Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki

Odpowiedzi do zada« z zestawu nr 5

1. Oblicz pochodne funkcji f(x) = x

2

oraz g(x) = x

3

wiedz¡c, »e pochodna funkcji wyra»a

si¦ nast¦puj¡co:

f

0

(x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

.

Odp.: (x

2

)

0

= lim

∆x→0

(x+∆x)

2

−x

2

∆x

= lim

∆x→0

(2x∆x+∆x

2

)

∆x

= 2x.

2. Wiedz¡c, »e (sin x)

0

= cos x

, (cos x)

0

= − sin x

, (e

x

)

0

= e

x

, (x

n

)

0

= n · x

n−1

, (ln x)

0

=

1
x

oblicz pochodne funkcji:

(a) f(x) =

√

2x

,

odp.: f

0

(x) =

1

√

2x

(b) g(x) = sin x cos x,

odp.: g

0

(x) = cos

2

x − sin

2

x.

(c) h(x) = (sin 2x)

5

,

odp.: h

0

(x) = 10 sin

4

2x cos 2x

(d) j(x) = e

7x+3

,

odp.: j

0

(x) = 7 e

7x+3

(e) k(x) = tg x,

odp.: k

0

(x) =

1

cos

2

x

(f) u(x) = sin

4

x − cos

4

x

,

odp.: u

0

(x) = 4 sin x cos x

(g) v(x) = x

x

odp.: v

0

(x) = x

x

(ln x + 1)

3. Znajd¹ minimum funkcji f(x) = x

2

+ 2

oraz maksimum funkcji g(x) = 2 − x

2

. Okre±l,

dla jakich warto±ci x funkcja jest malej¡ca, a dla jakich rosn¡ca. Jaki to ma zwi¡zek z

warto±ci¡ pochodnej? Zauwa» zwi¡zek mi¦dzy drug¡ pochod¡ a wkl¦sªo±ci¡ i wypukªo±ci¡

funkcji.
Odp.: f

0

(x) = 2x → f

0

(x) = 0

dla x = 0. f

0

(x) > 0

dla x > 0; f

0

(x) < 0

dla x < 0,

f

00

(x) = 2

.

Je»eli f

00

(x) < 0

w danym przedziale to w tym przedziale funkcja jest wkl¦sªa, a je±li

f

00

(x) > 0

to wtedy funkcja jest wypukªa.

Dla funkcji g otrzymujemy g

0

(x) = −2x

oraz g

00

(x) = −2

, a zatem funkcja f jest wypukªa

a funkcja g jest wkl¦sªa.

4. Czy funkcja f(x) = x

3

posiada ekstremum dla x = 0? Przedyskutuj ró»nice w zachowa-

niu pierwszej i drugiej pochodnej dla funkcji g(x) = x

2

+ 2

i f(x) = x

3

. Jak odró»ni¢

ekstremum funkcji od punktu przegi¦cia?
Odp.: Funkcja f(x) = x

3

nie posiada ekstremum dla x=0 poniewa» f

00

(0) = 0

, a warun-

kiem na ekstremum jest by f

00

(x) 6= 0

. Natomiast je±li f

0

(x

0

) = 0

oraz f

00

(x

0

) = 0

i f

00

zmienia znak dla x

0

to wtedy funkcja posiada punkt przegi¦cia dla argumentu x

0

.

5. Korzystaj¡c z twierdzenia de l'Hospitala:

lim

x→x

0

f (x)

g(x)

= lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

oblicz granice funkcji dla x → 0:

(a) f(x) =

sin 5x

x

,

Odp.: 5

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

(b) g(x) =

e

3x

−3x−1

sin

2

5x

.

Odp.:

9

50

6. Oblicz granic¦ lim

x→1

(

1

x−1

−

1

ln x

)

przeksztaªcaj¡c wyra»enie tak, by móc skorzysta¢ z

twierdzenia de l'Hospitala.
Odp: lim

x→1

(

1

x−1

−

1

ln x

)

= lim

x→1

(

ln x−x+1

(x−1) ln x

)

=

0
0

= stosujemy reguª¦ de l'Hospitala dwa

razy i otrzymujemy =

1
2

.

7. Na podstawie denicji oblicz pochodne funkcji:

(a) f(x) = cos x,

(b) g(x) = cos 3x.

(cos x)

0

= lim

∆x→0

cos(x+∆x)−cos x

∆x

= lim

∆x→0

−2 sin(x+

∆x

2

) sin

∆x

2

∆x

= −2 sin x lim

∆x→0

sin

∆x

2

∆x

= − sin x. Analogicznie obliczamy pochodn¡ cos 3x.

8. Wyznacz przedziaªy, w których funkcja y = 1 − 24x + 15x

2

− 2x

3

jest malej¡ca.

Odp.: Funkcja jest malej¡ca w przedziaªach (−∞, 1) oraz (4, +∞).

9. Znajd¹ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji y = x

3

−3x

2

+6x+2

w przedziale [−1, 1].

Odp.: warto±¢ minimalna to -12 a maksymalna +2.

10. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji

f (x) =

5x

1 + x

2

.

Odp.: Dziedzina (−∞, +∞)
Granica w −∞ oraz w +∞ wynosi 0.
y = 0 dla x = 0.
maksimum znajduje si¦ dla x = +1 i wynosi 5/2.
minimum znajduje si¦ dla x = -1 i wynosi -5/2.
Dla x < 0 funkcja przyjmuje warto±ci ujemne, a dla x > 0 warto±ci dodatnie.
W przedziaªach (−∞, −1) oraz (1, +∞) funkcja jest malej¡ca natomiast w przedziale
(−1, 1)

funkcja jest rosn¡ca.

Zadania domowe

1. Prosz¦ wykaza¢, »e funkcja f(x) = x

5

− 5x

3

+ 25x

nie ma ekstremum.

Odp.: f'(x) > 0 dla dowolnej wartosci x.

2. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) = x +

2
x

− 2

w przedziale [1, 4].

Odp.: Najwi¦ksza warto±¢ funkcji w tym przedziale wynosi 5/2.
Najmniejsza warto±¢ funkcji w tym przedziale wynosi 2(

√

2 − 1

).

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

3. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji f(x) =

x

2

+2

x+1

.

Odp.: Dziedzina (−∞, +∞) z wyª¡czeniem -1.
Granica w −∞ wynosi −∞ a w +∞ wynosi +∞.
lim

∆x→−1

−

= −∞

lim

∆x→−1

+

= +∞

Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Maksimum znajduje si¦ dla x = -1 -

√

3

i wynosi −2

√

3 − 2

.

Miniumum znajduje si¦ dla x = -1 +

√

3

i wynosi 2

√

3 − 2

.

Wykres funkcji ma asymptoty: uko±n¡ y = x - 1 i pionow¡ x = -1.
Funkcja jest rosn¡ca w przedziaªach (−∞, −1 −

√

3)

oraz (−1 +

√

3, +∞

)

Funkcja jest malej¡ca w przedziaªach (−1 −

√

3, −1)

oraz (−1, −1 +

√

3

)

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni