Nieliniowe układy regulacji Tw. Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest Dane:
Układ nieliniowy- nazywa się układy regulacji stabilne asymptotycznie to układ nieliniowy
xo
opisane nieliniowymi równaniami jest stabilny w punkcie 5�e� = 0.
f(e)
różniczkowymi lub algebraicznymi Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest
G(s)
Jeżeli chociaż jeden z elementów układu jest niestabilne asymptotycznie to układ w
H(s)
nieliniowy to cały układ jest nieliniowy. punkcie równowagi jest niestabilny .
Założenie:
W układach nieliniowych nie obowiązuje UWAGI:
f(e)  powinna dad przekształcid się do
zasada superpozycji. 1.Tą metodą niemożna zbadad czy układ
Mówi ona że odpowiedz
układu na nieliniowy jest stab. Czy też nie w punkcie struktury zawierającej człon proporcjonalny
wymuszenie będące kombinacją liniowej równowagi jeżeli przybliżenie liniwe jest
f(e)=f1(e)+ke (nie zawsze się da)
odpowiedzi na każde z wymuszeo stabilne ale nie asymptotycznie.
Korzystając z teorii przekształceo Laplace a z
oddzielnie. 2.ta metoda określa stabilnośd lokalną i nie
definicji transmitancji można napisad
daje odpowiedzi jak duży jest obszar
5�L� 5�`� = 5�X�5�8� 5�`� + 5�?� 5�a�1 5�R�
Układ może byd nieliniowy statycznie lub stabilności.
5�8� 5�`� = 5�K�5�\� 5�`� " 5�M� 5�`�
dynamicznie  Metoda Lapunowa 2
Transf. uchybu
To znaczy jego char. Statyczna określająca Polega na rozpatrywaniu pełnego opisu
wsp. wzmocnienia może nie byd linią prostą układu nieliniowego, doborze i dodaniu 5�8� 5�`� - 5�K�5�\� 5�`� - 5�L� 5�`� 5�;� 5�`�
lub przebieg zjawisk dynamicznych może pewnej funkcji zwanej f. LAPUNOWA.
= 5�K�5�\� 5�`� - 5�K�5�\� 5�`� 5�:� 5�`� 5�;� 5�`�
mied zależnośd nieliniową. Tw. Jeżeli w Obsza że D zawierającym
= 5�K�5�\� 5�`� - 5�:� 5�`� 5�;� 5�`� 5�>�5�8� 5�`� + 5�?�[5�S�1(5�R�)
początek układu wsp. stanu układu
5�8� 5�`� = 5�8�5�\� 5�`� + 5�5� 5�R�
Procedury wyznaczania charakterystyk sterowania i będącego pnktem równowagi
5�8�5�\� 5�`� - 5�\�5�Q� 5�Y�5�V�5�[�5�V�5�\�5�d�5�\�ś5�P�5�V�
zastępczych: istnieje skalarna funkcja 5�I�(5�e�1, 5�e�2. . 5�e�5�[� )
5�5� 5�R� - 5�]�5�\�5�]�5�_�5�N�5�d�5�X�5�N�
1.Wykreślamy we wspólnym układzie Od wsp. stanu dodatnio określone tzn:
1
ciągłą wraz z 1
współrzędnych charakter f1 i f2. a) 5�I�(5�e�) 5��5�6�1 -funkcja 5�K�5�\� 5�`�
5�e�5��5�7� 5�8�5�\� 5�`� =
pochodną 1 + 5�>�5�:� 5�`� 5�;� 5�`�
2. Rysujemy prostą P nachyloną pod
kątem450 do przenoszenia sygnału b)V(0)=0
5�:� 5�`� 5�;� 5�`�
dla wyznaczania kolejnych punktów char.
c) 5�e�5��5�7� 5�I�(5�e�) > 0 (dodatnio określona)
5�5� 5�R� = - 5�K�5�\� 5�`� 5�?� 5�S�1 5�R�
5�e�`"0
Wypadkowej należy: 1 + 5�>�5�:� 5�`� 5�;� 5�`�
i taka że jej pochodna względem czasu jest
3. Przyjąc jakąś wartośd sygnału
ujemnie określona w tym obszarze tzn.
wejściowego np. x1.
Eo(s)  transformata Laplace a uchybu
spełnia warunek a) i b) oraz 5�e�5��5�7� 5�I�(5�e�) < 0
4. odczytad wartośd na wyjściu np. =1 (człon
5�e�`"0
zlinearyzowanego, tzw zerowe przybliżenie
f1).
to układ nieliniowy opisany w przestrzeni
przebiegu uchybu
5. Podad tę wartośd na drugi element i
stanu jest stabilny asymptotycznie w
5�8�1 5�`� = 5�8�5�\� 5�`� + 5�5� 5�R�5�\�
odczytad odpowiedz y1.
obszarze D.
6. Przecięcie x1 i y1 wyznacza 1 punkt 5�8�5�g� 5�`� = 5�8�5�\� 5�`� + 5�5� 5�R�1
Jeżeli pochodna 5�I� (5�e�) jest ujemnie pół
charakter. Wypadkowej P1
określona w obszarze tj. 5�e�5��5�7� 5�I�(5�e�) d" 5�8�5�[� 5�`� = 5�8�5�[� 5�`� + 5�5� 5�R�5�[�-1
5�e�`"0
Inne punkty powtarzająd procedurę
Procedura jest przerywana, jeżeli przebieg
0^5�I�(0) = 0
UWAGA: przestawienie kolejności członów
kolejnego przybliżenia niewiele różni się od
To układ nieliniowy jest w obszarze D
zamienia chraterystykę.
poprzedniego
stabilny ale niekoniecznie asymptotycznie.
Funkcję Lapunowa przyjmuje się taka aby
spełniała w/w założenia. Nie jest to łatwe ,
najczęściej przyjmuje się formą kwadratową.
Metoda funkcji opisujących
Metod częstotliw. Nie można stosowad do
układów nieliniowych, gdyż nie ma dla niech
Metoda POPOWA:
związków funkcyjnych pomiędzy
Wykorzystuje się do badania układów
przebiegami czasowymi a char.
sterowania ze stabilnymi częściami
Częstotliwościowymi. Przy założeniu, że
liniowymi i statycznym elementem
częśd liniowa układu regulacji jest filtrem
nieliniowym
dolnoprzepustowym(tłumi wyższe charm)
można opisad własności dynamicznie członu
Stabilnośd nieliniowych UAR: nieliniowego, przy pomocy tak jakby
Def. (wg LAPUNOWA) Punkt równowagi xo odpowiednika transmitancji widmowej tzw
układu sterowania w n-wymiarowej FUNKCJI OISUJ
CEJ
przestrzeni stanu nazywamy stabilnym jeżeli
dla dowolnego otoczenia � stanu
równowagi można dobrad takie otoczenie �
tego punktu, że cała trajektoria
rozpoczynająca się z � bęzie zawierała się
Przybliżenie funkcji opisującej
wewnątrz obszau �
Funkcja opisująca.
TW. Jeżeli w G(s) wszystkie bieguny mają
5�5�5�R�5�W�5�� 5�5� + 5�W�5�6�
części rzeczywiste ujemna to VAR jak na
1.Punkt równowagi jest wyłączony z 5�e� =
5�=� 5�4�, 5�� ]" =
rysunku zawierający statyczny element 5�4� 5�4�
0 nie ma ruchu
nieliniowy spełniający warunek 1
2. Układ sterowania opisany jest w
Jest stabilny asymptotycznie w obszarze 5�5� 5�5�2 + 5�6�2
otoczeniu punktu równowagi układem
5�6�
nieograniczonym pod warunkiem, że wykres
równao
5�� = 5�N�5�_�5�P�5�a�5�T�
zmodyfikowanej charakterystyki A-F 5�5�
Xi=f(x1,x2,x3,& ,xn) n- rząd układó
G(j�)= V(�)+jV(�) V(�)=P(�)
Trajektoria  krzywa stanu po której pousza
Funkcja opisująca 5�=� 5�4�, 5�� członu
G(j�)=P(�)+jQ(�) V(�)=�Q(�)
się układ
nieliniowego nazywamy stosunek wartości
Częśd liniowa leży na prawo od co najmniej
3.�- otoczenie (obszar) warunków
zespolonej amplitudy 1 Harmonicznej
jednej prostej przechodzącej przez punkt
początkowych może mied dowolny krztałt
odpowiedzi wywołanej wymuszenie
U=-1/k, V=0
4.�- jeśli jest ograniczone to stabilnośd
sinusoidalnym w stanie ustalonym do
Jeżeli częśd liniowa ma 1 biegun zerowy to
będzie lokalna, jeśli nieograniczone stab.
wartości zespolonej amplitudy tego
musi byd spełniony dodatkowy.
globalna
wymuszenia to B, C , 1-harn.
e(t)=Asin5�� 5�� = 5��5�a�
Badanie stabilności UAR:
1.metoda Lapunowa
Operatorowa metoda kolejnych przybliżeń:
- pośrednia
jeżeli e(t) będzie sinusoidalne to na wyjściu
-bezpośrednia
członu o char. statycznej f(e) sygnał będzie
2.Kryteium Popowa
Metoda pozwala w uproszczony sposób
okresowy ale nie sinusoidalny.
1.Metoda Lapunowa  Polega ona na
analizowad pracę układu zwierającego
badaniu stabilności punktów równowagi
jednoznaczną i niejednoznaczną nieliniowośd
układu nieliniowego przez badanie jego
statyczną. Polega na wyznaczaniu kolejnych
przybliżeo liniowych w tych punktach.
przybliżeo przebiegu uchybu
Jeżeli dokona się przesunięcia początku
uwzględniających coraz wpływ nieliniowości.
układu wsp. stanu do punktu równowagi
rozwiązanie będze funkcją określającą
współrzędne stanu (fi) w szeregu Taylora
Punktem wyjścia rozważao jest schemat
To odrzucid częśd nieliniową (resztą) to układ
blokowy układu regulacji:
sterowania w otoczeniu punktu równowagi
będzie sopisany:
5�e�1 = 5�N�115�e�1 + 5�N�125�e�2 + �" 5�N�15�[�5�e�5�[�
:
5�e�1 = 5�N�5�V�15�e�1 + 5�N�5�V�25�e�2 + �" 5�N�5�V�5�[� 5�e�5�[�
:
5�e�0 = 5�N�5�[�15�e�1 + 5�N�5�[�25�e�2 + �" 5�N�5�[�5�[� 5�e�5�[�
Te same co 5�e�0 = 5�4�5�e� Jest to przybliżenie
liniowe
Z Taylora wylicza się współrzędne i, j=1,2
& n
5��5�S�5�V�(5�e�1 & 5�e�5�[�)
5�N�5�V�5�W� =
5��5�e�5�W�