Elektronika i Telekomunikacja, rok IB

7 ZESTAW ZADA ´

N Z MATEMATYKI

1. Zbadaj istnienie ekstrem´ow lokalnych oraz podaj przedziaÃly monoto-
niczno´sci dla funkcji okre´slonych wzorami:

f

1

(x) = x

2

e

−x2

2

, f

2

(x) = (x − 5)

2

3

p

(x + 1)

2

,

f

3

(x) = (x + 1)

3

3

√

2x

2

− x

3

, f

4

(x) = |x

2

− 1|, f

5

(x) = 5x

3

+ 3x

2

+ 2x − 5.

2. Zbadaj istnienie ekstrem´ow lokalnych funkcji okre´slonych wzorami:

a) f (x) = 2 sin x + cos 2x,
b) g(x) = e

x

sin x.

3. Znajd´z najmniejsze i najwi

,

eksze warto´sci funkcji:

a) f (x) = x

4

− 2x

2

+ 5 na przedziale h0, 2i,

b) g(x) = arctg

1−x
1+x

na przedziale h0, 1i,

c) h(x) = |x

2

− 6x − 7| na przedziale h0, 9i.

4. Zbadaj przebieg zmienno´sci zadanych funkcji i narysuj ich wykresy:

a) f

1

(x) =

x

3

(x−1)

2

b) f

2

(x) =

3

√

−x

3

+ 3x + 2

c) f

3

(x) =

√

x

2

− 4x + 3

d) f

4

(x) = (x − 2)e

1

x−2

e) f

5

(x) = e

1

1−x2

f) f

6

(x) =

x

ln x

5. Znajd´z najwi

,

eksz

,

a obj

,

eto´s´c sto˙zka obrotowego wpisanego w kul

,

e o pro-

mieniu R.

6. Przek

,

atna graniastosÃlupa prawidÃlowego czworok

,

atnego jest r´owna d i

tworzy z jego ´scian

,

a boczn

,

a k

,

at α. Dla jakich warto´sci k

,

ata α obj

,

eto´s´c gra-

niastosÃlupa jest najwi

,

eksza?

7. Kt´ory z prostopadÃlo´scian´ow o podstawie kwadratowej i staÃlej sumie

dÃlugo´sci kraw

,

edzi ma najwi

,

eksz

,

a obj

,

eto´s´c?

8. Nale˙zy sporz

,

adzi´c skrzynk

,

e prostopadÃlo´scienn

,

a z pokrywk

,

a. Obj

,

eto´s´c

skrzynki ma wynosi´c 72 cm

3

, dÃlugo´sci podstawy maj

,

a by´c w stosunku 1 : 2.

Jakiej dÃlugo´sci powinny by´c kraw

,

edzie, ˙zeby powierzchnia caÃlkowita byÃla jak

najmniejsza?

9. Jakie powinny by´c wymiary puszki (w ksztaÃlcie walca) o staÃlej obj

,

eto´sci

V , aby jej powierzchnia caÃlkowita byÃla najmniejsza?

10. Jakiej wielko´sci kwadraty nale˙zy wyci

,

a´c na rogach protok

,

atnego arku-

sza kartonu o wymiarach a =30cm, b = 24cm, aby pojemno´s´c pudeÃlka po
sklejeniu kartonu byÃla najwi

,

eksza?

11. Znajd´z r´ownanie prostej przechodz

,

acej przez punkt A = (x

0

, y

0

) (x

0

> 0,

y

0

> 0), kt´ora z dodatnimi p´oÃlosiami Oxy tworzy tr´ojk

,

at o najmniejszym

polu?

12. W jakim punkcie wykresu funkcji y = e

−x

+ 2 nale˙zy poprowadzi´c

styczn

,

a, aby trapez ograniczony t

,

a styczn

,

a i prostymi x = 1, x = 2,

y = 0 (y ≥ 0) miaÃl najwi

,

eksze pole?

13. Na paraboli y

2

= 4x znajd´z punkt le˙z

,

acy najbli˙zej prostej y = 2x + 4.