Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 3

1. Wyrazić w radianach 1

◦

, 30

◦

, 45

◦

, 60

◦

, 90

◦

, 120

◦

, 180

◦

, 360

◦

.

2. Podać dziedziny, zbiory wartości funkcji i narysuj wykresy dla sin x, cos x, tg x, ctg x.

Odczytać z wykresów związki między tymi funkcjami. Jakie znaki przyjmują wartości
funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ?

3. Policzyć

(a) cos x, jeśli sin x =

1

16

oraz x ∈ (

π

2

, π)

(b) sin x, jeśli ctg x = −

2
3

oraz x ∈ (

π

2

, π)

(c) tg x, jeśli sin x = −

3
8

oraz x ∈ (π,

3
2

π)

4. Zebrać podstawowe wzory redukcyjne

(a) sin(π/2 ± x) =

(b) sin(π ± x) =

(c) sin(2π − x) =

(d) cos(π/2 ± x) =

(e) cos(π ± x) =

(f) cos(2π − x) =

(g) itd.

5. Korzystając ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:

(a) sin 300

◦

(b) cos 540

◦

(c) tg 225

◦

6. Zebrać podstawowe tożsamości trygonometryczne

(a) sin(α + β) =

(b) cos(α + β) =

(c) tg (α + β) =

(d) ctg (α + β) =

(e) itd.

7. Wyprowadzić z powyższych wzory na

(a) sin(2α) =

(b) cos(2α) =

(c) tg (2α) =

(d) ctg (2α) =

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(e) sin(3α) =

(f) itd.

8. Narysować wykresy funkcji

(a) f (x) = (sin x − cos x)

2

(b) f (x) = sin

4

x − cos

4

x

9. Wiedząc, że sin α + sin β = 2 sin

α+β

2

cos

α−β

2

oraz cos(x) = sin(x + π/2), wyprowadzić

wzory na

(a) sin α − sin β

(b) cos α + cos β

(c) cos α − cos β

10. Wykazać, że

1−cos 2x+sin 2x
1+cos 2x+sin 2x

= tg x

11. Rozwiązać równania

(a) sin 2x =

1
2

(b) sin x + cos x = 0

(c) sin

2

x + 2 sin x − 3 = 0

(d) 4 cos

2

x = 4 sin x + 1, w przedziale [0, 2π].

12. Rozwiązać nierówności

(a) sin 2x >

1
2

(b) sin

4

x + cos

4

x >

7
8

(c) sin x + sin 3x + sin 5x < 0

13. Dana jest funkcja f (x) =

sin

2

x−| sin x|

sin x

, dla x ∈ (0, π)∪(π, 2π). Naszkicować wykres i znaleźć

miejsca zerowe funkcji f .

R

a

α

S

α

S

R

c

a

b

l

α

A

B

C

D

E

F

G

H

14. Dany jest trójkąt wpisany w okrąg. Jeden z boków trójkąta ma długość a, a kąt leżący

naprzeciw tego boku ma miarę α. Obliczyć promień R okręgu opisanego na trójkącie.

15. Na okręgu o promieniu R opisany jest romb. Stosunek pola powierzchni koła do pola

powierzchni rombu wynosi

π

√

3

8

. Znaleźć kąt ostry rombu α.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

16. Przekątna prostopadłościanu ma długość l i tworzy ona ze ścianą boczną kąt α. Obliczyć

objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi c.

Zadania domowe

1. Policzyć

(a) ctg x, jeśli cos x =

1
2

oraz x ∈ (

3
2

π, 2π)

(b) cos x, jeśli tg x = −

1
3

oraz x ∈ (

3
2

π, 2π)

2. Korzystając ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:

(a) sin 315

◦

(b) cos 675

◦

(c) ctg 225

◦

3. Wyprowadzić wzory na

(a) tg α ± tg β

(b) ctg α ± ctg β

4. Wyrazić sin x, cos x i tg x za pomocą t = tg

x
2

5. Rozwiązać równania

(a) sin

2

x + sin x − 6 = 0, dla x z przedziału [0, 2π]

(b) − cos

2

x +

5
2

sin x −

1
2

= 0, dla x z przedziału [0, 2π]

(c) 4 (log

2

cos x)

2

+ log

2

(1 + cos 2x) = 3

(d) sin 2x − cos 2x = 1 − 2 cos

2

x + sin x

(e) cos x −

√

3 sin x = 1

6. Rozwiązać nierówności

(a) sin x + cos x >

√

2 cos 2x

(b) sin

3

x − 4 sin

2

x − sin x + 4 ≥ 0

m

b

b

b

2α

.

A

B

C

D

E

F

S

2α

H

7. W trapezie dłuższa podstawa ma długość m, a pozostałe trzy boki mają długość b. Prze-

dłużenia ramion trapezu przecinają się pod kątem 2α. Obliczyć obwód trapezu.

8. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne przecinają się

pod kątem 2α, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma
długość h. Obliczyć objętość i powierzchnię całkowitą ostrosłupa.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni