**.Metoda identyfikacji metodą momentów dla dowolnego u(t) Należy wyznaczyć g( t) na podstawie znajomości u( t) i y( t) .

Założenia:

-

sygnały u( t) i y( t) określone są na przedziale czasu [0- T];

-

rozważania przeprowadza się dla T → ∞

-

dla uproszczenia doboru funkcji aproksymujących wprowadza się funkcję wagi (

w t)

Transformata sygnału wejściowego z wagą (

w t) :

∞

U

−

= ∫

(1)

w ( s )

(

w t ) u( t) e stdt

0

Transformata sygnału wyjściowego z wagą (

w t) :

∞

Y

−

= ∫

(2)

w ( s )

(

w t ) y( t) e stdt

0

Oraz transformata odpowiedzi impulsowej g( t) z wagą (

w t) :

∞

G

−

= ∫

(3)

w ( s )

(

w t ) g( t) e stdt

0

Dla zerowych warunków początkowych:

Y

=

(4)

w ( s )

Gw( s) Uw( s)

Podstawiamy (1),(2) i (3) do (4):

∞

∞

∞

∫ (

w t ) y( t) e− st dt = ∫ (

w t ) g( t) e− st dt ⋅ ∫ (

w t ) u

( t) e− st

dt (5)

0

0

0

Rozwijając w szereg względem st funkcję st

e− otrzymamy:

∞

∞

∞

∞

ν

∞

∞













∫

ν

ν

 ∑ ( ) n t n

m

- 1

sn  (

w t ) y( t) d

t = ∫∑( ) t

- 1

s  (

w t ) g( t) d

t ⋅ ∫  ∑( ) m t

- 1

sm  (

w t ) u

( t) d

t

 =

!



ν =

ν

(6)

!



 =

!

n

n

m

m



0

0

0

0

0

0

Definiujemy teraz momenty w postaci:

∞

µ = ∫ ν

ν

t

(

w t ) g( t) dt ν = 0,1,2,..... (7) 0

∞

a = ∫ tn

(8)

n

(

w t ) y( t) dt n = 0,1,2,... ..

0

∞

b = ∫ tm

(9)

m

(

w t ) u( t) dt m = 0,1,2,... ..

0

Momenty (8) i (9) można obliczyć po wprowadzeniu stosownego w(t).

Uwzględniając (7),(8) i (9) w (6) mamy:

∞

∞

∞

∑(

ν µ

- ) a

ν ν

b

1 n n n

s = ∑ ( - )

1

s ⋅ ∑ ( - )

1 m m m

s (10)

n

ν

ν

m

n=

!

!

m

!

0

=0

=0

∞

∞

∑(

ν

µ

- ) a

b

1 n n n

s = ∑ ( - ) + m ν m ν +

1

m

s

(11)

n

ν

n=

!

ν m

!

0

, =0

podstawiając ν + m = n

∞

∞

∞

∑(

µ

- ) a

b

1 n n n

s = ∑ ∑ ( - ) n

ν n−ν

ν +

1

m

s

(12)

n

ν

ν n ν

n=

!

n

!

!

0

=0 =0

( − )

porównując współczynniki przy tych samych potęgach s : ( - )

∞

n a

n

n

µ b

1

= ∑( - )

ν n−

1

ν

(13)

n !

ν =

ν ! n ν !

0

( − )

ostatecznie:

∞  n

a

µ

(14)

n = ∑

  ν n−

ν

b ν

= 01 , 2

, ,... . n = ,

1 ,

2 ....

ν =

ν

0 



Używając równanie (9) można obliczyć:

∞  n

a − ∑

µ b

n

  ν n−ν

ν

ν =0  

µ =

n

= 0 1

, 2

, ,... . (15) n

b 0

Czyli na tym etapie w oparciu o obliczone wcześniej a i b

można wyliczyć µ .

n

n ν

−

n

Na obecnym etapie mamy policzone µ . Dalej zostanie przedstawione w jaki sposób w n

~

oparciu o znajomość momentów µ można wyliczyć ~

g ( t

) o

ra

z G( s) będące aproksymacją

n

odpowiednio odpowiedzi impulsowej oraz transmitancji badanego obiektu.

Przy tej aproksymacji zadbamy o parę użytecznych szczegółów:

-aby funkcja aproksymująca ~

g ( t

) oraz aproksymowana g( t

) miały te same momenty przy

wadze (

w t

) :

∞

µ = ∫ tν

~

ν

(

w t ) g ( t) d

t ≤

0 ν ≤ n (16)

0

-aby funkcje tworzące bazę funkcji

n

g

~ t() = ∑ C ϕ t (17) i

i ( )

i=0

tworzyły ciąg funkcji ortonormalnych:

∞

0 dla i ≠ j

∫ϕ ϕ

(18)

i ( t )

j ( t )

(

w t ) dt = 



1 dla i

j

0



= 

-współczynniki C należy tak dobrać aby osiągnąć minimum funkcjonału: i

∞

I = ∫ (

w t )[ g( t) g~

− ( t)]2 dt (19) 0

W tym celu wstawiamy do (19) (17) uwzględniając (18) otrzymujemy wyrażenia na C po i

∂ I

Przyrównaniu

= 0

∂ Ci

∞

C

ϕ

(20)

i = ∫

(

w t ) g( t) i ( t) dt i =

,

1

,

0

,

2 ........ .

.

0

Czyli na tym etapie identyfikacji należy:

Wyz

y n

z aczy

z ć

y ws

w p

s ółczy

z n

y niki C dla wyl

y iczo

z nyc

y h mom

o

entów

w µ

i

ν

dla wy

w b

y ranyc

y h ϕ ( t i

i

(

w t ) .

i

)

1.Aproksymacja wielomianami Laguerra.

Z definicji wielomiany te wyrażają się wzorem:

i

α α d

ϕ t = L t =

e

α t e α− (21) i ( )

( )

t

i

i [

i

t ]

i !

d (α t ) (

)

po różniczkowaniu:

α α d

ϕ t = L t =

e

α t e α− (22) i ( )

( )

i

t

i

i [

i

t ]

i !

d (α t ) (

)

  −

−

ϕ

=

=

∑

α

α

(23)

i (

i j

i

t ) Li ( t)

i (

t )

 

=  

−

j

j

i

j

0

( )!

aby zachodziła ortonormalność funkcję wagi trzeba przyjąć (

w t ) w postaci:

( wt) −α t

= e (24) uwzględniając (23) w (20):

i

(−

−

∞

t

) i j  i 

C

i− j

=

∑ α

α

∫

 

= 01

(25)

i

=

−

0

!

j

( i j)

g( t) (

w t ) t dt

i

, ,....,n

 j 0

podstawiając do (25) relację (7) otrzymujemy:

i

(−

−

α t ) i j  i 

C = α ∑

µ

 

= 01

(30)

i

=

−

0

!

j

( i j)

i

, ,....,n

 j

i



Z (30) możemy wyliczyć kolejne współczynniki C kolejno jako: i

C = α µ

0

0

C = α µ

αµ

1

( -

0

1 )

2



α



C = α µ -

2αµ +

µ

2

 0

1





!

2

2 



3 2

3

α

α



C = α µ -

3αµ +

µ −

µ (31) 3

 0

1





!

2

2

!

3

3 



6 2

α

4 3

4

α

α



C = α µ -

4αµ +

µ −

µ +

µ

4

 0

1





!

2

2

!

3

3

!

4

4 

Dla tych zależności spełniony jest warunek g( t) g~

≈ ( t).

Łącząc wzory (17) i (30) oraz (31):

i− j

n

i

  −

g( t)

i (

t )

≈ ∑

α

C

α ∑

(32)

i

 

=

=  

−

i

j

j

i

j

0

0

( )!

Transmitancję określa zatem wzór:

i

n

i

−

α

G( s)

 i  (− t) j

≈ ∑ C α

(33)

i

∑  i j

j

s

i=

j = 



− +

0

0

1

2.Aproksymacja funkcjami Laguerra.

α

α

d

ϕ t = L t =

e

α t e α−

2

(34)

i ( )

i ( )

t

i

i [

i

t ]

i !

d (α t ) (

)

czyli:

α

−

  −

−

ϕ

=

∑

α

α

(35)

i (

t

i j

i

t )

i

t

2

( )

e

 

=  

−

j

j

i

j

0

( )!

i

(− −

∞

α

α ) i j  i

t



C

i− j

=

−

α ∑

∫

2

 

= 01

(36)

i

=

−

0

!

j

( i j)

g( t) (

w t ) t e

dt

i

, ,....,n

 j 0

i

(− −

α ) i j  i 

C = α ∑

µ

  −

= 01

(37)

i

=

−

0

!

j

( i j)

i

, ,....,n

 j

i j



α t

i− j

n

i

−

  −

g( t)

i

t

2

( )

≈ ∑

α

C

α e ∑

(38)

i

 

=

=  

−

i

j

j

i

j

0

0

( )!



i

1

1 



s − 

α

G( s)

n



2 

≈ ∑ C α

(39)

i

i 1

+

i=0

 1

1 



s + 

 α

2 

δ

α/2

jω

3. Aproksymacja funkcjami wykładniczymi: