Prognozowanie gospodarcze  materiały do ćwiczeń
1. Test t  Studenta
Hipotezy testu:
H0: að=0 (parametr strukturalny nieistotnie statystycznie różni siÄ™ od zera, co oznacza, że zmienna
j
objaÅ›niajÄ…ca stojÄ…ca przy parametrze að nie wpÅ‚ywa na zmiennÄ… objaÅ›nianÄ…)
j
H1: aðÄ…ð0 (parametr strukturalny istotnie statystycznie różni siÄ™ od zera, co oznacza, że zmienna
j
objaÅ›niajÄ…ca stojÄ…ca przy parametrze að wpÅ‚ywa na zmiennÄ… objaÅ›nianÄ…)
j
5Ø‚Ü5Ø‹Ü
Statystyka test: 5Ø•Ü5Ø6ß5Ø‹Ü = , gdzie a oznacza ocenÄ™ parametru strukturalnego að, natomiast S(a) oznacza
j j j
5ØzÜ(5Ø‚Ü5Ø‹Ü)
błąd oceny parametru strukturalnego. Statystyka ma rozkład testu t  Studenta dla poziomu istotności ł oraz
n-K-1 stopni swobody.
Reguła decyzyjna:
Jeżeli tað Å‚ð t , wówczas nastÄ™puje odrzucenie hipotezy zerowej o braku istotnoÅ›ci statystycznej
j Å‚, n-K-1
parametru strukturalnego, na korzyść hipotezy alternatywnej  co oznacza, że parametr að jest istotny
j
statystycznie, a zmienna stojąca przy parametrze wpływa na zmienną objaśnianą
Jeżeli tað < t , wówczas nastÄ™puje brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku istotnoÅ›ci
j Å‚, n-K-1
statystycznej parametru strukturalnego,  co oznacza, że parametr að jest nie istotny statystycznie a
j
zmienna stojąca przy parametrze nie wpływa na zmienną objaśnianą.
Testowanie przy wykorzystaniu wartości prawdopodobieństwa testowego p-value
Jeżeli wartość prawdopodobieÅ„stwa testowego p d" að (gdzie að=0,05) to nastÄ™puje odrzucenie hipotezy
zerowej na korzyść hipotezy alternatywnej.
Jeżeli wartość prawdopodobieÅ„stwa testowego p > að (gdzie að=0,05) to nastÄ™puje brak podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej.
2. Test F dla doboru stopnia wielomianu trendu
Hipotezy testu:
H0: 5ØHß5ØÐß = 5ØHß5ØÐß (wariancja modelu trendu stopnia niższego jest równa wariancji modelu trendu stopnia
5Ø“Ü-5ØÏß 5Ø“Ü
wyższego)
H1: 5ØHß5ØÐß > 5ØHß5ØÐß (wariancja modelu trendu stopnia niższego jest wiÄ™ksza od wariancji modelu trendu stopnia
5Ø“Ü-5ØÏß 5Ø“Ü
wyższego)
(5ØzÜ5ØÄ…Ü5Ø“Ü-5ØÏß)5ØÐß
Statystyka test: 5ØmÜ = , gdzie S oznacza bÅ‚Ä…d standardowy reszt dla modelu trendu stopnia
e(r-1)
(5ØzÜ5ØÄ…Ü5Ø“Ü)5ØÐß
niższego, natomiast S oznacza błąd standardowy reszt modelu trendu stopnia wyższego. Statystyka ma
er
rozkład testu F dla poziomu istotności ł oraz n-K
1-1 stopni swobody oraz n-K
2-1
Reguła decyzyjna:
Jeżeli F Å‚ð F
, wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej o równości wariancji badanych
Å‚, n-K1-1, n-k2-1
modeli, na korzyść hipotezy alternatywnej  co oznacza, że przy przejściu od modelu trendu stopnia
niższego do modelu trendu stopnia wyższego nastąpił istotny spadek wariancji, dlatego w dalszym
modelowaniu wybieramy model trendu stopnia wyższego.
Jeżeli F < F
, wówczas następuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości
Å‚, n-K1-1, n-k2-1
wariancji badanych modeli  co oznacza, że przy przejściu od modelu trendu stopnia niższego do
modelu trendu stopnia wyższego nie nastąpił istotny spadek wariancji, dlatego w dalszym
modelowaniu wybieramy model trendu stopnia niższego.
3. Zapis hipotezy modelu ekonometrycznego
Analizowany Stopień wielomianu trendu Sezonowość Autoregresja
proces
1 Tak (kwartalna) 2
P
t
" " "
5ØCÜ5ØaÜ = 5ØüÞ0 + 5ØüÞ15ØaÜ + 5ØÿÞ15ØDÜ15ØaÜ + 5ØÿÞ25ØDÜ25ØaÜ + 5ØÿÞ35ØDÜ35ØaÜ + 5ØżÞ15ØCÜ5ØaÜ-1 + 5ØżÞ25ØCÜ5ØaÜ-2 + 5Øß5ØaÜ
Stopień wielomianu trendu Sezonowość Autoregresja
2 Tak (miesięczna) 1
K
t
" "
5Ø>Ü5ØaÜ = 5ØüÞ0 + 5ØüÞ15ØaÜ + 5ØüÞ25ØaÜ2 + 5ØÿÞ15Ø@Ü15ØaÜ + ï" + 5ØÿÞ115Ø@Ü115ØaÜ + 5ØżÞ15Ø>Ü5ØaÜ-1 + 5Øß5ØaÜ
Stopień wielomianu trendu Sezonowość Autoregresja
3 Nie 4
Z
t
5ØMÜ5ØaÜ = 5ØüÞ0 + 5ØüÞ15ØaÜ + 5ØüÞ25ØaÜ2 + 5ØüÞ35ØaÜ3 + 5ØżÞ15ØMÜ5ØaÜ-1 + 5ØżÞ25ØMÜ5ØaÜ-2 + 5ØżÞ35ØMÜ5ØaÜ-3 + 5ØżÞ45ØMÜ5ØaÜ-4 + 5Øß5ØaÜ
4. Ocena przydatności modelu w procesie prognozowania
Test Durbina-Watsona  test służący do badania zjawiska autokorelacji rzędu I składnika losowego.
H0: rð =0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du I skÅ‚adnika losowego jest równy 0, co oznacza brak autokorelacji
1
rzędu I)
H1: rð Ä…ð0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du I skÅ‚adnika losowego jest różny od 0, co oznacza wystÄ™powanie
1
autokorelacji rzędu I)
Do badania autokorelacji rzędu I służy statystyka DW, którą porównuje się z dolną oraz górną granicą
odczytaną z tablic rozkładu testu DW uzależnioną od wielkości próby oraz liczby szacowanych parametrów
w modelu bez wyrazu wolnego.
Jeżeli DW>2, wówczas należy wyprowadzić statystykę DW*=4-DW
DW, DW* > dU (górna granica testu), wówczas występuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej,
która wskazuje na brak autokorelacji rzędu I.
DW, DW* d" dL (dolna granica testu), wówczas występuje odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść
alternatywnej, co oznacza występowanie autokorelacji rzędu I.
dL< DW, DW* d" dU wówczas test DW nie rozstrzyga o istnieniu autokorelacji składnika losowego, należy
zastosować inny test, jest to obszar niekonkluzywny testu.
Test Quinoille a (wartości współczynników autokorelacji cząstkowej dla testu należy szukać w wartościach
funkcji PACF)
H0: rðtðtð = 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m nie wystÄ™puje) (tð=1,2,& ,k)
H1: rðtðtð Ä…ð 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m wystÄ™puje) (tð=1,2,& ,k)
Test ten pozwala badać autokorelację cząstkową rzędów wyższych.
Wartość statystyki testu przyrównuje siÄ™ do wartoÅ›ci krytycznej równej "2 , gdzie N jest liczebnoÅ›ciÄ… próby.
5ØAÜ
5ØÐß
| |
Jeżeli 5ØFß5ØIß5ØIß e" , wówczas nastÄ™puje odrzucenie hipotezy zerowej H0 na korzyść alternatywnej. Stwierdza
5ØuÜ
"
się występowanie autokorelacji m rzędu składnika losowego.
5ØÐß
| |
JeÅ›li 5ØFß5ØIß5ØIß < , wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0, zatem brak jest
5ØuÜ
"
autokorelacji m rzędu składnika losowego
Przykład badania autokorelacji cząstkowej na podstawie funkcji PACF
Decyzja
tð rðtðtð
1 0.58
1. Obliczenie wartości krytycznej testu Quinoile a wg wzoru
2 0.28
2 2
3 -0.19
= = 0.2913.
5ØAÜ 45
" "
| |
4 0.49 5Øß4 e" 0.2913 odrzucenie
2. Stosując metodę od góry do dołu badamy przekroczenia
H0, oznacza występowanie
wartoÅ›ci współczynnika autokorelacji czÄ…stkowej rðtðtð
autokorelacji rzędu 4
3. Procedura trwa dopóki nie nastąpi odrzucenie hipotezy
składnika losowego,
zerowej dla
procedura zatrzymuje siÄ™.
| |
5 -0.09 5Øß55 < 0.2913 brak
podstaw do odrzucenia H0,
testujemy dalej
UWAGA! Ustalony rzÄ…d autokorelacji odpowiada szukanemu
| |
6 0.10 5Øß66 < 0.2913, brak
rzędowi autoregresji.
podstaw do odrzucenia H0,
testujemy dalej
Test Ljunga Boxa (Q)  służy do badania autokorelacji rzędów wyższych
H0: rð = & = rð = 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m nie wystÄ™puje)
1 m
H1: rð Ä…ð & Ä…ð rð Ä…ð 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m wystÄ™puje)
1 m
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!
Test Jarque a  Bery (JB)  służy do badania, czy rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym.
H0: F(e) = F (e) (rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym)
i N i
H1: F(e) Ä…ð F (e) (skÅ‚adnik losowy ma rozkÅ‚ad inny niż rozkÅ‚ad normalny)
i N i
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!
Test Chowa (F )  służy do badania zmian strukturalnych w parametrach modelu, weryfikuje hipoteze o
CHOWA
stabilności parametrów modelu.
H0: parametry modelu sÄ… stabilne w czasie
H1: parametry modelu sÄ… niestabilne w czasie
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!
Test na liniowość zależności (LM ).
liniowość
H0: zależność w modelu jest liniowa
H1: zależność w modelu jest nie liniowa
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!
Test White a (LM )  test służy do badania jednorodności wariancji (homoskedastyczności wariancji)
hetero
H0: bð = 0 (wariancja jest homoskedastyczna)
k
H1: bð Ä…ð 0 (wariancja jest heteroscedastyczna)
k
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!
Interpretacja współczynnika determinacji R2  wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu w
całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Jest miarą dopasowania modelu do danych empirycznych.
Powinien przyjmować wartości większe niż 85%.
Przykład. R2 = 90% - oznacza to, że zmienne objaśniające w modelu wyjaśniają 90% zmienności zmiennej
objaśnianej. Dopasowanie modelu do danych empirycznych z próby jest wysokie i przekracza granicę 85%.
Interpretacja współczynnika zmienności V  wyraża procentowy udział średniego błędu reszt w średniej
U
wartości zmiennej objaśnianej. V nie powinien przekraczać wartości 15%.
U
Przykład. V = 12% oznacza, że udział procentowy błędu resztowego w średniej wartości zmiennej
U
objaśnianej wynosi 12% i nie przekracza progu 15%
5. Zapis modelu ekonometrycznego
Model: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1998:03-2014:06 (N = 196)
Zmienna zależna (Y): inf
Współczynnik Błąd stand. t-Studenta wartość p
const 0,0133323 0,00544967 2,4464 0,01540 **
time -0,000293175 0,000123815 -2,3679 0,01896 **
sq_time 2,44747e-06 1,0182e-06 2,4037 0,01726 **
t3 -6,42445e-09 2,64714e-09 -2,4269 0,01622 **
inf_1 1,34894 0,0716811 18,8187 <0,00001 ***
inf_2 -0,375948 0,1125 -3,3418 0,00101 ***
inf_3 -0,0222811 0,11012 -0,2023 0,83989
inf_4 0,018173 0,109384 0,1661 0,86824
inf_5 0,0356822 0,10825 0,3296 0,74207
inf_6 -0,035296 0,108145 -0,3264 0,74452
inf_7 0,01944 0,107161 0,1814 0,85625
inf_8 -0,0478541 0,106627 -0,4488 0,65412
inf_9 -0,0114271 0,104751 -0,1091 0,91326
inf_10 0,136582 0,102589 1,3314 0,18477
inf_11 -0,109699 0,103138 -1,0636 0,28895
inf_12 -0,468818 0,103968 -4,5093 0,00001 ***
inf_13 0,652636 0,106657 6,1190 <0,00001 ***
inf_14 -0,223987 0,0688229 -3,2545 0,00136 ***
Średn.aryt.zm.zależnej 0,037961 Odch.stand.zm.zależnej 0,029073
Suma kwadratów reszt 0,002011 Błąd standardowy reszt 0,003361
Wsp. determ. R-kwadrat 0,987798 Skorygowany R-kwadrat 0,986632
F(17, 178) 847,6162 Wartość p dla testu F 1,9e-160
Autokorel.reszt - rho1 0,011438 Stat. Durbina-Watsona 1,971392
5ØÎß,5ØÎß5ØÏß5ØÅƒß 5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØŃß5Ø•Ü5ØŠÜ5ØŽÜ5ØÄ…Ü 5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÐß5Ø•Ü5ØŠÜ5ØŽÜ5ØÄ…Ü5ØÐß 5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÔß5Ø•Ü5ØŠÜ5ØŽÜ5ØÄ…Ü5ØÅƒß 5ØÏß,5ØŃß5ØÒß5Ø×ß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÏß 5ØÎß,5ØŃß5ØÕß5ØÔß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÐß
5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü = - + - + - -
(5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÓß) (5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÏß) (5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÏß) (5ØÎß,5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÎß5ØÐß) (5ØÎß,5ØÎß5ØÕß5ØÐß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÏß5ØŃß)
5ØÎß,5ØÎß5ØÐß5ØÐß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÅƒß 5ØÎß,5ØÎß5ØÏß5ØÖß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÒß 5ØÎß,5ØÎß5ØŃß5ØÔß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÃ“ß 5ØÎß,5ØÎß5ØŃß5ØÓß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÔß 5ØÎß,5ØÎß5ØÏß5Ø×ß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÕß 5ØÎß,5ØÎß5ØÒß5ØÖß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÖß 5ØÎß,5ØÎß5ØÏß5ØÏß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5Ø×ß
+ + - + - - +
(5ØÎß,5ØÏß5ØÏß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5Ø×ß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÖß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÖß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÕß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÕß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÓß)
5ØÎß,5ØÏß5ØŃß5ØÕß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÏß5ØÎß 5ØÎß,5ØÏß5ØÏß5ØÎß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÏß5ØÏß 5ØÎß,5ØÒß5ØÔß5Ø×ß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÏß5ØÐß 5ØÎß,5ØÔß5ØÓß5ØŃß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÏß5ØÅƒß 5ØÎß,5ØÐß5ØÐß5ØÒß5ØŠÜ5ØŹÜ5؇Ü5Ø•Ü-5ØÏß5ØÒß
- - + - + 5Ø:ß5Ø•Ü
(5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØŃß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØŃß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÒß) (5ØÎß,5ØÏß5ØÎß5ØÕß) (5ØÎß,5ØÎß5ØÔß5Ø×ß)
Zapisanie modelu ekonometrycznego z wydruku gretla należy rozpocząć od sprawdzenia jak oznaczona jest
zmienna zależna (zmienna objaśniana  w tym przypadku inf
t
Następnie należy zapisać model, gdzie przed znakiem równości znajduje się proces objaśniany (w tym
przypadku inf ) a następnie po znaku równości należy przepisać współczynniki parametrów strukturalnych
t
wraz z zmiennymi objaśniającymi ( tutaj: time, time2, time3, inf do inf ). Pod współczynnikami parametrów
t-1 t-14
należy zapisać w nawiasach błędy standardowe.
W wydruku pogrubiono wartości które należy przepisać aby model ekonometryczny został poprawnie
zapisany.
Każdy model ekonometryczny musi mieć zapisany również skÅ‚adnik losowy (tutaj: µ )
t