Liczenie wyznacznika:

1. Wybrad łatwą liczbę i wyzerowad sąsiadów w

kolumnie/wierszu.

2. Wykreślid tę kolumnę i wiersz.
3. Liczyd:

. W razie konieczności czynnośd
powtórzyd.

4. Wyznacznik 2x2 mnożyd na krzyż zaczynając od lewego

górnego rogu, a druga przekątna z MINUSEM!

ID – współrzędne liczby. wiersz+kolumna. l.g.róg ma ID = 2 bo
stoi w 1 rz. w 1 kol.

Liczenie wyznacznika (m. trójkątna):

1. M. trój. - na lewo od przekątnej same 0, na górze

cokolwiek.

2. Wyznacznik to iloczyn wyrazów po przekątnej.

Liczenie dopełnieo:

1. Stajesz w g.l.rogu wykreślasz wiersz i kolumnę (nic nie

zerujesz).

2. Liczysz wyznacznik tego co zostało.
3. gdy ID nieparzyste, dostawiasz minus.

Rozwiązać układ równao w zależności od parametru a.
1.

Zapisz w postaci macierzowej.

2.

Policz wyznacznik macierzy współczynników.

3.

Z tw. Cramera: rozwiąż

4.

a) OZNACZONY: Za pierwszą kolumnę wstawid wyrazy

wolne i policzyd wyznacznik. Wstawid do wzoru:

Analogicznie pozostałe.
b) NIEOZNACZONY/ SPRZECZNY: Policz wyznacznik

a

dla

liczby, którą odrzuciłeś w pkt. 3 Jeśli jest to więcej niż 1
liczba, weź pierwszą, a w punkcie C policz dla kolejnego

a

.

Równanie macierzowe.

1. Cel: wyliczyd X.
2. Zawsze po obu stronach musi byd macierz! Mnożymy

obustronnie przez

3. Doklejamy tak aby znaleźd M. jednostkową np.

4. Coś razy m.jednostkowa to to COŚ.

Wyznaczanie np.

sposobem mając m. A:

1. Stworzyd równanie

(0

– macierz)

2. Policzyd i wstawid

do równania.

3. M. są sobie równe gdy na odpowiadających miejscach stoją

te same liczby. Zgodnie z tym stworzyd układ równao.

4. Zrobid macierz z tego i wyliczyd abc. Wstawid do pkt1. Gdy

wyjdzie z parametrem wstawid za t liczbę 1.

5. Zapisad równanie. Wyraz wolny to liczba razy odpowiednia

m. jednostkowa. 0 to też macierz!

6. Wyliczyd

, bo

Wyznaczanie sposobem m. odwrotnej.

5. Wszystko do pkt5 włącznie takie samo jak powyżej.
6. Mnożymy przez

(wskazówka:

;)

7. Sprzątamy, wyznaczamy

Odwracanie tradycyjne:

1. Doklejamy z prawej strony

m. jednostkową

(po przekątnej 1

reszta 0)

2. Gauss tak aby z lewej strony była

m. j.

3. To co z prawej strony jest m. odwróconą.

Odwracanie wyznacznikiem:

1. Policzyd
2. Policzyd M. Dopełnieo i ją Transponowad.

3. Wstawid do wzoru:

Twierdzenie Cramera: Układ n-równao o n-niewiadomych,
którego macierz współczynników ma wyznacznik różny od zera
jest układem oznaczonym i jego rozwiązanie dane jest wzorami:

gdzie A oznacza m. współczynników tego

układu, a

oznaczają macierze powstające z macierzy A przez

zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Wyznaczyć przekształcenie liniowe:

1. Utworzyd:

i wstawid dane do tego.

(F(coś) to Y).

2. Wymnożyd. Utworzyd równania. Zrobid macierz dla

(domyśl. abcd efgh ijkl)

3. Zapisad postad macierzy A. Wrócid do równania. Dla

ułatwienia zapisad sobie w kolumnie zamiast Y
odpowiednią ilośd

za X

4. Wymnożyd i wypisad równania.
5.

a za y wpisz to co wyliczyłeś

kolejno w równaniach w pkt4.

JĄDRO

6.

) Inaczej do macierzy A dostawid

wyrazy wolne 0 i rozwiązad Gaussem.

7. Parametr wyłączyd przed macierz, to co zostało jest bazą

jądra . ilośd parametrów.

Badanie liniowej zależności:

1. Ile masz wektorów tyle masz x-sów.
2. Piszesz warunek:

3. Robisz z wektorów macierz i rozwiązujesz Gaussem. Gdy

wyjdzie

to ukł. liniowo NIEzależny. Gdy

parametr to zależny.

BAZA gdy układ równao:

1. Zrobid macierz. Zbadad czy ukł. liniowo niezależny.
2. Gdy parametr - wyłączyd przed macierz i to co zostało jest

bazą.

3. Wymiar to ilośd parametrów.

BAZA gdy podana przestrzeo liniowa:

1. Sprawdzid czy są l. niezależne.
2. Gdy są - cała przestrzeo to baza, gdy parametr to znaczy

można wywalid wektor (ile pram. tyle można wywalid).

3. Dowiedzied się który można wywalid. Zrobid kombinację

liniową – czyli zrobid macierz, a wyrazami wolnymi jest
jeden wektor (zazwyczaj ostatni). np. formalnie:

4. Po wyliczeniu współczynników wstawiasz do równania w

pkt3.

5. Wymiar to ilośd wektorów minus ilośd parametrów.