Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki
Zestaw nr 2
1. Rozwiąż nierówności:
2
x
> exp x,
e
x
√
2
>
(
1
2
)
x
,
2 <
|e
2x
− 3| < 3,
exp (
−x) ≤ x
5
+ 1
2. Rozwiąż równania:
7
x
−5
= 9
5
−x
,
ln
√
x
2
− 1 = 1, ln
(
1
−
√
x
− 1
)
=
−
1
2
,
log
x
5 = log
5
x, x = ln x
3. Rozwiąż nierówność:
|x| + 1 > |x − 1|
4. Rozwiąż nierówność:
x
2
(3x
− 1)(x + 3)(3 − x)(1 + 3x) ≥ 0
5. Rozwiąż w zależności od wartości parametru p nierówność:
x
2
+ p +
1
2
≥ 4px
6. Jaką figurę geometryczną wyznacza na płaszczyźnie x
− y układ nierówności:
2x + y
≤ 4,
x + 4
2
≥ y, y ≥ −1 .
Czy punkt o współrzędnych (1, 1) należy do tej figury? Podaj wsp. jej wierzchołków.
7. Narysuj zbiór wyznaczony na płaszczyźnie nierównościami:
|x + y| > x − y, |x| + |y| ≤ 1
8. Narysuj zbiór wyznaczony na płaszczyźnie nierównościami:
max (
|x|, |y|) < 2, x + y > 0, x > 0, y < 0
9. Rozwiąż nierówność wymierną:
(x + 1)
2
− x
2
x(2x + 1)
<
−1
10. Znajdź x spełniający równanie:
e
x
− e
−x
= 1.
11. Rozwiąż równanie:
√
x + 7 + 1 = 2x
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
Zadania domowe
1. Pokaż, że dla a > 0, b > 0 zachodzi:
a + b
2
≥
√
ab
2. Sprawdź, czy poniższe wyrażenie jest prawdziwe:
exp π > π
e
3. Jaki zbiór wyznacza na płaszczyźnie nierówność:
x
2
− 2x > 3 − y
2
.
Które z punktów: (x =
−1, y = 0), (x = 1, y = −2), (x = 3, y = 3) należą do tego zbioru?
4. Znajdź wszystkie rozwiązania równania:
x
2
+ y
2
− 2x = 7
będące parami liczb całkowitych.
5. Rozwiąż układy nierówności:
a)
|x| + |y| ≤ 1, y ≥ 1 + x, y ≥ 1 − x
b)
|x| + |y| ≤ 1, 1 ≤ |x| + y
6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość x (y) w zbiorze zdefiniowanym na płaszczyźnie
nierównościami:
y
≥ x
2
− 4, y ≤ 2x − x
2
7. Dla jakich wartości parametrów, poniższe nierówności są prawdziwe dla każdego x:
x
2
+ px + q
≤ 0, ax
2
+ bx + c
≥ 0
8. Wyznacz x z równania:
log
2
x
7
= 8 + ln x.
9. (
∗) Dany jest obszar przestrzenny wyznaczony nierównościami:
|x + y| ≤ 1, |x + z| ≤ 1, |y + z| ≤ 1.
Wyznacz:
a) najmniejszą wartość x w tym obszarze
b) objętość obszaru
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni