Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Odpowiedzi do zadan z zestawu nr 1

Wektory

1.

−~a = (−2, −3); 2~b = (−6, 4); ~a +~b = (−1, 5); ~a −~b = (5, 1)

2. ~a + ~b + ~c = (k

− 4, m + 7) = ~0 ⇔ k = 4, m = −7

3. v =

√

5

2

+ 2

2

=

√

29 m/s;

tg α =

2
5

⇒ α ≈ 21, 8

◦

4.

|~a| =

√

12 = 2

√

3;

|~b| = 5; ~a

0

=

±

(

1

√

3

,

1

√

3

,

−

1

√

3

)

;

~b

0

±

(

3
5

,

−

4
5

, 0

)

5.

−−→

CD =

−→

BA

⇒ D = (0, 3);

−→

AC = (6, 4);

|

−→

AC

| = 2

√

13;

−−→

BD = (

−4, 0); |

−−→

BD

| = 4

6.

|~a| =

√

14;

cos α =

a

x

|~a|

=

−1

√

14

cos β =

a

y

|~a|

=

2

√

14

cos γ =

a

z

|~a|

=

3

√

14

7.

−→

AB = (

−2, 2, −1);

−−→

CD = (3, 0,

−4); |

−→

AB

| = 3; |

−−→

CD

| = 5

−→

AB

·

−−→

CD =

−2; cos α = −

2

15

8.

−→

AB = (

−a − 1, 3);

−→

AC = (1, 3 + a);

−→

AB

·

−→

AC = 2a + 8 = 0

⇔ a = −4

9. A = (

−4, 5); D = (5, −1)

10.

|~u| = 5

√

2;

~

v = (

±4

√

2,

±3

√

2, 0)

Liczby rzeczywiste i działania na nich

11. Liczba ta jest równa 3

−3

=

1

27

12. (a) 1; (b) 1

13. x + y = 3 +

√

2;

x

− y = 1 − 3

√

2;

x

· y = −2 + 3

√

2;

x

2

= 6

− 4

√

2;

y
x

= 3 +

5
2

√

2

14.

2

√

3

3

;

3 + 2

√

3

6

;

−

√

3;

12(

√

3 +

√

2);

(

3

√

5)

2

+

3

√

5 + 1

15.

−x − (x + 1) − (x + 2) = −3x − 3

16. A

∪ B = (−5, 4]; A ∩ B = [−3, 2); A \ B = (−5, −3) ∪ [2, 4]; B \ A = ∅

(A

∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

= (

−∞, −5] ∪ (4, +∞)

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

17.

−3; −5;

log

2

4

log

2

√

2

2

=

2

−

1
2

=

−4; −

4

3

;

−1; log(2 · 50) = log 100 = 2; log

5

125 = 3

18.

5

2

= 25;

2

3

·7

2

= 392;

log

3

5

·

log

3

81

log

3

25

= log

3

5

·

4

2

· log

3

5

= 2;

log

400

· 20

8

= log 1000 = 3

19.

a + 2ab + b

2

a

2

− b

2

;

x

2

− 3x − 3

x

2

− 9

20.

(a

− 4)(a + 5)

a

2

;

(x

− y)(x + y)

2

x

2

+ xy + y

2

21.

(a) x

3

(x

− 1)(x + 1)(x + 6)

(b) 16x

3

(

x

−

1
2

) (

x +

1
2

) (

x

2

+

1
4

)

(c) (x

− 3)(x + 3)(x

2

+ 9)

(d) (x

− 3)(x + 2y)

22. W (2) = 0

⇒ k + 82 = 0 ⇒ k = −82

23. ax(x

− 2)(x + 3), a²R \ 0

24. W (x) = P (x)

· Q(x) + R(x)(x − 2)(x + 3) · Q(x) + ax + b ⇒

W (2) = 4

⇒ W (2) = 0 · Q(2) + a · 2 + b = 2a + b = 4

W (

−3) = 6 ⇒ W (−3) = 0 · Q(−3) + a · (−3) + b = −3a + b = 6

a =

−

2
5

,

b =

24

5

Zadania domowe

1.

−~a = (2, −5); 2~b = (6, −4); ~a + 2~b = (4, 1); 3~a −~b = (−9, 17)

2. C = (3, 6);

D = (1, 0);

−→

AB = (2, 6);

|

−→

AB

| = 2

√

10;

−−→

BC = (0, 2);

|

−−→

BC

| = 2

−→

AC = (2, 8);

|

−→

AC

| = 2

√

17;

−−→

BD = (

−2, −4); |

−−→

BD

| = 2

√

5

3.

−→

AB = (2, 0,

−1); |

−→

AB

| =

√

5;

−−→

CD = (1, 4,

−2); |

−−→

CD

| =

√

21

−→

AB

◦

−−→

CD = 4;

cos

](

−→

AB,

−−→

CD) =

4

√

105

4.

~

v =

±

(

3

√

10

, 0,

−

1

√

10

)

5.

−0, 5

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

6. x+y = 7+3

√

5;

x

−y = 3−7

√

5;

x

·y = −40+21

√

5;

x

2

= 45

−20

√

5;

y
x

= 12+

29

5

√

5

7.

3 +

√

3

6

;

5 + 3

√

3;

3(

√

5 +

√

3);

2(

3

√

2)

2

+ 2

3

√

2 + 2

8. A

∪ B = [−3, 5); A ∩ B = [−2, 3); A \ B = [−3, −2) ∪ [3, 5); B \ A = ∅

(A

∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

= (

−∞, −3) ∪ [5, +∞)

9.

−3; 0; 4; −

5

2

;

−1; 1

10.

(a) x

2

(x

− 3)(x −

√

2)(x +

√

2)

(b) 25x

2

(

x

−

1
5

) (

x +

1
5

)

(c) (x

− 3)(x

2

+ 3x + 9)

(d) (x

− 2y)(x + 1)

11. W (

−1) = 0 ⇒ k = 8

12.

−x

3

+ 4x

2

− 2x − 2

(x

− 2)(x + 2)

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni