Konspekt lekcji matematyki

Autor:

Klasa: I liceum

Dział tematyczny: Trygonometria kąta ostrego

Temat: Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

.

Program: Oficyna Edukacyjna*Krzysztof Pazdro

Baza:
- Uczeń zna pojęcie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego;
- Uczeń zna własności trójkąta równobocznego oraz kwadratu.

Cele:
- Uczeń poznaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

;

- Uczeń wie jak wyprowadzić wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

;

- Uczeń potrafi zastosować w zadaniach poznane wiadomości.

Metody:
- Podająca (naprowadzenie uczniów na sposób wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych
kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

);

- Poszukująca (samodzielne kroki związane z wyprowadzaniem wartości funkcji trygonometrycznych
30

◦

, 45

◦

i 60

◦

);

- Praktyczna (liczenie zadań).

Zasady:
- Trwałości wiedzy (zadanie pracy domowej);
- Świadomego i aktywnego udziału ucznia w procesie nauczania i uczenia się (samodzielne rozwiązy-
wanie zadań, samodzielne wykonywanie niektórych kroków w wyprowadzaniu wartości trygono-
metrycznych kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

);

- Przystępności (wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych do obliczenia wartości funkcji
trygonometrycznych kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

, dobór zadań według możliwości uczniów);

- Systematyczności (przypomnienie wiadomości na początku lekcji);
- Poglądowości (pomoc w rozwiązywaniu zadań oraz w obliczaniu wartości funkci trygonome-
trycznych kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

w postaci rysunku).

1

Szczegółowy przebieg lekcji:

Czynności wstępne:

Witam się z uczniami i sprawdzam obecność. Podaję temat lekcji: Wartości funkcji trygono-

metrycznych dla kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

.

Część przypominająca:

Przypominam z uczniami wiadomości dotyczące trygonometrii kąta ostrego, które poznali na

poprzedniej lekcji.

Przykładowe pytania:

— Czy jest sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?
— Czym jest tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?
— Czy wartości sinusa zależą od trójkąta jaki sobie wybierzemy?
— A czy wartości cosinusa, tangensa lub cotangensa zależą os trójkąta?

Część wprowadzająca:

Przypominam uczniom, że w nowym dziale - trygonometrii zajmujemy się trójkątami pros-

tokątnymi.

Mówię uczniom, że na dzisiejszej lekcji poznamy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i

cotangens kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

.

Pytam uczniów, gdzie spotkali się z kątem 60

◦

. Oczekuję odpowiedzi, że w trójkącie równobocznym.

Rysuję trójkąt rownoboczny na tablicy:

a

a

a

60

◦

Następnie pytam uczniów, jak możemy znaleźć na rysunku trójkąt prostokątny.

Oczekuję

odpowiedzi, że wystarczy dorysować wysokość.

Dorysowujemy wysokość oraz zaznaczamy na

kolorowo trójkąt prostokątny. Pytając uczniów o długości boków tego trójkąta, uzupełniam ry-
sunek:

a

60

◦

a

a
2

a

√

3

2

Następnie proszę uczniów, aby policzyli sinus kąta 60

◦

posługując się narysowanym trójkątem.

Po chwili, pytając uczniów, zapisuję obliczenia na tablicy:

sin 60

◦

=

a

√

3

2

a

=

√

3

2

2

W analogiczny sposób obliczamy cosinusa, tangensa i cotangensa 60

◦

. Również zapisuję obliczenia

na tablicy:

cos 60

◦

=

a
2

a

=

1

2

tg 60

◦

=

a

√

3

2
a
2

=

√

3

2

·

2

1

=

√

3

ctg 60

◦

=

a
2

a

√

3

2

=

1

2

·

2

√

3

=

1

√

3

·

√

3

√

3

=

√

3

3

Następnie pytam uczniów, gdzie można znaleźć kąt 30

◦

. Jeśli uczniowie nie mają pomysłu,

to podpowiadam, że dokładnie w tym samym trójkącie, który rozpatrywaliśmy. Dochodzimy do
wniosku, że kąt 30

◦

znajduje się między wysokością, a ramieniem powyższego trójkąta

równobocznego.

Zaznaczamy ten kąt na rysunku i proszę uczniów, żeby policzyli sinus kąta 30

◦

wykorzystując

ten sam zaznaczony trójkąt:

a

60

◦

30

◦

a

a
2

a

√

3

2

Po chwili zapisuję na tablicy obliczenia, pytając o odpowiedzi uczniów:

sin 30

◦

=

a
2

a

=

1

2

W analogiczny sposób obliczamy cosinusa, tangensa i cotangensa 30

◦

. Również zapisuję obliczenia

na tablicy:

cos 30

◦

=

a

√

3

2

a

=

√

3

2

tg 30

◦

=

a
2

a

√

3

2

=

1

2

·

2

√

3

=

1

√

3

·

√

3

√

3

=

√

3

3

ctg 30

◦

=

a

√

3

2
a
2

=

√

3

2

·

2

1

=

√

3

Następnie pytam uczniów o wartościach funkcji trygonometrycznych jakiego kąta jeszcze wspo-

minałam przy podawaniu tematu lekcji. Chodzi o kąt 45

◦

. Proszę uczniów, żeby zastanowili się,

gdzie spotkali się z takim kątem. Po krotkiej dyskusji dochodzimy do wniosku, że kąt 45

◦

występuje

między bokiem a przekątną w kwadracie.

Rysuję na tablicy kwadrat, zaznaczam jego przekątną i kąt 45

◦

oraz pytam uczniów, gdzie

jest trójkąt, który nas interesuje (czyli trójkąt prostokątny, którego jeden z kątów ostrych wynosi
45

◦

). Po odpowiedzi uczniów, zaznaczam na rysunku odpowiedni trójkąt. Pytam także o dłu-

gość przekątnej kwadratu, aby uzyskać długości wszystkich boków trójkąta, który nas interesuje.
Zaznaczam tę wartość na rysunku:

3

45

◦

a

a

a

√

2

Proszę uczniów, żeby spróbowali samodzielnie policzyć wartości funkcji trygonometrycznych

dla kąta 45

◦

. Po chwili zapisuję obliczenia na tablicy, uczniowie dyktują:

sin 45

◦

=

a

a

√

2

=

1

√

2

·

√

2

√

2

=

√

2

2

cos 45

◦

=

a

a

√

2

=

1

√

2

·

√

2

√

2

=

√

2

2

tg 45

◦

=

a

a

= 1

ctg 45

◦

=

a

a

= 1

Następnie proszę uczniów, żeby narysowali tabelkę, w której zbierzemy otrzymane wyniki. Ry-

suję na tablicy tabelkę i uzupełniam ją z uczniami:

1
2

2

α

30

◦

45

◦

60

◦

1
2

sin α

1
2

√

2

2

√

3

2

1
2

cos α

√

3

2

√

2

2

1
2

1
2

tg α

√

3

3

1

√

3

1
2

ctg α

√

3

1

√

3

3

Kiedy uczniowie uzupełnią w zeszytach notatkę, przechodzimy do zadań z podręcznika. Do

każdego przykładu proszę chętnych uczniów. Zaplanowane zadania wraz z rozwiązaniami przed-
stawiam poniżej:

Zadanie 1
Oblicz:
a) 2 sin 30

◦

+ tg 45

◦

+ 3 cos 60

◦

= 2 ·

1
2

+ 1 + 3 ·

1
2

= 1 + 1 +

3
2

= 3

1
2

b) tg 30

◦

· ctg 60

◦

− ctg 45

◦

=

√

3

3

·

√

3

3

− 1 =

1
3

− 1 = −

2
3

c) sin 60

◦

· cos 30

◦

+ sin 45

◦

· cos 45

◦

=

√

3

2

·

√

3

2

+

√

2

2

·

√

2

2

=

3
4

+

2
4

=

5
4

d) (tg 30

◦

− ctg 30

◦

) : cos 30

◦

= (

√

3

3

−

√

3) :

√

3

2

= −

2
3

√

3 ·

2

√

3

= −

4
3

e) ctg 45

◦

· cos 60

◦

− sin 60

◦

· tg 60

◦

= 1 ·

1
2

−

√

3

2

·

√

3 =

1
2

−

3
2

= −1

f) 4ctg

2

30

◦

− tg

2

30

◦

= 4 · (

√

3)

2

−



√

3

3



2

= 4 · 3 −

1
3

= 11

2
3

4

Zadanie 2
W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 12 cm, a kąt przy podstawie ma 30

◦

. Oblicz

długości wszystkich wysokości tego trójkąta.

12

30

◦

12

h

1

h

2

h

3

x

h

2

= h

3

x

2

+ 6

2

= 12

2

sin 30

◦

=

h

2

2x

=

h

2

12

√

3

sin 30

◦

=

h

1

12

x

2

= 144 − 36

1
2

=

h

2

12

√

3

1
2

· 12 = h

1

x

2

= 108

1
2

· 12

√

3 = h

2

h

1

= 6 [cm]

x = 6

√

3 [cm]

h

2

= 6

√

3 [cm]

Następnie przechodzimy do przykładów ze zbioru zadań:
Zadanie 1
Oblicz:
a) 4 · cos 60

◦

· sin 30

◦

− cos 30

◦

· sin 60

◦

= 4 ·

1
2

·

1
2

−

√

3

2

·

√

3

2

= 1 −

3
4

=

1
4

b) ctg 30

◦

· ctg 45

◦

: (ctg 60

◦

· tg 45

◦

) =

√

3 · 1 : (

√

3

3

· 1) = 3

c) 18 · sin 30

◦

· tg 30

◦

: (cos 30

◦

· tg 60

◦

) = 18 ·

1
2

·

√

3

3

: (

√

3

2

·

√

3) = 3

√

3 :

3
2

= 3

√

3 ·

2
3

= 2

√

3

d) 6 · (sin 30

◦

· cos 45

◦

· ctg 60

◦

) : (ctg 30

◦

· sin 45

◦

) = 6 · (

1
2

·

√

2

2

·

√

3

3

) : (

√

3 ·

√

2

2

) =

= 6 ·

√

6

12

·

2

√

6

= 1

e) 12 · (tg 60

◦

− cos 60

◦

) · (tg 30

◦

+ cos 30

◦

) = 12 · (

√

3 −

1
2

)(

√

3

3

+

√

3

2

) = 12 · (1 −

√

3

6

+

3
2

−

√

3

4

) =

= 12 · (

5
2

−

10

√

3

24

) = 30 − 5

√

3

f) (sin 45

◦

+ ctg 45

◦

)(6 · sin 60

◦

− ctg 30

◦

) = (

√

2

2

+ 1)(6 ·

√

3

2

−

√

3) = (

√

2

2

+ 1)(3

√

3 −

√

3) =

(

√

2

2

+ 1)2

√

3 =

√

6 + 2

√

3

Część podsumowująca:

Kiedy zbliża się koniec lekcji, podsumowuje z uczniami wiadomości, które poznali na dzisiejszej

lekcji. Pytam, w jaki sposób możemy policzyć wartości funkcji trygonometrycznych poszczególnych
kątów. Przypominamy również wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30

◦

, 45

◦

i 60

◦

.

Zadanie domowe:

Do domu zadaję przykłady z zadania, na którym aktualnie skończymy lekcję. Rozwiązania

przedstawiłam powyżej.

5