wektorów własnych. Dadzą one 6 punktów przecięcia ze sferą o promieniu 10.

background image

30

Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Najszybsza będzie trajektoria związana z
najmniejszą wartością własną 0.2. Ruch
po niej odpowiada mnożeniu położenia
w przestrzeni stanów przez 0.2 w
każdym kroku. Odległości od celu będą
więc wynosić kolejno 10, 2, 0.4, 0.08,
0.004 .......


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad 3
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 4
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 8
automatyka i sterowanie wyklad 2
automatyka i sterowanie wyklad 15

więcej podobnych podstron