Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 7

1. Znajdź równanie prostej prostopadłej (równoległej) do prostej o równaniu:

2x −

2

3

y = −1

przechodzącej przez punkt A o współrzędnych A(2, 3).

2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P (2, 6) i tworzącej z dodatnimi pół-

osiami układu współrzędnych trójkąt o polu równym 24.

3. Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że przechodzi ona przez punkt A(3, 2) i tworzy

kąt 30

◦

z osią OX.

4. Narysuj na płaszczyźnie zbiór punktów spełniających:

(a)

x + y > 0

2x − y 6 1

(b)

x − y 6 0

x

2

+ y < 1.

5. Dana jest prosta k : x − 3y + 18 = 0 oraz punkty A(−9, −3) i B(5, −1). Wyznacz

współrzędne punktu C należącego do prostej k, który jest równo oddalony od A i B.

6. Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań w zależności od wartości

parametru m:

3x + my = 1

mx + 12y = 2.

7. Znajdź położenie środka i promień okręgu:

x

2

+ y

2

− 8x + 4y + 10 = 0.

8. Punkt S(6, 4) jest środkiem okręgu o promieniu równym 10. Znaleźć punkty przecięcia

tego okręgu z dwusiecznymi kątów układu osi współrzędnych.

9. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A(5, 0), B(1, 4), jeżeli jego środek

leży na prostej x + y − a = 0, gdzie a jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) równania
log

2

(a + 5) − log

2

(a + 1) = 1.

10. Prosta l przechodzi przez punkty A

1

(−1, 9), A

2

(2, −3). Prosta k określona jest równaniem

2x − y + 3m − 1 = 0. Znajdź takie wartości parametru m, aby punkt przecięcia prostych
l i k należał do wnętrza prostokąta A(1, −2), B(3, −2), C(3, 1), D(1, 1).

11. Dane są dwie proste o równaniach k : 3x − y = −18, l : x + y = 2 oraz punkt A(3, −1).

Na osi OX znajdź taki punkt P , aby wektory

−→

AP i

−→

AB były prostopadłe, wiedząc, że

punkt B jest punktem wspólnym prostych k i l.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

Zadania domowe

1. Rozwiąż w zależności od parametru λ układy równań:

(a)

(

2x + 3y =

λ

x − λy =

2

(b)

(

λx + y =

−1

−x + y =

−1

2. Oblicz pole figury utworzonej przez osie OX i OY oraz prostą przechodzącą przez punkty

A(−3, 2) oraz B(1, 1).

3. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A(1, 0), B(7, 0), C(4, 9).

Gdzie znajduje się środek tego okręgu i ile wynosi jego obwód?

4. Para liczb (x, y) jest rozwiązaniem układu równań

x − y = −1 − m

2x − y = 2m.

Dla jakich wartości parametru m punkt P (x, y) należy do koła o promieniu r =

√

5 i

środku w początku układu współrzędnych?

5. Punkty A(−6, 3), B(−10, 1) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD, a pro-

sta 3x − 2y + 6 = 0 jest symetralną jego boku BC. Napisz równania ogólne prostych
zawierających boki równoległoboku oraz wyznacz współrzędne wierzchołków C i D.

6. Znajdź równanie okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony punktami A(3, 0), B(0, 4), C(0, 0).

7. Podaj liczbę rozwiązań układu równań:

(

x

2

+ y

2

=

2px

x

2

+ y

2

=

1

p

2

tj. przecięć okręgów, w zależności od parametru p.

8. Określ zbiór wszystkich punktów, dla których suma odległości od osi OY i danego punktu

na osi OX jest wielkością stałą i wynosi p.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni