Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 8

Rachunek Prawdopodobieństwa

1. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy liczbę oczek mniej-

szą od 5 ?

2. Rzucamy trzy razy uczciwą monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie nam

co najmniej jeden raz orzeł?

3. 6 osób idzie do kina i zajmuje tam 6 s¸

asiednich miejsc. Jakie jest prawdopodbieństwo,

że zajmą miejsca od lewej do prawej strony w kolejności alfabetcznej nazwisk? Jakie jest
prawdopodobieństwo że dwie wybrane osoby usi¸

ad¸

a obok siebie ? Nast¸epnie 6 osób idzie

do restauracji, gdzie siadaj¸

a (w sposób losowy) przy okr¸

agłym stoliku. O ile zmieni si¸e

prawdopodobieństwo, że dwie wybrane osoby znowu usi¸

ad¸

a obok siebie ?

4. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w “totka” dla trójki, czwórki, pi¸

atki i szóstki ?

Wybieramy 6 liczb spośród 49.

5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w klasie licz¸

acej 20 uczniów co najmniej dwóch uczniów

ma urodziny tego samego dnia w roku (rok ma 365 dni).

6. Na ile sposobów możemy podzielić 70 studentow na 4 grupy 15-to osobowe i jedną grupę

10-o osobową?

7. Matura pisemna z języka polskiego sprawdzana jest przez dwóch egzaminatorów. Prawdo-

podobieństwo niezauważenia błędu przez pierwszego wynosi 0,03, a przez drugiego 0,05.

• Oblicz prawdopodobieństwo, że popełniony błąd nie zostanie zauważony.

• Oblicz prawdopodobieństwo, że popelniony błąd zostanie wykryty (korzystając z:

(a) wzoru na prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń,
(b) rozpisując zdarzenie "popelniony błąd zostanie wykryty" na zdarzenia elemen-
tarne).

• Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe tego, że błąd został zauważony przez pierw-

szego egzaminatora, pod warunkiem, że błąd został w ogóle wykryty.

• Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe tego, że błąd został zauważony tylko przez

pierwszego egzaminatora, od warunkiem, że błąd został w ogóle wykryty.

8. Prawdopodobieństwo jednokrotnego trafienia w cel przy salwie z dwóch dział wynosi 0,38.

Prawdopodobieństwo trafienia z działa nr 2 przy jednym wystrzale wynosi 0,8. Znaleźć
prawdopodobieństwo trafienia z działa nr 1 przy jednym wystrzale.

9. Rzucamy dwa razy kostk¸

a do gry. Niech S oznacza zdarzenie polegaj¸

ace na tym, że suma

liczby oczek z obu rzutów wynosi 5, a L, że iloczyn liczby oczek z obu rzutów jest mniejszy
od 9. Obliczyć P (S), P (L), P (S ∩ L), P (S | L). Czy zdarzenia S i L s¸

a niezależne ?

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

10. Rzucamy sto razy uczciwą monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie nam

ponad 90 razy orzeł?

11. Wykonano 3 pomiary wielkości X. Otrzymano następujące wyniki: 10, 12, 16. Każdy z

tych pomiarów obarczony jest niepewnością, wynoszącą odpowiednio 4, 1,5, 3. Oblicz
średnią wartość X i jej odchylenie standardowe. Oblicz średnią ważoną dla wielkości X
przyjmując za wagę odwrotność niepewności.

Zadania domowe

1. Trójka studentów zdaje równocześnie egzamin. Sposób przygotowania studentów i pytania

egzaminatora powoduje, że studenci mog¸

a uzyskać z równym prawdopodobieństwem jedn¸

a

z sześciu ocen: 2, 3, 3,5, 4, 4,5, 5. Znaleźć prawdopodobieństwo nast¸epuj¸

acych zdarzeń:

a) wszyscy dostaną dwójki

b) wszyscy dostan¸

a ten sam stopień

c) każdy dostanie inny stopień.

2. Komplet 100 lampek choinkowych poł¸

aczonych szeregowo po wł¸

aczeniu do pr¸

adu oka-

zał si¸e wadliwy. Zakładaj¸

ac, że należy wymienić jedn¸

a żarówk¸e, a wyboru żarówki do

sprawdzenia dokonujemy w sposób losowy, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo:

(a) natrafienia na zepsut¸

a żarówk¸e w pierwszej próbie

(b) natrafienia na zepsut¸

a żarówk¸e w ostatniej próbie

3. Wyci¸

agamy 3 karty z tali 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna z nich nie

b¸edzie treflem ?

4. Z 24 kart wybieramy 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy dwie pary ? Wy-

kluczamy fulla (para kart jednego rodzaju i trójka kart drugiego rodzaju) i karetę (cztery
karty jednego rodzaju).

5. Z obserwacji wiadomo, że 3 dni w czerwcu (na 30 dni) są burzowe. Znajdź pod tym

warunkiem prawdopodobieństwo, że pierwsze cztery dni czerwca nie będą burzowe.

6. W pewnej rodzinie jest troje dzieci.

(a) Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedno z nich to dziewczynka.

(b) Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej dwoje z nich to dziewczynki.

7. W pewnym teleturnieju za jednymi spośród trzech drzwi znajduje si¸e nagroda. Gracz

wybiera jedne drzwi, ale ich nie otwiera. Nast¸epnie prowadz¸

acy otwiera jedne, losowo

wybrane, spośród dwóch pozostałych drzwi (ale tylko takie, za którymi nie ma nagrody).
Po otwarciu drzwi prowadz¸

acy proponuje graczowi zmian¸e decyzji (tzn. wskazanie innych

drzwi). Czy gracz chc¸

ac zwi¸ekszyć swoje szanse, powinien zmienić swój wybór (tak,nie

czy nie ma to znaczenia ?).

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

8. Na pewien egzamin przygotowano N pytań egzaminacyjnych. Student zna odpowiedź tylko

na K pytań. Egzamin polega na tym, że zdający odpowiada na n wylosowanych pytań.
Niech A

k

oznacza zdarzenie, że zdający zna odpowiedź na k spośrod wylosowanych pytań

(k = 0, 1, ...n). Oblicz prawdopodobieństwo zadarzenia A

k

. Oblicz prawdopodobieństwo

tego, że zdający odpowie na co najmniej r pytań. Podaj wyniki liczbowe dla N=50, K=25,
n=3, r=2 i r=1.

9. Wykonano 10 bezpośrednich pomiarów wielkości X. Otrzymano następujące wyniki: 1,688,

0,878, 0,676, 1,457, 0,582, 1,258, 1,230, 2,324, 1,618, 1,124. Obliczyć średnią wartość X i
jej odchylenie standardowe.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni