Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich

Laboratorium Konstrukcji Nośnych

Analiza naprężeń w modelu wysięgnika teleskopowego

Wersja robocza

Tylko dla użytku wewnętrznego SiMR PW

Opracowanie:

Hieronim Jakubczak

Artur Jankowiak

Warszawa 2014

Wszelkie prawa zastrzeżone

2

Ćwiczenie 1

Analiza naprężeń w modelu wysięgnika teleskopowego

1.1 CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów ze sposobem teoretycznego wyznaczania

naprężeń w niebezpiecznych obszarach wysięgnika teleskopowego oraz porównanie wyników

z wartościami określonymi doświadczalne. Szczególnie interesujące będzie porównanie

teoretycznych i doświadczalnych rozkładów naprężeń.

1.2 WPROWADZENIE

Wysięgnik teleskopowy składa się z kilku sekcji o budowie skrzynkowej, których

wymiary poprzeczne są tak dobrane, że istnieje możliwość umieszczania sekcji o wymiarach

mniejszych w sekcjach o wymiarach większych. Drugim warunkiem umożliwiającym takie

rozwiązanie jest brak poprzecznych żeber usztywniających. Jest to podstawowa różnica formy

konstrukcyjnej sekcji wysięgnika teleskopowego w stosunku do typowych elementów

skrzynkowych, np. mostów suwnic.

W głównej, pionowej płaszczyźnie, sekcja wysuwna podparta jest w dwóch punktach, co

zapewnia zarówno jej przesuwanie w sekcji zewnętrznej jak też przeniesienie momentu

wywołanego podnoszonym przez żuraw ładunkiem, rys. 1.1. Podpora dolna związana jest na

stałe z sekcją stałą, co umożliwia lokalne wzmocnienie tej sekcji. Natomiast podpora górna,

przymocowana do sekcji wysuwnej, styka się z sekcją stałą za pośrednictwem ślizgów,

wywołując w ten sposób bardzo niekorzystny, złożony układ obciążeń tej sekcji. Bowiem

poza głównym obciążeniem w postaci momentu gnącego w płaszczyźnie pionowej, w sekcji

stałej, w rejonie podpory górnej istnieje lokalny stan obciążeń, który powoduje odrywanie

górnego pasa sekcji od środników. Z tego względu obszar współpracy sekcji zewnętrznej z

podporą górną jest bardzo narażony na powstawanie uszkodzeń i wymaga dokładnej analizy

wytrzymałościowej.

1.3 OBLICZENIA TEORETYCZNE

Obciążenia główne

Konstrukcja rzeczywista jest obciążona w sposób bardzo złożony. Wprawdzie obciążenia

osiowe przenoszone są przez elementy mechanizmu teleskopowania, jednakże ich

3

mimośrodowe przyłożenie oraz ugięcie wysięgnika muszą być uwzględnione w obliczeniach.

Ponadto istnienie sił bocznych oraz skręcanie wysięgnika powoduje, że obliczenia prowadzi

się zwykle przy wykorzystaniu metod numerycznych. Poniżej przedstawiono uproszczony

sposób obliczeń wytrzymałościowych, jak również wynik numerycznej analizy naprężeń w

sekcji stałej modelu wysięgnika teleskopowego.

Rys. 1.1 Wysięgnik teleskopowy

Na rys. 1.2 przedstawiono uproszczony schemat obciążeń wysięgnika teleskopowego.

Naprężenia normalne, tzw. "ogólne", wywoływane tym obciążeniem są równoległe do osi x

i są obliczane ze wzoru (1.1):

z

I

M

y

y

x

o

⋅

=

σ

=

σ

(1.1)

gdzie:

M

y

- moment gnący dla przekroju wysięgnika względem osi y

I

y

- moment bezwładności zginanego przekroju względem osi y.

z - odległość punktu obliczeniowego od osi bezwładności przekroju,

4

Obliczenie wartości momentu gnącego w przekrojach sekcji wysięgnika możliwe jest po

uprzednim wyznaczeniu reakcji w punktach podparcia całego wysięgnika (

R

A

,

R

B

) oraz w

punktach podparcia sekcji wysuwnej w sekcji stałej (

R

C

,

R

D

). Wykresy momentu gnącego

M

y

oraz sił tnących, obliczone z pominięciem mas własnych dla obu sekcji wysięgnika

przedstawiono na rys. 1.2.

R

D

R

C

R

B

R

A

R

D

R

C

R

B

R

A

R

D

P

R

C

R

D

P

R

C

Momenty gnące, My

Siły tnące, Tz

R

D

R

C

R

B

R

A

R

D

R

C

R

B

R

A

R

D

P

R

C

R

D

P

R

C

Momenty gnące, My

Siły tnące, Tz

Rys. 1.2 Schemat obciążeń modelu wysięgnika teleskopowego

Obciążenia lokalne

Jak wspomniano we wprowadzeniu, najbardziej niebezpiecznym miejscem wysięgnika

teleskopowego jest rejon sekcji stałej, współpracujący z podporą górną sekcji wysuwnej.

5

Dokładniejsze wyznaczenie naprężeń w tym obszarze wysięgnika możliwe jest przy

zastosowaniu metody elementów skończonych, natomiast przy zastosowaniu metod

analitycznych wytrzymałości materiałów można otrzymać rozwiązania przybliżone. Wymaga

to przy tym wprowadzenia pewnych założeń upraszczających.

Wycięty myślowo odcinek sekcji stałej o długości

s (rys. 1.3) znajduje się w

równowadze, gdyż działanie sił zewnętrznych

q(x), będące efektem rozłożenia reakcji R

C

w

podporze na długości ślizgu

s, równoważne jest działaniom sił wewnętrznych: momentów

gnących

M

y

i sił tnących

T

z

Rys. 1.3 Obciążenia lokalne w sekcji zewnętrznej wysięgnika teleskopowego.

Dla wyznaczenia naprężeń "lokalnych" należy przyjąć następujące założenia

upraszczające:

1° Reakcja

R

C

rozkłada się równo na oba ślizgi, przy czym:

( )

s

R

q

const

x

q

C

2

=

=

=

(1.2)

2°

Siły tnące T

z

przenoszone są głównie przez środniki i można je rozłożyć na obciążenie

ciągłe:

q

const

s

R

s

T

T

c

z

z

=

=

=

−

2

2

2

1

(1.3)

3°

Momenty gnące M

y

nie mają wpływu na wartości naprężeń lokalnych.

6

Przy tych założeniach wycinek sekcji stałej wygląda tak, jak na rys. 1.4a i znajduje się

nadal w równowadze. Ze względu na równomierne rozkłady obciążenia, w dalszych

rozważaniach można go rozwiązywać jako ramę płaską, przedstawioną na rys. 1.4b.

Rys. 1.4 Rozkład obciążeń lokalnych w sekcji stałej

Rozwiązanie ramy równoznaczne jest z możliwością wyznaczenia w dowolnym jej

przekroju sił wewnętrznych, a więc i naprężeń w dowolnym punkcie. Siły wewnętrzne N i M

x

w dowolnym przekroju ramy (rys. 1.5) mogą być wyznaczone po jej przecięciu. Równowagę

każdej z odciętych części zapewniają symetrycznie równe siły wewnętrzne M, Y i Z.

Równania statyki umożliwiają wyznaczenie tylko jednej niewiadomej - Z. Wielkości M i Y są

statycznie niewyznaczalne i wymagają dwóch dodatkowych równań, które mogą mieć różną

postać w zależności od przyjętego sposobu rozwiązania ramy.

W tym przypadku równania te będą wywodzić się z twierdzenia Castigliano. Po

oznaczeniu przez U

G

i U

D

energii odkształcenia sprężystego części górnej i dolnej przeciętej

ramy można napisać następujące równania:

1

θ

−

=

∂

∂

M

U

G

2

θ

−

=

∂

∂

M

U

D

(1.4)

1

y

Y

U

G

−

=

∂

∂

2

D

y

Y

U

−

=

∂

∂

(1.5)

Z warunku ciągłości przemieszczeń wynika jednak, że:

2

1

θ

θ

=

2

1

y

y

−

=

(1.6)

Uwzględniając powyższe zależności oraz oznaczając ponadto sumę energii części dolnej

i górnej przez U, tzn. U = U

G

+ U

D

7

równania (1.4) i (1.5) przyjmują postać:

0

=

∂

∂

M

U

(1.7)

0

=

∂

∂

Y

U

(1.8)

Powyższe równania noszą nazwę twierdzenia Menabrei dla sił wewnętrznych statycznie

niewyznaczalnych.

Rys. 1.5 Schemat rozwiązywania ramy

Energię odkształcenia sprężystego U można obliczyć jako pracę sił wewnętrznych

z równania (1.9):

dl

F

G

T

dl

F

E

N

dl

I

E

M

U

li

i

i

li

i

i

li

xi

xi

∫

∫

∫

⋅

+

⋅

+

⋅

=

2

2

2

2

2

2

(1.9)

Ze względu na przeważający wpływ momentów gnących na wartość energii U,

w obliczeniach pomija się zwykle siły normalne N

i

i tnące T

i

a wówczas zależność (1.9)

sprowadza się do postaci:

dl

I

E

M

U

li

xi

xi

∫

⋅

=

2

2

(1.10)

8

zaś równania (1.7) i (1.8) po podstawieniu zależności (1.9) i zróżniczkowaniu mają postać:

0

=

⋅

⋅

∂

∂

=

∂

∂

∫

dl

I

E

M

M

M

M

U

xi

xi

li

xi

(1.11)

0

=

⋅

⋅

∂

∂

=

∂

∂

∫

dl

I

E

M

Y

M

Y

U

xi

xi

li

xi

(1.12)

Po wyrażeniu wielkości M jedynie poprzez znane siły zewnętrzne oraz poszukiwane

niewiadome M i Y, otrzymuje się układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

(M, Y). Z ich rozwiązania otrzymuje się wzory wyrażające poszukiwane wielkości

niewiadome:

(

)(

)

(

)(

)

b

h

h

b

b

h

m

b

m

R

M

c

3

2

3

2

+

+

+

−

⋅

=

(1.13)

(

)

(

)

b

h

h

m

b

mh

R

Y

c

3

2

3

2

+

−

=

(1.14)

Naprężenia normalne wywołane momentem siłą normalną oraz momentem gnącym w

rozpatrywanej ramie (wycinku sekcji stałej wysięgnika) mają kierunek zgodny z osią y w

półkach poziomych oraz kierunek z w środnikach sekcji. Dla półki górnej można je wyrazić

wzorem:

z

I

M

F

N

x

x

y

L

⋅

±

=

σ

=

σ

(1.15)

gdzie: N i M

x

- siła normalna i moment gnący w przekroju półki górnej

F i I

x

- pole powierzchni i moment bezwładności przekroju

Naprężenia zredukowane

Z powyższej analizy teoretycznej wynika, że w rozpatrywanym rejonie stałej sekcji

wysięgnika teleskopowego, tzn. w pobliżu górnej podpory sekcji wysuwne występuje -

pomijając naprężenia styczne, wywołane siłami tnącymi - jednoosiowy bądź płaski stan

naprężeń (rys. 1.6). Płaski stan naprężeń wynika ze złożenia naprężeń lokalnych σ

L

z naprężeniami ogólnymi σ

o

.

9

Rys. 1.6 Naprężenia w sekcji wysięgnika.

Z przedstawionych obliczeń wynika, że naprężenia lokalne istnieją tylko na długości s

sekcji, przy czym na całej tej długości ich wartość jest jednakowa. Jest to jednak tylko wynik

założeń teoretycznych i przyjętej metody obliczeń, bowiem zgodnie z zasadą ciągłości

przemieszczeń naprężenia lokalne nie mogą pojawiać się w sposób skokowy. Oznacza to, że

obciążenie lokalne wywołuje naprężenia lokalne w znacznie większej części sekcji

wysięgnika niż długość ślizgów.

Przy wymiarowaniu konstrukcji niezbędna jest ocena jej wytężenia statycznego przez

porównanie naprężeń istniejących w konstrukcji z naprężeniami dopuszczalnymi,

określonymi na podstawie prób jednoosiowego rozciągania. Z tego względu wieloosiowy stan

naprężeń musi być zastąpiony umownym naprężeniem jednoosiowym, którego skutek

działania jest taki sami jak naprężeń wieloosiowych. Spośród wielu hipotez wytężeniowych,

dla stali najlepiej nadaje się hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H), która za

kryterium zniszczenia materiału przyjmuje wartość energii odkształcenia postaciowego.

Dla płaskiego stanu naprężeń, naprężenia zastępcze według hipotezy H-M-H można

obliczyć ze wzoru:

1

0

2

1

2

0

σ

σ

σ

σ

σ

−

+

=

z

(1.16)

Analiza numeryczna naprężeń

W ramach pracy dyplomowej [4] została przeprowadzona analiza numeryczna dla sekcji

stałej modelu wysięgnika teleskopowego. Obciążenia główne w postaci reakcji w podporach,

sekcji zamodelowano zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 1.2. Obciążenie podpory

górnej zostało rozłożone na dwóch ślizgach o długości s (rys. 1.3), przy czym było ono

10

efektem odzwierciedlenia geometrii samej podpory, a nie założenia określonego rozkładu

obciążenia. Przeprowadzone analizy wykazały, że rozkład obciążenia q(x) nie jest w

rzeczywistości stały (rys. 1.7), jak to zakłada się w analizie teoretycznej (rys. 1.3).

Rys. 1.7 Rozkład obciążenia na podporze górnej (oś wzdłużna)

Na rys. 1.8 przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych, wykonanych za pomocą

programu ANSYS. Rys. 1.8a przestawia rozkłady naprężeń ogólnych

σ

x

, natomiast rys. 1.8b –

rozkłady naprężeń lokalnych

σ

y

na zewnętrznej powierzchni półki górnej rozpatrywanego

wycinka sekcji (w modelu numerycznym os z pokrywa się z osią y na rys. 1.4).

a)

x

x

b)

x

x

Rys. 1.8 Rozkład naprężeń w badanej sekcji wysięgnika:

(a) naprężenia ogólne –

σ

x

, (b) naprężenia lokalne –

σ

y

Warto zwrócić uwagę, że rozkład naprężeń w sekcji zewnętrznej, w otoczeniu podpory

górnej, różni się znacznie od pozostałego obszaru sekcji.

11

1.5 OPIS STANOWISKA

Stanowisko

Na rys. 1.9 przedstawiono stanowisko do pomiarów naprężeń w modelu wysięgnika

teleskopowego. Jest to model uproszczony, bez mechanizmu teleskopowania sekcji. W celu

przybliżenia się do założeń teoretycznych, zamiast ślizgów w podporze górnej zastosowano

druty metalowe, dzięki czemu uzyskuje się liniowe styki z powierzchnią sekcji stałej.

Rys. 1.9 Stanowisko do pomiarów naprężeń w modelu wysięgnika teleskopowego.

Sekcja wysuwna wysięgnika może być ustawiona w dowolnym położeniu zależnie od

zadanego rozstawu d podpór sekcji. Obciążenie (pionowe) wysięgnika jest realizowane za

pomocą śruby, a wartość siły jest odczytywana z czujnika zegarowego.

Pomiary i analizy

W tej części ćwiczenia, zarówno wartości naprężeń, jak też ich rozkłady zostaną

określone eksperymentalnie. Porównanie wyników uzyskanych na drodze teoretycznej

(zarówno uproszczonej, jak też numerycznej) i doświadczalnej umożliwi wnioskowanie o

słuszności założeń przyjętych do uproszczonej analizy teoretycznej.

12

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

Rys. 1.10 Plan tensometrów

13

Na górnej półce sekcji stałej wysięgnika są naklejone rozety tensometryczne, a na

ściankach bocznych sekcji stałej oraz ruchomej naklejono tensometry jednoosiowe. Plan

tensometrów przedstawia rys. 1.10, natomiast w Załączniku A (rys. A.6) pokazano ogólny

sposób ich połączenia oraz wyprowadzenia przewodów na tablicę montażową (rys.1.11).

Układ oznaczeń w tablicy odpowiada oznaczeniom przyjętym na rys. 1.10. Tablica

montażowa pozwala na podłączenie do wyprowadzeń tensometrów mostków

tensometrycznych (zestaw zacisków) lub komputerowego zestawu pomiarowego (interfejsy

szeregowe).

2

1

4

3

5
6
7
8
9

10
11
13
15

2

1

4

3

5
6
7
8
9

10
11
13
15

0

K

A

B

C

D

E

F

2

1

4

3

5
6
7
8
9

10
11
13
15

2

1

4

3

5
6
7
8
9

10
11
13
15

0

K

A

B

C

D

E

F

Rys. 1.11 Schemat wyprowadzenia przewodów układu pomiarowego

Aparatura pomiarowa

W skład aparatury pomiarowej wchodzi:

1° Dynamometr (czujnik zegarowy), służący do pomiaru siły przykładanej na końcu sekcji

wysuwnej,

2° Komputerowy system pomiarowy (multiplekser ze wzmacniaczem pomiarowym,

przełącznik grup kanałów, karta pomiarowa, komputer PC) lub dowolny mostek

tensometryczny z przełączaniem kanałów (zasady pomiaru podano w Załączniku A).

Odpowiednie tensometry badanego przekroju należy połączyć z mostkiem

tensometrycznym poprzez zaciski tablicy montażowej. Wyjścia tensometrów z oznakowanej

tablicy zamocowanej na elemencie badanym łączymy kolejno z odpowiednimi zaciskami

mostka tensometrycznego, lub jego skrzynki rozdzielczej. Przy zastosowaniu komputerowego

systemu pomiarowego odpowiednie złącza szeregowe na tablicy montażowej należy

podłączyć ze złączami multipleksera.

14

1.6 WYKONANIE ĆWICZENIA

Na podstawie przedstawionych w rozdziale 1.3 wzorów teoretycznych można obliczyć

wartości naprężeń ogólnych i lokalnych w wybranych punktach konstrukcji. Można również

określić teoretyczne rozkłady naprężeń, tzn. ich zmianę w wybranych przekrojach i na

wybranych kierunkach.

Wykonanie ćwiczenia polega na:

1. Obliczeniu naprężeń we wskazanych punktach wysięgnika oraz wyznaczeniu

teoretycznych rozkładów naprężeń we wskazanych przekrojach.

2. Doświadczalnym określeniu rozkładów naprężeń we wskazanych przekrojach wysięgnika

3. Porównaniu rozkładów teoretycznych z rozkładami uzyskanymi z analizy numerycznej

oraz z badań doświadczalnych.

1.7 LITERATURA

1. Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, WNT Warszawa, 1996
2. J. Rutecki: Cienkościenne konstrukcje nośne, WNT 1966
3. W. Tyburski: Przetworniki tensometryczne, WNT 1971
4. Z. Orłoś: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń, PWN, 1977
5. T. Jendrzejewski: Analiza naprężeń w modelu wysięgnika teleskopowego, Praca

dyplomowa, SiMR PW, 2013