M

M

M

M

ETODA

ETODA

ETODA

ETODA

3

3

3

3-

---

CH

CH

CH

CH

M

M

M

M

OMENTÓW

OMENTÓW

OMENTÓW

OMENTÓW

I

I

I

I

M

M

M

M

ETODA

ETODA

ETODA

ETODA

P

P

P

P

RZEMIESZCZEŃ

RZEMIESZCZEŃ

RZEMIESZCZEŃ

RZEMIESZCZEŃ

W U

W U

W U

W UKŁADACH

KŁADACH

KŁADACH

KŁADACH

B

B

B

B

ELKOWYCH

ELKOWYCH

ELKOWYCH

ELKOWYCH

Przykład nr 1.1

Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce przedstawionej na rysunku 1.1

(EJ = const.) metodą 3-ch momentów. Otrzymane wyniki zweryfikować metodą
przemieszczeń.

2

2

2

2 kN/m

10 kN

15 kNm

2 EJ

EJ

2 EJ

Rys.1.1 Belka statycznie niewyznaczalna dla przykładu 1.1

(długości przęseł podane są w metrach ).

Metoda 3-ch Momentów.

Na początku musimy obliczyć statyczną niewyznaczalność układu.

S = 2

Dany układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.

W celu rozwiązania układu metodą 3-ch momentów sporządzam układ równań, który

w naszym przypadku wygląda następująco:

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie długości sprowadzonych „l`” (długości zastępczych)
wg następującego wzoru:

l`= l

k

· EJ`/EJ

k

x0 l'1

⋅

2 x1

⋅

l'1

l'2

+

(

)

⋅

+

x2 l'2

⋅

+

N 1p

x1 l'2

⋅

2 x2

⋅

l'2

l'3

+

(

)

⋅

+

x3 l'3

⋅

+

N2p

gdzie:

l

k

to długość rzeczywista przęsła,

EJ

k

to sztywność rzeczywista przęsła,

EJ`to sztywność porównawcza.

Przyjmuję że EJ`= 2EJ i wg wzoru na obliczenie długości sprowadzonych otrzymuję:

l`

1

= 2 m

l`

2

= 4 m

l`

3

= 2 m

L`1

L`2

L`3

X1

X0

X2

X3

Rys. 1.2 Model zastępczy belki.

Następnie przystępuje do obliczeń niewiadomych N

1p

i N

2p

korzystają ze wzorów

transformacyjnych . Jak widać z Rys. 1.2 momenty skrajne tj. X0 i X3 równe są zero.

Dla k =1

dla k = 2

N1p

q

−

l1

( )

2

⋅

l'1

⋅

0

1

ξ

ξ

ξ

3

−

(

)

⌠



⌡

d

⋅

P

−

l2

⋅

l'2

⋅

1

2

1

2













3

−













⋅

+

:=

N1p

34

−

kN m

2

⋅

⋅

=

N2p

P

−

l2

⋅

l'2

⋅

1

2

1

2













3

−













⋅

M l'3

⋅

1

4

⋅

+

:=

N2p

22.5

−

kN m

2

⋅

⋅

=

Rozwiązujac układ równiań otrzymujemy szykane niewiadome:

X1 = -2,484 kNm,

X2 = -1,047 kNm

Mając szukane wielkości momentów przywęzłowych obliczamy reakcje i sporządzamy
wykresy momentów i sił tnących.

2

2

2

2 kN/m

10 kN

15 kNm

2 EJ

EJ

2 EJ

2

2

2

2

2

2

a)

b)

-2,484

-8,023

6,977

3,234

-1,047

-6,977

-4,281

5,719

-3,242

0,758

Rys.1.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].

Metoda Przemieszczeń.

Metodę przemieszczeń zaczynamy od przyjęcia układu podstawowego dla którego

tworzymy układ równań kanoniczny. I tak:

2

2

2

2 kN/m

10 kN

15 kNm

2 EJ

EJ

2 EJ

φ1

φ2

2

2

2

2 kN/m

10 kN

15 kNm

2 EJ

EJ

2 EJ

a)

b)

Rys.2.1 Belka a) układ rzeczywisty b) układ podstawowy.

Dla układu obciążonymi siłami zewnętrznymi układ kanoniczny ma postać:

W celu wyznaczenia współczynników r

11

, r

12

, r

21

, r

22

, R

1p

i R

2p

wykonujemy wykresy

momentów zgodnie z poznanymi wzorami transformacyjnymi przy φ

1

= 1 i φ

2

= 1 oraz

od obciążenia siłami zewnętrznymi.

r11

φ

1

⋅

r12

φ

2

⋅

+

R 1p

+

0

r21

φ

1

⋅

r22

φ

2

⋅

+

R 2p

+

0

φ1

φ2

3EJ

2 EJ

EJ

2 EJ

EJ

3EJ

a)

b)

c)

1

1,875

2,5

2,5

Rys.2.2 Belka a) od φ

1

= 1 b) od φ

2

= 1 c) od obciążeń zewnętrznych.

Poszczególne współczynniki wyznaczamy z równowagi węzłów:

r

11

= 3EJ + 2EJ = 5EJ

r

12

= EJ

r

21

= EJ

r

22

= 3EJ + 2EJ = 5EJ

R

1p

= 1 – 2,5 = – 1,5

R

2p

= 2,5+1,875 = 4,375

Rozwiązując układ równań otrzymujemy:

φ

1

= 95/192 · 1/EJ

φ

2

=(– 187/192)· 1/EJ

wartości te wstawiamy do wzorów transformacyjnych otrzymując końcowe wartości
momentów na poszczególnych końcach prętów. Wykresy momentów przedstawiono na
poniższym rysunku.

2

2

2

2 kN/m

10 kN

15 kNm

2 EJ

EJ

2 EJ

2

2

2

2

2

2

a)

b)

-2,484

-8,023

6,977

3,234

-1,047

-6,977

-4,281

5,719

-3,242

0,758

Rys.2.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].