Całka nieoznaczona WZiE, sem.II, 2008-09
mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Obliczyć całki nieoznaczone, stosując znane wzory:
3
1.1 - 5x2 + 7x - 3)dx 1.2 6x + 3x2 - x4)dx 1.3 - 5x) Å" xdx
+"(2x +"(1- +"(3
2
ëÅ‚ öÅ‚ 5x -1
3
x
1.4 x - ÷Å‚ dx 1.6 Å"32x Å"53x dx
ìÅ‚ ÷Å‚
+"ìÅ‚ x Å‚Å‚ dx 1.5 +" 3 +"2
x
íÅ‚
2 2
1.7 x - 3cos x)dx 1.8 xdx 1.9 xdx
+"(2sin +"tg +"ctg
(1+ x)2 2 - 1- x2
1.10 + 3ctgx)2 dx 1.11 dx 1.12 dx
+"(2tgx +" +"
x(1+ x2 )
1- x2
2
2 - x4 cos 2x 1- x
1.13 dx 1.14 dx 1.15
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +" +"ëÅ‚ x öÅ‚ dx
1+ x2 sin2 x Å" cos2 x íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
a a2 a3 öÅ‚ x - 23 x2 +1 (1- x)3
1.16 + + 1.17 dx 1.18 dx
+"ìÅ‚ x x2 x3 ÷Å‚dx +" 4 +" 3
ìÅ‚ ÷Å‚
x x Å" x
íÅ‚ Å‚Å‚
2
x2 e3x +1
1.19 dx 1.20 dx 1.21 (2x + 3x) dx
+"1+ x2 +" +"
ex +1
2x+1 - 5x-1 4 - x
1.22 dx 1.23 dx 1.24 x)(1- 2x)(1- 3x)dx .
+" +" +"(1-
10x x - 2
Zad.2 Obliczyć całki stosując właściwe podstawienia:
1
4-5x
2.1 - 3x)dx 2.2 dx 2.3
+"cos(2 +"e +"1+ 4x2 dx
3x 1
2.4 dx 2.5 cos(ln x)dx 2.6
+" +" +"ctg(1- 3x)dx
x
4 + 4x2
5
2.7 1- 6xdx 2.8 (x2 + 4) xdx 2.9 - 5)12 dx
+" +" +"(2x
ln x 1 1
2.10 dx 2.11 dx
+" +"100 +16x2 dx 2.12 +"
x
1-100x2
x 1 1
2.13 dx 2.14 dx 2.15
2
+" +" +"8x + 2 dx
x(ln2 x + 4)
1+ 25x2
ex ex
2.16 dx 2.17 dx 2.18 Å" 4 - xdx
+" +" +"x
ex + 5
ex + 3
x2 x
2
2.19 dx 2.20 dx 2.21 Å" 1- x3 dx
+" +" +"x
(x +1)5
1- x4
ctgx 3x
2.22 dx 2.23 x Å" cos6 xdx 2.24 dx
+" +"sin +"1+ 9x
sin2 x
x x 5
2.25 dx 2.26 dx 2.27 dx .
+" +" +"
(4x +1)3 (x2 +1)4 x2 - 6x +10
Zad.3 Całkując przez części obliczyć następujące całki:
3
x
2
2
3.1 Å" e dx 3.2 Å" e-3xdx 3.3 xdx
+"x +"x +"ln
10 2
3.4 Å" log10 xdx 3.5 xdx 3.6
+"x +"ln +"arctgxdx
2 6x
3.7 xdx 3.8 - x) Å" arctgxdx 3.9 Å" cos xdx
+"arcsin +"(x +"e
2
ln(arctgx)
3
3.10 dx 3.11 Å" e3x dx 3.12 xdx .
+" +"x +"arccos
1+ x2
Zad.4 Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
x +13 1 2x2 + x +1
4.1 dx 4.2 dx
2
+" +"8x - x dx 4.3 +"
x2 - 4x - 5 x3 - x2
x2 8x -1 x5 + 2
4.4 dx 4.5 dx 4.6 dx
+" +" +"
(x + 3)(x2 - 2x +10) x2 - 6x +13 x4 -1
x4 + x3 2x3 -19x2 + 58x - 42 x
4.7 dx 4.8 dx 4.9 dx
+" +" +"
x3 + x2 -10x + 8 x2 - 8x +16 (x - 2)(x2 + 2x + 5)
x5 - x + 10 1 1
4.10 dx 4.11 dx 4.12 dx .
+" +" +"
x3 + x - 10 (x +1)2 Å" x3 x4 + 2x2 - 8x + 5
Zad.5 Obliczyć całki funkcji trygonometrycznych:
3 + sin x sin x
3
5.1 sin x sin 2xdx 5.3 dx
+"1+ cos x dx 5.2 +" +"
3sin x + 2 cos x - 2
1- cos x
2 2
5.4 dx 5.5 xdx 5.6 xdx
+" +"cos +"sin
4 + 5sin x
4 2 7
5.7 x cos5 xdx 5.8 x cos7 xdx 5.9 xdx .
+"sin +"sin +"sin
Zad.6 Proszę systematycznie rozwiązywać zadania ze zbioru zadań p. Jankowskich  jest tego du\
o ... :&
& w wolnej chwili & dla przyjemności &
e2x
5
1 x cos8 xdx 2 -1)6 dx 3 dx
+"sin +"(3x +"
e2x + 8e
1
4 dx 5 9 - ex dx 6 Å" e-4xdx
+" +" +"x
x - 6 x
arctg x
3 2
7 x cos4 xdx 8 dx 9 Å" 2 - 5xdx
+"sin +" +"x
x
x2 +1 cos x x2
10 dx 11 dx 12 dx
+" +" +"
2x2 +1 4 + x6
4 - sin2 x
x2
2
13 dx 14 Å"sin 3xdx 15 Å" cos(2x -1)dx
+" +"x +"x
ex
1 1
-3x
16 dx 17 dx 18 Å" cos 2xdx
+" +" +"e
x(1+ ln2 x) ln x x 1+ ln x
sin x arcsin x
19 x2 1- x3 dx 20 dx 21 dx
+" +"1+ 3 +"
cos x x2
x2 1+ 3cos x
2
22 dx 23 +1)dx 24 dx .
+" +"ln(x +"
2 - 2sin x
(x +1)(x2 - 6x + 45)