Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 4

1. Podaj równanie prostej przechodzącej przez punkty (−1,

3
2

) oraz (2,

1
2

). Narysuj otrzymaną

funkcję i podaj współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami Ox i Oy.

2. Podaj równanie paraboli przechodzącej przez trzy punkty: (−2, 4), (−1, −

1
2

), (2, −8).

Znajdź punkty przecięcia paraboli z osią Ox i współrzędne jej wierzchołka.

3. Dany jest wykres funkcji (Rys. 1). Odczytaj z wykresu następujące informacje:

-4

-2

2

4

6

8

-10

-5

5

10

Rysunek 1: Wykres do Zad. 3.

(a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji

(b) równania asymptot poziomych i pionowych

(c) granice w ±∞ oraz lewo- i prawostronne granice w punktach nieciagłości

(d) miejsca zerowe

(e) minima i maksima lokalne

(f) przedziały monotoniczności

4. Narysuj schematycznie (naszkicuj) wykresy funkcji podanych niżej:

(a) y =

2x−3

4

(4.a)

(b) y =

3−2x−8x

2

8

(4.b)

(c) y = log

2

x

(4.c)

(d) y = exp (−x)

(4.d)

(e) y = x

7

(4.e)

(f) y =

√

x

(4.f )

(g) y =

1

x

(4.g)

Podaj dziedzinę i zbiór wartości dla każdej z nich.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

5. Funkcja została zadana następująco:

f (x) =































0

dla

x < −4

x/2 + 2

dla

− 4 ≤ x ≤ −1

√

2

dla

− 1 < x ≤ 0

1

dla

0 < x <

1
2

1
x

dla

x ≥

1
2

Narysuj wykres f (x), określ kiedy jest rosnąca, malejąca lub stała. Podaj punkty niecią-
głości. Odczytaj z wykresu maksimum i minimum.

6. Funkcja y = f (x) została zadana w postaci równania. Podaj postać jawną i narysuj

wykres funkcji:

(a) xy =

1
4

(6.a)

(b) 3x − 2 =

y
2

(6.b)

(c) 2 + 2y − x

2

= x

(6.c)

(d) 2

y

= e

−x

(6.d)

7. Dana jest funkcja y = 2x − 3. Narysuj wykresy funkcji:

a)

f (x) − 1,

f (x + 1),

f (−x),

−f (x),

−f (−x),

|f (x)|,

f (2x),

b

∗

)

f

1

x

,

f

−1

(x),

1

f (x)

Opisz transformacje geometryczne związane z każdym z przekształceń. Powtórz zadanie
dla innych zadanych przez prowadzącego lub samodzielnie wybranych funkcji.

8. Określ przedziały monotoniczności funkcji:

f (x) = |e

x+1

− e|

Znajdź ekstrema, miejsca zerowe i asymptoty.

9. Zbadaj funkcje y = f (x) dane w postaci jawnej, gdzie f (x) jest równe:

(a) x

2

+ x + 2

(9.a)

(b) sin (πx + π) + 1

(9.b)

(c) cos

2

x

(9.c)

(d)

x

1−x

2

(9.d)

(e)

x

2

+1

x+2

(9.e)

(f) 1 −

1
2

e

−x

(9.f )

(g) 1 − e

1

|x|

(9.g)

czyli:

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(i) określ dziedzinę i przeciwdziedzinę

(ii) znajdź miejsca przecięcia z osiami Ox (miejsca zerowe) i Oy

(iii) znajdź asymptoty pionowe, poziome i ukośne

(iv) znajdź minima i maksima

(v) zbadaj parzystość, nieparzystość i okresowość funkcji

(vi) zbadaj monotoniczność funkcji

(vii) oblicz granice lewo- i prawostronne w punktach nieciągłości

10. W zależności od parametru p znajdź położenie maksimum x

max

oraz wartość maksymalną

f

max

dla funkcji

f (x) = 1 − px − x

2

Wykreśl zależności x

max

(p), f

max

(p) i f

max

(x

max

).

11. Oblicz granice w typowych przypadkach:

lim

x→0

ln sin 2x

ln sin x

,

∞
∞

lim

x→π

cos (x/2)

π − x

,

0

0

lim

x→π/2

(π − 2x) tg x,

(0 · ∞)

lim

x→1

x

x − 1

−

1

ln x

,

(∞ − ∞)

lim

x→0

(cos x)

1
x

,

(1

∞

)

lim

x→∞

1

x

1/x

,

0

0

lim

x→∞

(exp x)

e

−x

,

∞

0

Zadania domowe

1. Dokonaj analizy przebiegu funkcji y = f (x), gdzie f (x) zadano wzorem:

(a)

x

1+x

(1.a)

(b) tg (π − x) − 1

(1.b)

(c) x

5/3

(1.c)

(d)

√

2 x +

1
2

(1.d)

(e)

√

x

2

+ 1 − 2,

(1.e)

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(f)

2x+3
3x+2

(1.f )

(g) x

4

+ x

3

− 11x

2

− 9x + 18

(1.g)

2. Znajdź wzór funkcji odwrotnej do:

(a) x

2

(2.a)

(b)

1

x

(2.b)

(c) x

(2.c)

(d)

√

x

(2.d)

(e) tg x

(2.e)

(f) 2x + 3

(2.f )

(g)

ax+b

x−1

(2.g)

(h) 2

x

(2.h)

Określ kiedy funkcja jest odwracalna. Narysuj na jednym wykresie funkcję i funkcję od-
wrotną.

3. Znajdź wartość z przedziału 0 < x ≤

√

2 dla której funkcja określona wzorem:

f (x) = |1 − x

2

|

przyjmuje wartość maksymalną i minimalną.

4. Określ dziedzinę i narysuj wykres funkcji:

f (x) = exp e

ln (ln x)−ln 2

5. Funkcja f (x) określona jest przez sumę szeregu geometrycznego:

f (x) =

∞

X

n=0

x

n

Określ dziedzinę i zbadaj przebieg tej funkcji.

6. Funkcje y = f (x) i y = g(x) są określona w sposób parametryczny wzorami:

f : x → y ≡

(

y =

2t

2

+ 1

x =

t − 2

g : x → y ≡

(

x =

t

3

y =

3 ln (t

2

) + 1

gdzie −∞ < t < ∞. Znajdź postać jawną y(x). Naszkicuj wykresy funkcji f (x) i g(x).

7. Rozwiązanie układu równań:

(

3x + 4y − 5λ

= 2

x − y + λ

= 1

ze względu na niewiadome x i y w zależności od parametru λ wyznacza pewną funkcję
f = y(x) w postaci parametrycznej. Podaj równanie i narysuj wykres tej funkcji.

8. (∗) Określ dziedzinę i zbadaj przebieg funkcji określonych wzorem:

cos (arccos x),

cos (2 arccos x),

cos (arcsin x)

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni