Politechnika Warszawska
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich
Laboratorium Konstrukcji Nośnych
Koncentracja naprężeń w elementach konstrukcji nośnych
Wersja robocza
Tylko dla użytku wewnętrznego SiMR PW
Opracowanie:
Hieronim Jakubczak
Roman Król
Warszawa 2014
Wszelkie prawa zastrzeżone
2
Ćwiczenie 4
Koncentracja naprężeń w elementach konstrukcji nośnych
4.1 CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem koncentracji naprężeń w elementach
konstrukcyjnych, przyczynami występowania koncentracji, podstawami teoretycznymi oraz
praktycznymi metodami określania miejsc i wartości występujących naprężeń rzeczywistych
w elementach konstrukcyjnych.
4.2 PODSTAWY TEORII KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ
W teorii koncentracji naprężeń posługujemy się pojęciami: „linia sił” i „potok sił”. Są to
umowne linie poprowadzone wewnątrz ciała sprężystego w przewidywanym kierunku
przekazywania oddziaływania sił (rys. 4.1). Przy wejściu i wyjściu z ciała linie sił pokrywają
się z kierunkami oddziaływania sił zewnętrznych, a miejsce ich zagęszczenia oznacza
koncentrację naprężeń.
Koncentracja
naprężeń
Rys. 4.1 Przykłady koncentracji naprężeń w konstrukcjach nośnych
Całokształt linii sił, zwany „potokiem sił” rozkłada się w ciele sprężystym, w miejscach
odpowiednio oddalonych od miejsc przyłożenia obciążeń skupionych, równomiernie w całym
przekroju prostopadłym do osi. Tę niezwykle istotną dla celów praktycznych prawidłowość
określa zasada de Saint Venanta: „Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego w
równowadze działają kolejno rozmaicie umieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia,
to w odległości od tego obszaru, przewyższającej wyraźnie jego rozmiary, powstają
jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.”
3
P
P
σ
nG
σ
LN
M
σ
LG
M
σ
n
σ
nG
σ
nN
σ
nN
P
P
σ
nG
σ
LN
M
σ
LG
M
σ
n
σ
nG
σ
nN
σ
nN
Rys. 4.2 Koncentracja naprężeń w ciele sprężystym
Podstawowe rodzaje koncentracji naprężeń to:
• Koncentracja pierwotna – występująca w miejscach przyłożenia obciążenia zewnętrznego
• Koncentracja wtórna – występuje w rezultacie przeciwstawiania się ciała sprężystego
oddziaływaniom zewnętrznym.
Wszelkie szczegóły kształtu elementu, wywołujące zmianę „potoku sił”, stają się
przyczyną powstawania koncentracji naprężeń wewnątrz elementu. Przy gwałtownych
(skokowych) zmianach przekroju elementu występują rozszerzenia lub zwężenia „potoku sił”,
a przy załamanej osi belki, występują skrzywienia osi „potoku sił” (przypadek analizowany w
niniejszym ćwiczeniu) – (rys.4.1). Przyczyną koncentracji naprężeń, poza szczegółami
kształtu, mogą być również niejednorodne własności sprężyste materiałów, wynikające z
niejednorodności jego struktury, wad lub uszkodzeń materiału w rodzaju porowatości czy
pęknięć.
Miarą koncentracji naprężeń jest stosunek największego rzeczywistego naprężenia
σ
L
w
danym przekroju do naprężenia średniego (nominalnego)
σ
n
, wyznaczanego teoretycznie za
pomocą metod wytrzymałości materiałów (rys. 4.2). Wielkość ta nazywana jest
współczynnikiem koncentracji naprężeń
α
K
(K
T
) i odnosi się do koncentracji wtórnej,
nazywanej po prostu koncentracją naprężeń.
n
L
T
K
K
σ
σ
α
=
=
(4.1)
Należy tu zwrócić uwagę na dwa aspekty koncentracji naprężeń:
1. Zależność (4.1) jest ważna tylko wówczas, gdy naprężenia lokalne
σ
L
, nie przekraczają
granicy plastyczności materiału.
4
2. Współczynnik koncentracji naprężeń określa się oddzielnie dla każdego rodzaju obciążenia
elementu z karbem. Wynika to z faktu, że ten sam kształt elementu konstrukcyjnego
(karb) wywołuje inną koncentrację naprężeń przy różnych obciążeniach. Tak więc
współczynnik koncentracji naprężeń normalnych wywołanych siłą osiową na rys. 4.2,
α
KN
, jest inny niż współczynnik koncentracji naprężeń normalnych wywołanych
momentem gnącym,
α
KG
. Przy złożonym obciążeniu elementu (rys. 4.3a) naprężenia
lokalne
σ
L
należy obliczać korzystając z metody superpozycji, jako sumę naprężeń
lokalnych od rozciągania
σ
LN
oraz od zginania
σ
LG
. W tym celu najpierw należy rozłożyć
naprężenia w przekroju na naprężenia
σ
nN
wywołane siłą normalną oraz naprężenia
σ
nG
wywołane momentem gnącym (rys. 4.3b). Uwzględniając zależności podane na rys. 4.3,
naprężenia lokalne można obliczyć z zależności:
KG
nG
KN
nN
LG
LN
L
α
σ
α
σ
σ
σ
σ
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.2)
P
P
σ
n1
=
σ
nN
+
σ
nG
σ
L
M
σ
nG
M
σ
nN
σ
n
σ
n2
=
σ
nN
–
σ
nG
a)
b)
P
P
σ
n1
=
σ
nN
+
σ
nG
σ
L
M
σ
nG
M
σ
nN
σ
n
σ
n2
=
σ
nN
–
σ
nG
a)
b)
Rys. 4.3 Koncentracja naprężeń w ciele sprężystym
4.3 METODY STOSOWANE W BADANIACH KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ
Koncentracja naprężeń jest zjawiskiem niepożądanym, bowiem powoduje ona lokalny
wzrost naprężeń w elemencie konstrukcyjnym, którego efektem może być szybsza inicjacja
pęknięć zmęczeniowych pod wpływem cyklicznie zmiennych obciążeń eksploatacyjnych,
prowadząca do znacznego zmniejszenia trwałości elementu.
Z tego względu znajomość koncentracji naprężeń jest bardzo istotna na etapie
projektowania elementów maszyn i konstrukcji nośnych. Wyznaczając naprężenia nominalne
metodami wytrzymałości materiałów można, znając wartości współczynników koncentracji
5
naprężeń dla danego kształtu elementu oraz jego obciążenia [3], obliczyć wartości naprężeń
skoncentrowanych.
Znajomość koncentracji naprężeń w elementach konstrukcyjnych jest również bardzo
przydatna na etapie badania prototypów, bowiem umożliwia to określenie potencjalnych
miejsc obserwacji ewentualnych pęknięć zmęczeniowych. Z tego względu poniżej
przedstawiono krótko metody wyznaczania naprężeń rzeczywistych w miejscach koncentracji
elementów konstrukcyjnych.
Badania modelowe
Badania koncentracji naprężeń można przeprowadzać na modelach elementów
konstrukcyjnych, gdzie wyniki pomiarów na modelach są podstawą określenia wartości
odpowiednich wielkości dotyczących rzeczywistego elementu konstrukcyjnego (obiektu). Do
interpretacji wyników badań modelowych stosuje się kryteria podobieństwa modelowego,
wynikające z zasad teorii podobieństwa modelowego. W badaniach modeli mechanicznych
stosuje się na ogół modele geometrycznie podobne do obiektu rzeczywistego, zachowując
określoną skalę
K
l
wymiarów liniowych i skalę
K
P
obciążeń:
m
l
l
l
K
=
oraz
m
P
P
P
K
=
(4.3)
gdzie:
l, l
m
– odpowiadające sobie wymiary liniowe obiektu i modelu,
P, P
m
– odpowiadające sobie wartości obciążeń obiektu i modelu.
W badaniach w zakresie odkształceń liniowo–sprężystych jednym z warunków, tak
zwanego, ścisłego podobieństwa jest równość współczynnika Poissona dla modelu i obiektu.
W przypadku ogólnym badania układów liniowo–sprężystych, do obliczania wartości
naprężeń
σ w obiekcie na podstawie naprężeń σ
m
określonych w modelu, stosuje się wzór:
m
l
P
K
K
σ
σ
⋅
=
2
(4.4)
Metoda kruchych pokryć
Powierzchnię elementu konstrukcyjnego lub jego modelu pokrywa się warstwą kruchej
substancji, ściśle przylegającej do powierzchni. W wyniku obciążenia elementu w warstwie
kruchej pokrycia pojawiają się układy pęknięć w kierunkach prostopadłych do kierunków
naprężeń głównych (rys. 4.4). Możliwe miejsca lub strefy występowania koncentracji
6
naprężeń określa się wstępnie na podstawie analizy „potoku sił” i jego zakłóceń
spowodowanych zmianą kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki tym ustaleniom badania
eksperymentalne przeprowadza się tylko dla określonego przekroju (strefy), gdzie należy
spodziewać się wystąpienia koncentracji naprężeń, co umożliwia skrócenie badań.
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
Rys. 4.4 Pękanie kruchego pokrycia pod wpływem naprężeń głównych
Zasadnicze typy pęknięć kruchego pokrycia: a) pęknięcia prostopadłe do kierunku
naprężenia
σ
1
przy obciążeniu elementu, b) pęknięcia prostopadłe do kierunku naprężenia
σ
2
przy obciążaniu elementu po uprzednim uzyskaniu pęknięć typu ‘
a’, c) pęknięcia prostopadłe
do kierunku naprężenia, uzyskane przy odciążeniu elementu
Przy rozciąganiu prętów o stałym przekroju, obserwuje się wzrost liczby pęknięć,
przypadających na jednostkę długości pręta. Można zatem określić związek empiryczny
między gęstością pęknięć a odkształceniem. Związek ten jest podstawą oszacowania wartości
odkształceń głównych na powierzchni obiektu pokrytego układami pęknięć kruchego
pokrycia. Znając odkształcenia główne oraz stałe
E, ν danego materiału, wyznacza się
odpowiednie wartości naprężeń głównych. Ze względu na pewien rozrzut wyników pomiarów
gęstości pęknięć, wartości naprężeń wyznaczone tą metodą mają charakter orientacyjny.
Bezpośrednia obserwacja kolejności pojawiania się pęknięć kruchego pokrycia, w miarę
obciążania elementu oraz końcowej gęstości pęknięć, umożliwia ustalenie miejsc spiętrzeń
naprężeń. Na podstawie tych badań można również wybrać najwłaściwsze miejsca i kierunki
do naklejania czujników tensometrycznych do dalszych badań.
Metoda elastooptyczna
Przy metodzie elastooptycznej badania przeprowadza się na modelach mechanicznych
rzeczywistych elementów konstrukcyjnych. Modele te wykonywane są z przezroczystych,
optycznie czułych materiałów (żywice poliestrowe, epoksydowe, fenolowo-formaldehydowe,
7
polimetakrynowe, rzadziej szkło, celuloid, żelatyna). Wymienione materiały w stanie wolnym
od naprężeń i odkształceń są optycznie izotropowe. W stanie naprężenia materiały te przestają
być izotropowe i wykazują dwójłomność wymuszoną, która umożliwia badanie tego stanu
metodą optyczną w świetle spolaryzowanym.
W wyniku wystąpienia dwójłomności, przechodzący przez model promień
spolaryzowanego światła ulega rozproszeniu na dwa promienie składowe, których
płaszczyzny drgań pokrywają się z kierunkami naprężeń (odkształceń) głównych, a wzajemne
przesunięcie (opóźnienie) w fazie jest proporcjonalne do różnicy naprężeń (odkształceń)
głównych modelu. Po przejściu tych promieni przez filtr polaryzacyjny, można uzyskać
interferencję odpowiednich składowych promieni, a w rezultacie – obraz pokryty układem
ciemnych prążków interferencyjnych. Rozkład tych prążków umożliwia wyznaczenie
składowych stanu naprężenia w modelu.
Metoda tensometryczna
Metoda tensometryczna jest uniwersalną metodą elektryczną do pomiaru parametrów
mechanicznych. Z uwagi na jej szereg zalet jest obecnie szeroko stosowaną zarówno do
pomiarów statycznych jak i dynamicznych. Często jest poprzedzana badaniem za pomocą
kruchych pokryć. Zasady metody tensometrycznej są opisane w Załączniku A.
Metody numeryczne
W ostatnich latach coraz większą popularność w analizie naprężeń w konstrukcjach
zdobywają metody numeryczne: metoda elementów skończonych (MES) i metoda elementów
brzegowych (MEB). Dzieje się tak ze względu na coraz większą dostępność programów
komputerowych, umożliwiających zarówno łatwe modelowanie rzeczywistego obiektu, jak
i przeprowadzenie na nim obliczeń.
W metodzie MES model ciągły elementu konstrukcyjnego zastępuje się modelem
dyskretnym. Ważne jest, aby w miejscach spodziewanej koncentracji naprężeń elementy
modelu dyskretnego były odpowiednio małe. MEB jest metodą alternatywną, której główną
zaletą jest zmniejszenie o jeden rząd, w porównaniu z MES, wymiaru geometrycznego
rozwiązywanego zagadnienia, dzięki czemu dyskretyzacji podlega tylko powierzchnia
elementu przestrzennego lub tylko konturu elementu płaskiego, bez ingerencji w obszar
wewnętrzny (rys. 4.5). Jednak uzyskane rozwiązanie ważne jest również wewnątrz
modelowanego obszaru. Metoda ta przy tym samym stopniu dyskretyzacji daje zwykle
8
równie dokładne wyniki jak metoda MES. Warto zauważyć, że metody numeryczne
pozwalają na obliczenie naprężeń lokalnych, natomiast trudniej na ich podstawie wyznaczyć
naprężenia nominalne.
a)
b)
Rys. 4.5 Dyskretyzacja elementu w metodach MES (a) oraz MEB (b)
4.4 OPIS STANOWISKA
Stanowisko badawcze
Podstawowe zespoły stanowiska przedstawionego na rys. 4.6 to: rama (
1), element
badany (
2) z naklejoną siatką tensometrów, układ napinający (3), w skład którego wchodzi
element pomiarowy – dynamometr tensometryczny,
Rys. 4.6 Widok ogólny stanowiska
Układ napinający
Schemat układu napinającego przedstawia rys 4.7. Pokręcając pokrętłem (
5) powodujemy
przesuw tulei (
6) w ucho (2). Tuleja pociąga pręt połączony z drugiej strony
z dynamometrem, zaś dynamometr (
1) połączony jest z drugim uchem (3).
9
Rys. 4.7 Układ napinający stanowiska badawczego
Na dynamometrze, zaprojektowanym jako element zginany dla uzyskania większych
odkształceń, naklejone są dwa tensometry połączone w układzie pół-mostka. Jest to układ,
który eliminujący wpływ rozciągania a jednocześnie kompensujący wpływ temperatury.
Dynamometr ma liniową charakterystykę określoną stałą A = 2400 [
N
/
‰
] przy stałej mostka
k
m
= 2. Zatem siła w układzie napinającym określona jest liniową zależnością:
d
A
P
ε
⋅
=
[N] (4.5)
gdzie
ε
d
= b – a [‰] jest różnicą odczytów dla dynamometru w stanie obciążonym (b)
i nieobciążonym (
a). Dla uzyskania żądanej siły P należy wyznaczyć ze wzoru (4.5)
odkształcenie
ε
d
i układem napinającym uzyskać wskazanie mostka dla dynamometru (
b),
odpowiadające tej sile.
Element badany
Parametry belki dwuteowej stanowiącej element badany są następujące:
• kąt załamania belki – 90
o
• kierunek siły obciążającej belkę – 45
o
• wysokość belki dwuteownika h = 100 mm
• szerokość półki dwuteownika a = 50 mm
• grubość ścianki środnika belki g = 4.5 mm
• powierzchnia przekroju belki A = 1060 mm
2
• moment bezwładności przekroju I
y
= 171 cm
4
• moment statyczny połowy przekroju S
y
= 19.9 cm
3
10
Rys. 4.8 Rozmieszczenie tensometrów
Siatka tensometrów na elemencie badanym (rys. 4.8) pozwala na określenie
następujących przebiegów naprężeń:
11
• rozkład naprężeń wzdłużnych σ
x
(normalnych do przekroju) na półkach w miarę
zbliżania się do strefy koncentracji (naroża),
• rozkład naprężeń wzdłużnych σ
x
na półkach w przekrojach prostopadłych do osi
wzdłużnej
A, C, E, G,
• rozkład naprężeń σ
x
,
σ
z
i
τ
xz
oraz naprężeń głównych na środniku w przekrojach
A, E i H.
Na półce górnej i dolnej naklejone są tensometry jednoosiowe, zaś na środniku rozety
tensometryczne. Końcówki wyprowadzeń tensometrów znajdują się na oznakowanej tabliczce
(rys. 4.9), zamocowanej na badanym elemencie.
A
C
B
D
E
F
G
H
8
9
17
K
1
2
3
4
5
6
7
10 11 12 13 14 15 16
18 19 20 21 22 23 24 25
0
26 27
A
C
B
D
E
F
G
H
8
9
17
K
1
2
3
4
5
6
7
10 11 12 13 14 15 16
18 19 20 21 22 23 24 25
0
26 27
Rys. 4.9 Tablica połączeń tensometrów
Aparatura pomiarowa
Zarówno pomiaru odkształceń w dynamometrze tensometrycznym, jak też we
wskazanych punktach konstrukcji nośnej dokonuje się za pomocą dostępnej aparatury.
W Załączniku A opisano zasadę pomiaru odkształceń za pomocą mostka tensometrycznego,
umożliwiające zrozumienie ogólnych zagadnień pomiaru odkształceń.
4.5 WYKONANIE ĆWICZENIA
Doświadczalna część niniejszego ćwiczenia ma na celu określenie naprężeń
rzeczywistych, występujących w strefie załamania belki (stanowiącej model kątowego
wysięgnika żurawia) oraz określenie wartości współczynnika koncentracji naprężeń przez
porównanie wartości naprężeń rzeczywistych z teoretycznymi.
Należy zwrócić uwagę, że wartość współczynnika koncentracji naprężeń nie jest tu
jednoznacznie określona, bowiem zależeć ona będzie od rodzaju naprężeń. Zwykle
współczynnik koncentracji określa się oddzielnie dla naprężeń normalnych i stycznych, a jak
wspomniano we wprowadzeniu, oddzielnie dla naprężeń normalnych od rozciągania i od
zginania. W złożonym stanie naprężeń współczynnik koncentracji naprężeń może być
12
również określany dla naprężeń głównych, które jako naprężenia normalne są porównywane
z nominalnymi naprężeniami normalnymi. Wykonując ćwiczenie należy rozważyć ten
problem i sprawdzić, jaki jest wpływ zagięcia belki na koncentrację naprężeń normalnych
i stycznych.
Teoretyczne określenie naprężeń
Układ tensometrów pozwala na wyznaczenie rzeczywistych wartości naprężeń w
wybranych punkach konstrukcji, zatem dla wyznaczenia współczynnika koncentracji
naprężeń potrzebna jest znajomość wartości nominalnych, które można wyznaczyć
z zależności teoretycznych (bez uwzględnienia spiętrzenia naprężeń).
Przy obciążeniu belki na stanowisku badawczym w jej dowolnym przekroju
α
występują
trzy siły wewnętrzne: siła normalna,
N
x
, siła tnąca
T
z
oraz moment gnący
M
y
. Efektem tych sił
będą naprężenia normalne
σ
x
oraz styczne
τ
xz
. Naprężenia normalne
σ
z
od ściskania
międzypasowego przy zginaniu są pomijalnie małe. Warto natomiast oszacować proporcje
naprężeń normalnych, wywołanych momentem gnącym oraz siły normalnej.
Naprężenia normalne od momentu gnącego oraz siły normalnej w przekroju ‘
α
’
odległym o
L
α
od punktu przyłożenia siły oblicza się z zależności:
A
N
I
z
M
x
y
y
x
−
⋅
±
=
σ
(4.6)
gdzie:
M
y
=
L
α
P sin
45
ο
− moment gnący względem osi y przekroju
α
(normalnego do osi
x)
N
x
=
P cos
45
ο
− siła normalna w przekroju
α
A
– powierzchnia przekroju rozciąganego / zginanego
I
y
– moment bezwładności przekroju względem osi y
a naprężenia styczne od siły tnącej oblicza się z zależności:
)
z
(
b
I
)
z
(
S
T
y
y
z
xz
⋅
⋅
=
τ
(4.7)
gdzie:
T
z
=
P sin
45
ο
− siła tnąca w przekroju
α
S
y
(z) – statyczny moment odciętej części przekroju, względem osi y
b(z) – szerokość ścianki na wysokości z
Należy zwrócić uwagę, że zgodnie ze wzorem (4.7) naprężenia styczne w punktach
z
max
i
z
min
są zerowe, przyjmując wartość maksymalną w osi obojętnej przekroju.
13
Rys. 4.11 Widok badanej belki
Powyższe wzory umożliwiają wyznaczenie teoretycznych rozkładów naprężeń
w wyznaczonych przekrojach badanego elementu. Będą one następnie porównywane
z rozkładami doświadczalnymi naprężeń rzeczywistych, umożliwiając oszacowanie
koncentracji naprężeń. Stosunek naprężeń rzeczywistych do naprężeń nominalnych w danym
punkcie określi wartość współczynnika koncentracji naprężeń.
Doświadczalne określenie wartości naprężeń
Zgodnie z zasadą pomiaru tensometrycznego uzyskane wyniki są względnymi
wydłużeniami, czyli odkształceniami
ε w danym punkcie przekroju. Dla obliczenia
odpowiednich naprężeń należy skorzystać z prawa Hooke`a dla jednoosiowego lub płaskiego
stanu naprężeń (patrz Załącznik A). W ten sposób można wyznaczyć naprężenia normalne
w kierunku osiowym,
σ
x
. Naprężenia styczne
τ
xz
można wyznaczyć z pomiaru odkształceń
w trzech kierunkach, dokonanego za pomocą układu trzech tensometrów – rozety
tensometrycznej, której oznaczenia podano na rys. 4.12.
y
x
45
ε
B
ε
A
ε
C
1
2
45
Θ
o
y
x
45
ε
B
ε
A
ε
C
1
2
45
Θ
o
Rys. 4.12 Układ rozety tensometrycznej
14
Na podstawie wzorów podanych w Załączniku A można, z odkształceń pomierzonych za
pomocą rozet, wyznaczyć odkształcenia główne i ich kierunki, a następnie naprężenia
główne.
Naprężenia wyznaczone z pomiarów należy porównać z naprężeniami teoretycznymi
i odnieść się zwłaszcza do zmienności tych naprężeń w badanych przekrojach. Ważną
obserwacją będzie wyznaczenie położenia przekroju o największych naprężeniach
rzeczywistych. Dla poszczególnych rodzajów naprężeń należy wyznaczyć współczynniki
koncentracji naprężeń, odnosząc wartości naprężeń maksymalnych w konstrukcji do naprężeń
nominalnych. Należy określić również wartość współczynnika koncentracji naprężeń
głównych, odnosząc ich największą wartość do nominalnych naprężeń normalnych.
We wnioskach należy porównać wartości wyznaczonych w ten sposób współczynników
koncentracji naprężeń dla różnych rodzajów naprężeń.
4.6 LITERATURA
1. Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś:
Wytrzymałość materiałów, WNT Warszawa, 1996
2. J. Rutecki:
Cienkościenne konstrukcje nośne, WNT 1966
3. W.D. Pilkey, D.F. Pilkey:
Peterson’s Stress Concentration Factors, John Wiley & Sons,
2008 (dostęp z komputerów PW: app.knovel.com)
4. W. Tyburski:
Przetworniki tensometryczne, WNT 1971
5. Z. Orłoś:
Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń, PWN, 1977