WYŻSZA SZKOA
A TECHNICZNO  EKONOMICZNA W WARSZAWIE
MATERIAA
Y DO ĆWICZEC

Z ELEKTROTECHNIKI
WARSZAWA 2004
ROZWI
ZYWANIE OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Elementy obwodu elektrycznego dzielimy na: elementy czynne  aktywne i elementy bierne 
pasywne. Do elementów czynnych należą z
ródła napięcia i z
ródła prądu. Wyróżniamy:
z
ródła idealne opisane jednym parametrem napięciem z
ródłowym - siłą elektromotoryczną E
lub prądem z
ródłowym Iz
r.
" z
ródła rzeczywiste opisane dwoma parametrami napięciem z
ródłowym E i
rezystancją wewnętrzną Rw lub prądem z
ródłowym Iz
r i konduktancją wewnętrzną
Gw.
Elementy bierne  pasywne to odbiorniki energii elektrycznej, przy czym wyróżniamy:
" elementy rezystancyjne w których występuje zjawisko dyssypacji  rozpraszania
energii,
" elementy reaktancyjne zdolne do gromadzenia energii.
Elementy rezystancyjne dzielimy na liniowe i nieliniowe.
Rezystancja R zależy od długości l, przekroju poprzecznego s rezystywności � lub
konduktywności ł materiału z którego został wykonany element rezystancyjny
l � �" l
R = = .
ł �" s s
Rezystywność wielu materiałów jest opisana zależnością
�T = �293[1 + ą(T - 293)]
gdzie: ą  temperaturowy współczynnik zmiany rezystywności wyrażony w K-1, �293 
rezystywność materiału w temperaturze T = 293 K w warunkach normalnych .
Nieliniowy element rezystancyjny charakteryzuje się:
" rezystancją statyczną definiowaną, jako stosunek napięcia na zaciskach elementu do
płynącego prądu
U
Rs =
I
" rezystancją dynamiczną definiowaną, jako stosunek przyrostu napięcia na jego
zaciskach do przyrostu prądu
"U
Rd = .
"I
Zależność wiążąca spadek napięcia u na elemencie rezystancyjnym z natężeniem prądu i
płynącego przez ten element nosi nazwę prawa Ohma.
u = R �" i
Do rozwiązywania obwodów elektrycznych rozgałęzionych zawierających , węzły i oczka
wykorzystywane są prawa Kirchhoffa:
" pierwsze  prądowe: suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie
prądów wypływających z węzła,
" drugie  napięciowe: w dowolnym oczku obwodu suma napięć z
ródłowych jest
równa sumie napięć odbiornikowych.
Na powyższych prawach opierają się metody rozwiązywania obwodów elektrycznych prądu
stałego i prądu zmiennego. Stosując metodę praw Kirchhoffa można obliczyć wartości
wszystkich prądów płynących w g gałęziach obwodu. W tym celu należy ułożyć w  1
równań prądowych i g  w + 1 równań napięciowych. Wadą tej metody jest konieczność
rozwiązania g równań, co przy większej liczbie gałęzi jest zadaniem uciążliwym bez
stosowania numerycznych metod obliczeniowych.
Metoda prądów oczkowych ogranicza liczbę równań do równań napięciowych. Wartości
prądów oczkowych oblicza się w pierwszym etapie, rozwiązując równanie macierzowe
[R] [I] = [E]
w którym [R] jest macierzą rezystancyjną, [I]  macierzą prądów oczkowych, [E] 
macierzą sił elektromotorycznych.
Szukane prądy gałęziowe są obliczane w drugim etapie. Prądy gałęziowe są sumą, różnicą
lub są równe prądom oczkowym, zależnie od tego w skład których dana gałąz
wchodzi.
Do obliczania wartości prądu w dowolnie wybranej gałęzi obwodu stosowana jest metoda
zastępczego z
ródła napięcia zwana metodą Thevenina. Według tej metody obwód
elektryczny liniowy można zastąpić z
ródłem o napięciu z
ródłowym E równym napięciu
stanu jałowego Uo na zaciskach a-b i o rezystancji wewnętrznej Rw, równej rezystancji
zastępczej mierzonej na zaciskach a-b obwodu. Prąd w wybranej gałęzi
Uo
I =
Rw + R
gdzie R  rezystancja gałęzi.
Metodę zastępczego z
ródła napięcia można stosować do rozwiązywania obwodów
nieliniowych, jednak pod warunkiem, że wszystkie elementy nieliniowe będą umieszczone
w wyodrębnionej gałęzi.
Do rozwiązywania obwodów nieliniowych są stosowane metody obliczeniowe i metody
graficzne. Obwody elektryczne złożone z szeregowo połączonych elementów nieliniowych
z liniowymi lub nieliniowymi stosuje się metody graficzne: charakterystyki wypadkowej
lub przecięcia charakterystyk. Przy równoległym połączeniu kilku elementów stosuje się
metodę charakterystyki wypadkowej lub wspomnianą wcześniej metodę Thevenina, w
której oblicza się parametry zastępczego z
ródła napięcia, zaś rozwiązanie z elementem
nieliniowym  graficznie
Obwód magnetyczny składa się z elementów, które służą do wytworzenia i skierowania
wzdłuż określonej drogi strumienia magnetycznego. Obwody można podzielić na
jednorodne, składające się z jednego ośrodka i niejednorodne, składające się z dwóch lub
większej liczny ośrodków np. rdzeń ze szczeliną powietrzną.
Obliczanie obwodów magnetycznych sprowadza się do:
" wyznaczeniu przepływu Ś i parametrów obwodu (rodzaj materiału, wymiary
geometryczne rdzenia), gdy dany jest strumień Ś
" wyznaczeniu strumienia Ś przy danym przepływie Ś i parametrach obwodu.
Podstawą obliczania obwodów magnetycznych są równania
Hdl = = Ś; B �" dS = 0; B = ź �" H
"I
+" +"
które przy zastosowaniu przybliżeń sprowadza się do postaci dogodniejszej do obliczeń.
Przepływ Ś jest wymuszeniem w obwodach magnetycznych i nosi nazwę siły
magnetomotorycznej. Jednostką przepływu jest amper.
Ś = I �" z
W obwodzie magnetycznym lub jego oczku suma spadków napięć magnetycznych jest
równa sumie sił magnetomotorycznych  prawo przepływu
m n
"Ś = "H lk
i k
i=1 k =1
gdzie lk jest długością k -tego odcinka obwodu magnetycznego w którym jest pole
magnetyczne o natężeniu Hk. Jednostką napięcia magnetycznego jest amper [A], a jednostką
natężenia pola magnetycznego jest amper na metr [A/m].
Strumień magnetyczny
Ś
Ś =
Rź
Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [Wb].
Reluktancję obwodu oblicza się z zależności
lk
Rź =
źk �" sk
w której sk oznacza przekrój poprzeczny, , lk długość, źk przenikalność magnetyczną k -tego
odcinka obwodu. Jednostką reluktancji jest odwrotność henra [H-1].
Zjawisko indukowania się napięcia w cewce pod wpływem zmian prądu płynącego przez tę
cewkę nazywa się indukcją własną
�
L =
i
gdzie � jest strumieniem magnetycznym skojarzonym z cewką. Jeżeli cewka ma z zwojów
z których każdy obejmuje ten sam strumień otrzymujemy
z2 z2ź �" S
L = =
Rź l
dla cewki z rdzeniem ferromagnetycznym, wartość przenikalności magnetycznej zależy od
punktu pracy na charakterystyce magnesowania B(H); indukcyjność własna będzie zależeć
od wartości prądu płynącego w uzwojeniu.
Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego z wykorzystaniem przebiegów czasowych
jest kłopotliwe, stosuje się metodę wykresów wektorowych lub metodę liczb zespolonych.
W metodzie wykresów, przebiegowi sinusoidalnemu przyporządkowuje się wskaz  wektor
o długości odpowiadającej wartości skutecznej przebiegu, narysowany względem osi
odniesienia pod kątem odpowiadającym jego fazie początkowej. Zmiany wartości przebiegu
w czasie odwzorowuje się, przyjmując, że wiruje on na płaszczyz
nie z prędkością kątową �
w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Rozwiązywanie obwodów metodą liczb zespolonych polega na wykorzystaniu związku
miedzy zapisem wielkości sinusoidalnie zmiennej a zapisem wykładniczym liczby
ją
zespolonej, który ma postać I = I �" e , w której moduł I oznacza wartość skuteczną a
argument może być zapisany w postaci ą = � t +�i. Liczbę zespoloną w postaci
algebraicznej można przedstawić na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej w postaci wektora
takiego samego jak w metodzie wykresów.
LICZBY ZESPOLONE
Wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego o module równym
amplitudzie tej wielkości, obracającego się na płaszczyz
nie liczbowej ze stałą prędkością
kątową �.
Wektor r na płaszczyz
nie liczbowej
Im
Re  oś rzeczywista,
A
Im  oś urojona
jb
j.- jednostka urojona
r
Postacie liczby zespolonej
Re
ą
0
" postać algebraiczna
a
z = a + jb
" postać trygonometryczna
z = r(cosą + j siną)
" postać wykładnicza
ją
z = re = r exp ją = r "ą
gdzie r = z = a2 + b2 moduł liczby zespolonej z
ą = arctg(b / a) argument liczby zespolonej z
exp jest stosowanym w matematyce zapisem funkcji wykładniczej,
r "ą oznacza wektor o module r, który tworzy z dodatnią półosią Re kąt ą.
Jeżeli z = a + jb to z" = a - jb jest liczba zespoloną sprzężoną z liczbą z
z = z" = a2 + b2 = r.
ją
Jeżeli r = 1to liczba e jest liczbą zespoloną o module jednostkowym, zatem
ją ją 2
e = cosą + j siną e = cos2 ą + sin ą = 1.
Działania na liczbach zespolonych
dodawanie i odejmowanie
z1 + z2 = (a1 + jb1)+ (a2 + jb2 ) = (a1 + a2 )+ j(b1 + b2 )
z1 - z2 = (a1 + jb1)- (a2 + jb2 ) = (a1 - a2 )+ j(b1 - b2 )
mnożenie
z1z2 = (a + jb)(c + jd) = (ac - bd)+ j(ad + bc)
ją1 ją2 j(ą1+ą2 )
z1 �" z2 = r1e r2e = r1 �" r2e
j� j(ą +� )
z �" e = re
�"
z + z" z - z"
ją 2
z �" z" = re re- ją = r r = z �" z" , a = , b =
2 2 j
dzielenie
z1 a + jb (a + jb)(c - jd) (ac + bd)+ j(bc - ad)
= = =
2 2
z2 c + jd c2 + d c2 + d
z r exp ją r r
j(ą1-ą2 )
1 1 1 1 1
= = exp j(ą -ą ) = e
1 2
z r exp ją r r
2 2 2 2 2
z 1 1
j(ą -� )
= re = r "ą - � = e- ją
j�
e z r
n
ją jną
( )
zn = re = rne
potęgi liczby urojonej j = -1 przy k = o,ą1,ą2 �"�"�"
j4k+1 = j
j4k+2 = j2 = -1
1
j4k+3 = j3 = - j =
j
ą ś#
ą
j�# +Ą
ś# ź#
j
ją 2
�# #
2
z = re = re , z = re