Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 6

Ci¡gi

1. Obliczy¢ pi¦¢ pocz¡tkowych wyrazów ci¡gów okre±lonych w nast¦puj¡cy sposób:

(a) a

n

= n

2

− n

,

(b) a

1

= 1;

a

n

= n · a

n−1

.

2. Poda¢ wzór na wyraz ogólny ci¡gu (a

n

)

okre±lonego w nast¦puj¡cy sposób:

(a) ci¡g kolejnych dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 3;

(b) ci¡g kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 5 daj¡ reszt¦ 1,

(c) (1, 4, 9, 16, ...),

(d) (1, 4, 27, 256, ...),

(e) (−1, 1, −1, 1, −1, ...),

(f)

1
2

, −

2
3

,

3
4

, −

4
5

, ...

.

3. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów:

a

n

= n

2

+ 3n,

b

n

= n

2

− 10n,

c

n

= 3

n

,

d

n

=

2

2n+3

.

4. Sprawdzi¢, czy ci¡g (a

n

)

jest ci¡giem arytmetycznym lub geometrycznym.

(a) a

n

= 5

(d) a

n

= 2 · 3

n

(b) a

n

= 3n − 2

(e) a

n

= 2 · 3

n

+ 1

(c) a

n

= 3n

2

(f) a

n

= 2

n+3

5. Wyznaczy¢ ci¡g arytmetyczny (tzn. obliczy¢ a

1

i r, zapisa¢ wzór) je±li a

5

= 13, a

8

= 25

.

6. Obliczy¢ sum¦:

(a) 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100,

(b) wszystkich 3-cyfrowych liczb podzielnych przez 5.

7. Suma n pocz¡tkowych wyrazów ci¡gu (a

n

)

dla ka»dego n ≥ 1 okre±lona jest wzorem

(a) S

n

= 2n

2

− 4n;

(b) S

n

= 2n

2

− 4n + 1.

Wyznaczy¢ wzór na n-ty wyraz ci¡gu oraz zbada¢, czy jest to ci¡g arytmetyczny.

8. Wyznaczy¢ ci¡g geometryczny (tzn. obliczy¢ a

1

i q, zapisa¢ wzór na a

n

) wiedz¡c, »e

a

5

= 16, a

11

= 1024

.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

9. Pomi¦dzy liczby -4 i 32 wstawi¢ takie dwie liczby, aby trzy pocz¡tkowe liczby tworzyªy

ci¡g arytmetyczny, a ostatnie trzy - ci¡g geometryczny.

10. Ci¡g (a

n

)

jest ci¡giem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Wykaza¢, »e ci¡g b

n

= ln a

n

jest ci¡giem arytmetycznym.

11. Obliczy¢:

(a) 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 1024,

(b)

1
2

+

1
4

+

1
8

+ ...

.

12. Uªamek dziesi¦tny niesko«czony okresowy 0, 1111... zamieni¢ na uªamek zwykªy.

13. Rozwi¡za¢ równanie: x + x

2

+ x

3

+ ... = 3

.

14. Obliczy¢ granice ci¡gów:

(a) a

n

=

2n+3

n

2

−2n+1

(f) a

n

=

√

n + 1 −

√

n

(b) a

n

=

6n

2

−2n+2

3n

2

+5n−2

(g) a

n

=

√

n

2

+ n − 2 − n

(c) a

n

=

1+3+5+...+(2n−1)

n+2

(h) a

n

=

n

√

5

n

+ 3

n

+ 2

n

(d) a

n

= (−2)

n+1

(i) a

n

=

sin(n!)

n+2

(e) a

n

=

2

n

+3

3

n

+2

(j) a

n

=

n

√

10

100

+

n

q

1

100

10

15. Wiedz¡c, »e lim

n→∞

1 +

1

n

n

= e

, obliczy¢ lim

n→∞

1 +

2

n

3n

.

Zadania domowe

1. Ci¡g Fibonacciego Przypu±¢my, »e nowo narodzona para królików, samiec i samica,

zostaje wypuszczona na pole. Króliki mog¡ ª¡czy¢ si¦ w pary ju» po uko«czeniu pierwszego

miesi¡ca »ycia, zatem ju» pod koniec drugiego miesi¡ca »ycia samica mo»e urodzi¢ par¦

mªodych królików. Zaªó»my, »e nasze króliki nigdy nie zdychaj¡, a samica zawsze rodzi

par¦ królików: jednego samca i jedn¡ samic¦ ka»dego miesi¡ca, pocz¡wszy od drugiego

miesi¡ca »ycia.

(a) Ile par liczy spoªeczno±¢ królików w kolejnych miesi¡cach?

(b) Jak¡ liczb¡, parzyst¡ czy nieparzyst¡, jest 528 wyraz ci¡gu Fibonacciego?

2. Trzy liczby tworz¡ ci¡g geometryczny. Je»eli drug¡ z nich zwi¦kszymy o 8, to otrzymamy

ci¡g arytmetyczny. Je»eli trzeci wyraz otrzymanego ci¡gu arytmetycznego zwi¦kszymy o

64 to znów otrzymamy ci¡g geometryczny. Wyznacz te liczby.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

3. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym:

a

n

= n

2

− 2n − 5;

b

n

=

n+3
n+2

;

c

n

= n

2

− 9n − 5

4. Sprawdzi¢, czy ci¡g jest ci¡giem arytmetycznym lub geometrycznym.

a

n

=

√

3 −

√

5 · n;

b

n

= (−1)

n

;

c

n

= n

2

+ 1

5. Zamieni¢ na uªamki zwykªe nast¦puj¡ce uªamki dziesi¦tne niesko«czone okresowe:

0, 3333...;

0, 121212...;

0, (9);

1, 2(3)

6. Wyznaczy¢ te warto±ci x, dla których poni»sze liczby (w podanej kolejno±ci):

(a) 3x − 4, x

2

+ 1,

x

2

+ 2x

- tworz¡ ci¡g arytmetyczny,

(b) x

−1

,

x

2

,

5x

3

− 4x

- tworz¡ ci¡g geometryczny.

7. Pierwszy wyraz sko«czonego ci¡gu arytmetycznego jest równy 4, a jego ró»nica jest równa

0,5. Suma wszystkich wyrazów tego ci¡gu wynosi 189. Obliczy¢ liczb¦ wyrazów tego ciagu.

8. Obliczy¢:

(a) sum¦ wszystkich liczb 3-cyfrowych nie podzielnych przez 4,

(b) 1 −

1
3

+

1
9

−

1

27

+ ...

9. Obliczy¢ granice ci¡gów:

(a) a

n

= n

2

− 2n + 1

(b) a

n

=

n

2

+n+3

3n

2

−5n−2

(c) a

n

=

1+2+3+...+n

n

2

(d) a

n

= −

1
2

n

2

(e) a

n

=

2·3

n

+4

n

3

n

−4

n

(f) a

n

=

√

9n

2

+ 6n − 3n

(g) a

n

=

n

√

3

n

+ 2

2n

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni