12. Liczby zespolone
12.1. Równanie kwadratowe – przykład motywacyjny
Równanie kwadratowe
0
2
=
+
+
c
bx
ax
, w przypadku, gdy
ac
b
∆
4
2
−
=
> 0, ma dwa różne
pierwiastki
x
1
,
x
2
i można je przedstawić w postaci
0
)
)(
(
2
1
=
−
−
x
x
x
x
a
, gdzie
a
∆
a
b
x
2
2
1
−
−
=
i
a
∆
a
b
x
2
2
1
+
−
=
. (1)
Jeśli ∆ = 0, to równanie kwadratowe ma pierwiastek podwójny x
1
i można je przedstawić w
postaci
0
)
(
2
1
=
−
x
x
a
, gdzie
a
b
x
2
1
−
=
.
Jeśli ∆ < 0, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Rozwiązanie równania kwadratowego (i również równań trzeciego i czwartego stopnia) w
ogólnym przypadku byłoby możliwe, gdyby istniały pierwiastki parzystego stopnia z liczb
ujemnych. W tym celu rozszerzono zbiór liczb rzeczywistych przez wprowadzenie tzw.
liczb
zespolonych, których szczególnym przypadkiem są liczby rzeczywiste.
12.2. Z historii liczb zespolonych
Najwcześniejsze wzmianki o pierwiastkach kwadratowych liczb ujemnych znalazły się w
pracy Herona z Aleksandrii z I wieku n.e. Dopiero w XVI wieku pierwiastki takie stały się
naprawdę istotne, kiedy odkryto, że ogólne wzory na rozwiązania równań trzeciego i
czwartego stopnia dają się łatwo wyprowadzić, tylko jeśli dopuścimy pierwiastki kwadratowe
z liczb ujemnych (wzory Cardano 1545 r.).
Było to zaskakujące dla ówczesnych matematyków. Termin
liczby urojone (łac. imaginaris)
wprowadził Kartezjusz (1637), który chciał zaakcentować ich "nierzeczywistość" w odróż-
nieniu od dobrze znanych liczb „istniejących w rzeczywistości” (rzeczywistych, łac. realis).
Kolejne zamieszanie wprowadziła równość
1
1
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
(
1
2
=
=
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
−
=
−
,
która jest sprzeczna i niezgodna z zależnością
ab
b
a
=
⋅
, prawdziwą dla dodatnich liczb
rzeczywistych. W końcu Kartezjusz wprowadził symbol
1
−
=
i
i zdefiniował liczbę i jako
1
2
−
=
i
.
Istnienie liczb zespolonych nie zostało powszechnie zaakceptowane aż do powstania ich
geometrycznej interpretacji jako płaszczyzny zespolonej Gaussa (1799).
12.3. Definicja liczby zespolonej
Liczba zespolona z ma postać
bi
a
z
+
=
,
gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi, a symbol i nazywamy
jednostką urojoną.
Liczby rzeczywiste są włączone do zbioru liczb zespolonych przez umowę
i
a
a
0
+
=
.
2
Liczbę postaci
bi
+
0
zapisujemy krócej bi i nazywamy
liczbą urojoną tj.
bi
bi
+
=
0
,
a w szczególności umawiamy się, że
i
i
i
1
0
1
+
=
=
.
Jeśli
bi
a
z
+
=
, to
a nazywamy częścią rzeczywistą, a b – częścią urojoną liczby zespolonej
z, co zapisujemy
z
a
Re
=
oraz
z
b
Im
=
.
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe części rzeczywiste i
równe części urojone, zatem równość
di
c
bi
a
+
=
+
oznacza, że
c
a
=
oraz
d
b
=
.
Liczba zespolona
bi
a
z
+
=
równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy
a = 0 oraz b = 0.
12.4. Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych określamy następującymi wzorami:
i
d
b
c
a
di
c
bi
a
)
(
)
(
)
(
)
(
+
+
+
=
+
+
+
, (2)
i
d
b
c
a
di
c
bi
a
)
(
)
(
)
(
)
(
−
+
−
=
+
−
+
, (3)
i
bc
ad
bd
ac
di
c
bi
a
)
(
)
(
)
)(
(
+
+
−
=
+
+
, (4)
i
d
c
ad
bc
d
c
bd
ac
di
c
bi
a
2
2
2
2
+
−
+
+
+
=
+
+
. (5)
Dla tak określonych działań obowiązują zwykłe prawa algebry, tzn. prawa łączności, prze-
mienności i rozdzielności.
Iloczyn liczb zespolonych
0
...
=
⋅
⋅
⋅
⋅
w
c
b
a
wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z
czynników
w
c
b
a
,...,
,
,
jest równy zeru.
Z warunku (4) wynika
1
)
0
0
(
)
1
0
(
)
1
0
)(
1
0
(
2
−
=
+
+
−
=
+
+
=
i
i
i
i
.
Stąd
i
i
i
i
−
=
=
2
3
,
1
2
2
4
=
=
i
i
i
itd.
oraz
1
1
2
−
=
i
,
1
1
4
=
i
,
i
i
i
i
−
=
=
2
1
,
i
i
i
i
=
=
4
3
1
itd.
Praktycznie można wykonywać działania na liczbach zespolonych, traktując je jako dwumia-
ny i pamiętając, że
1
2
−
=
i
.
Liczby
bi
a
z
+
=
,
bi
a
z
−
=
nazywamy liczbami
sprzężonymi. Dla liczb sprzężonych mamy
a
bi
a
bi
a
2
)
(
)
(
=
−
+
+
,
2
2
)
)(
(
b
a
bi
a
bi
a
+
=
−
+
.
3
Korzystając z pojęcia liczb sprzężonych dzielenie liczb zespolonych można wykonać mnożąc
licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika
i
d
c
ad
bc
d
c
ad
bc
di
c
di
c
di
c
bi
a
di
c
bi
a
2
2
2
2
)
)(
(
)
)(
(
+
−
+
+
−
=
−
+
−
+
=
+
+
.
Modułem lub wartością bezwzględną liczby zespolonej
bi
a
z
+
=
nazywamy liczbę
2
2
b
a
z
+
=
. Można również napisać
z
z
z
⋅
=
lub
z
z
z
⋅
=
2
.
Przykłady.
1.
i
i
i
i
i
2
8
2
5
4
3
)
2
5
(
)
4
3
(
+
=
−
+
+
=
−
+
+
2.
i
i
i
i
i
4
2
5
2
4
)
5
2
(
)
4
(
−
=
−
−
+
=
+
−
+
3.
i
i
i
i
i
i
i
17
6
12
17
6
12
8
9
6
)
4
3
)(
3
2
(
2
+
−
=
−
+
=
+
+
+
=
+
+
4.
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
25
1
25
18
25
18
9
16
6
12
9
16
6
9
8
12
3
4
3
4
3
4
2
3
3
4
2
3
2
2
−
=
−
=
+
+
−
=
−
−
−
+
=
−
−
⋅
+
+
=
+
+
5.
i
i
i
i
12
5
9
12
4
)
3
2
(
2
2
+
−
=
+
−
=
−
12.5. Równanie kwadratowe o wyróżniku ujemnym
Jeśli w równaniu kwadratowym
0
2
=
+
+
c
bx
ax
wyróżnik ∆ jest ujemny, tj.
ac
b
∆
4
2
−
=
< 0,
to
∆
i
∆
−
=
i wzory (1) można napisać w postaci
i
a
∆
a
b
x
2
2
1
−
−
−
=
i
i
a
∆
a
b
x
2
2
1
−
+
−
=
.
Widać, że pierwiastki równania kwadratowego są liczbami zespolonymi sprzężonymi.
Przez podstawienie można sprawdzić, że
c
bx
ax
x
x
x
x
a
+
+
=
−
−
2
2
1
)
)(
(
:
=
−
−
+
−
+
+
=
−
−
i
a
∆
a
b
x
i
a
∆
a
b
x
a
x
x
x
x
a
2
2
2
2
)
)(
(
2
1
=
−
+
+
+
=
−
+
+
−
−
+
=
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
a
∆
a
b
x
a
b
x
a
i
a
∆
a
b
x
a
∆
a
b
x
a
c
bx
ax
a
ac
b
a
b
bx
ax
+
+
=
−
−
+
+
=
2
2
2
2
4
4
4
.
Przykład. Równanie
0
5
2
2
=
+
−
x
x
ma wyróżnik ∆ = 4 – 20= –16 < 0, zatem jego pierwiast-
kami są
i
i
x
2
1
2
16
2
2
1
−
=
−
−
=
oraz
i
x
2
1
2
+
=
.
Równanie to można również zapisać w postaci
0
)
2
1
)(
2
1
(
=
−
−
+
−
i
x
i
x
.
4
12.6. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
Liczbę zespoloną
bi
a
z
+
=
można interpretować jako punkt o współrzędnych x = a, y = b na
płaszczyźnie xy
Płaszczyzna Gaussa. Liczby zespolone sprzężone
Płaszczyznę, której punktom przypisano liczby zespolone nazywamy płaszczyzną Gaussa.
Liczbę zespoloną
bi
a
z
+
=
można też interpretować jako wektor o początku w punkcie 0 i
końcu w punkcie
)
,
( b
a
. Wtedy dodawanie liczb zespolonych jest równoważne dodawaniu
wektorów.
Liczby zespolone jako wektory
12.7. Przedstawienie trygonometryczne liczb zespolonych
Dla danej liczby zespolonej
bi
a
z
+
=
oznaczamy
ϕ
cos
z
a
=
,
ϕ
sin
z
b
=
, gdzie
2
2
cos
b
a
a
z
a
+
=
=
ϕ
,
2
2
sin
b
a
b
z
b
+
=
=
ϕ
.
Wtedy
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
i
z
z
+
=
. (6)
Jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej.
x
y
0
a
–b
b
z = a + ib
ib
a
z
−
=
a
b
c
d
a + c
b + d
a + ib
c + id
(a + c) + i(b + d )
x
y
0
5
Trygonometryczna postać liczby zespolonej
bi
a
z
+
=
Kąt φ nazywamy argumentem liczby zespolonej
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
i
z
z
+
=
i oznaczamy φ = Arg z.
Jeśli φ jest argumentem liczby zespolonej z, to także każda liczba φ +2kπ jest argumentem tej
liczby zespolonej. Wartość argumentu spełniająca warunek 0 ≤ φ ≤ 2π nazywamy wartością
główną argumentu. Argumentem liczby 0 jest każda liczba rzeczywista φ.
Przykład. Wyznaczyć postać trygonometryczną liczby
i
z
−
=
1
.
Rozwiązanie. Moduł liczby
z jest równy
2
1
1
2
2
=
+
=
z
. Ponadto
2
1
cos
=
ϕ
,
2
1
sin
−
=
ϕ
.
Kąt φ spełniający powyższe równości jest równy
π
ϕ
4
1
−
=
. Przedstawienie trygonometrycz-
ne liczby
i
z
−
=
1
jest następujące:
−
+
−
=
−
=
π
π
4
1
sin
4
1
cos
2
1
i
i
z
.
12.8. Wykładnicza postać liczby zespolonej
Mając rozwinięcie w szereg funkcji wykładniczej
x
e
:
...
!
...
!
3
!
2
!
1
1
3
2
+
+
+
+
+
+
=
n
x
x
x
x
e
n
x
definiujemy funkcję wykładniczą argumentu urojonego
xi
e
...
!
)
(
...
!
3
)
(
!
2
)
(
!
1
1
3
2
+
+
+
+
+
+
=
n
xi
xi
xi
xi
e
n
xi
(7)
Wstawiając do (7) wyrażenia
1
2
−
=
i
,
i
i
−
=
3
,
1
4
=
i
itd. i łącząc wyrazy rzeczywiste i urojo-
ne w dwie grupy, otrzymamy
x
y
a
b
φ
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
i
z
+
z
6
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
...
!
7
!
5
!
3
!
1
...
!
8
!
6
!
4
!
2
1
7
5
3
8
6
4
2
x
x
x
x
i
x
x
x
x
e
xi
.
Wyrażenia w nawiasach są rozwinięciami funkcji
x
cos
oraz
x
sin , zatem
x
i
x
e
xi
sin
cos
+
=
. (8)
Ze wzorów (6) i (8) wynika, że każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykład-
niczej
i
e
z
i
z
z
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
=
)
sin
(cos
, (9)
gdzie φ = Arg
z.
Funkcję wykładniczą dowolnego argumentu zespolonego
yi
x
z
+
=
określamy wzorem
)
sin
(cos
y
i
y
e
e
e
e
e
x
yi
x
yi
x
z
+
=
=
=
+
. (10)
Ze wzoru (8) mamy
( )
nx
i
nx
e
e
x
i
x
nxi
n
xi
n
sin
cos
)
sin
(cos
+
=
=
=
+
.
Stąd otrzymujemy ważny dla zastosowań
wzór Moivre’a
nx
i
nx
x
i
x
n
sin
cos
)
sin
(cos
+
=
+
. (11)
Przykład. Wyrazić funkcje
x
3
sin
oraz
x
3
cos
przez funkcje
x
sin oraz
x
cos
.
Rozwiązanie. Stosując wzór Moivre’a mamy
=
+
+
+
=
+
=
+
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
3
3
2
2
2
3
3
sin
sin
cos
3
sin
cos
3
cos
)
sin
(cos
3
sin
3
cos
)
sin
sin
cos
3
(
)
sin
cos
3
(cos
sin
sin
cos
3
sin
cos
3
cos
3
2
2
3
3
2
2
3
x
x
x
i
x
x
x
x
i
x
x
x
x
i
x
−
+
−
=
−
−
+
=
Porównując części rzeczywiste i urojone podkreślonych wyrażeń mamy wzory
x
x
x
x
3
2
sin
sin
cos
3
3
sin
−
=
,
x
x
x
x
2
3
sin
cos
3
cos
3
cos
−
=
.
Przykład. Stosując wzór (8) można wyprowadzić wzory dla
)
sin(
y
x
+
oraz
)
cos(
y
x
+
:
=
+
+
=
⋅
=
=
+
+
+
+
)
sin
)(cos
sin
(cos
)
sin(
)
cos(
)
(
y
i
y
x
i
x
e
e
e
y
x
i
y
x
i
y
i
x
i
y
x
)
cos
sin
cos
(sin
)
sin
sin
cos
(cos
x
y
y
x
i
y
x
y
x
+
+
−
=
.
Porównując części rzeczywiste i urojone podkreślonych wyrażeń mamy
y
x
y
x
y
x
sin
sin
cos
cos
)
cos(
−
=
+
,
x
y
y
x
y
x
cos
sin
cos
sin
)
sin(
+
=
+
.
7
Analogicznie wyprowadzamy wzory dla
)
sin(
y
x
−
oraz
)
cos(
y
x
−
:
=
+
+
=
=
⋅
=
=
−
+
−
−
−
y
i
y
x
i
x
e
e
e
e
e
y
x
i
y
x
i
y
i
x
i
y
i
x
i
y
x
sin
cos
sin
cos
)
sin(
)
cos(
)
(
=
+
−
+
+
=
−
+
−
+
=
y
y
y
x
y
x
i
y
x
y
x
y
i
y
y
i
y
y
i
y
x
i
x
2
2
cos
sin
)
sin
cos
cos
(sin
sin
sin
cos
cos
)
sin
)(cos
sin
(cos
)
sin
)(cos
sin
(cos
)
sin
cos
cos
(sin
sin
sin
cos
cos
y
x
y
x
i
y
x
y
x
−
+
+
=
.
Porównując części rzeczywiste i urojone podkreślonych wyrażeń mamy
y
x
y
x
y
x
sin
sin
cos
cos
)
cos(
−
=
−
,
x
y
y
x
y
x
cos
sin
cos
sin
)
sin(
+
=
−
.
Przykład. Wykonać działanie
+
+
π
π
π
π
20
11
sin
20
11
cos
25
5
4
sin
5
4
cos
100
i
i
.
Rozwiązanie. Liczby zespolone w liczniku i w mianowniku przedstawiamy w postaci wy-
kładniczej.
=
=
=
=
=
+
+
−
i
i
i
i
i
i
e
e
e
e
e
i
i
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
4
1
20
5
20
11
5
4
20
11
5
4
4
4
4
25
100
20
11
sin
20
11
cos
25
5
4
sin
5
4
cos
100
)
1
(
2
2
2
2
2
2
4
4
1
sin
4
1
cos
4
i
i
i
+
=
+
=
+
=
π
π
.
Przykład. Obliczyć
100
)
1
(
i
+
.
Rozwiązanie. Dla liczby zespolonej 1 + i mamy a = 1, b = 1, zatem
2
=
z
oraz
2
1
cos
=
ϕ
,
2
1
sin
=
ϕ
. Stąd
π
ϕ
4
1
=
. Liczba 1 +
i ma postać trygonometryczną
+
=
+
π
π
4
1
sin
4
1
cos
2
1
i
i
.
Stosując wzór Moivre’a mamy
=
+
=
+
=
+
π
π
π
π
4
100
sin
4
100
cos
2
4
1
sin
4
1
cos
2
)
1
(
50
100
100
i
i
i
50
50
50
2
)
0
1
(
2
)
25
sin
25
(cos
2
−
=
⋅
+
−
=
+
=
i
i
π
π
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
F 13 Liczby zespolone
liczby zespolone 6 id 267992 Nieznany
1 Liczby Zespolone
liczby zespolone 2
Liczby zespolone
07 Liczby zespoloneid 6724
6 Liczby zespolone Funkcja dwóch i wielu zmiennych
liczby zespolone
LICZBY ZESPOLONE I ALGEBRA LINIOWA M GRZESIAK
liczby zespolone na płaszczyźnie2
LICZBY ZESPOLONE(1)
1 Liczby zespolone
postać wykładnicza liczby zespolonej
Liczby zespolone zad
1 Liczby zespolone, I
Liczby zespolone zadania, Zadanie 1
liczby zespolone 1 notatki z wykladu
więcej podobnych podstron