Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 5

1. Oblicz pochodne funkcji f(x) = x

2

oraz g(x) = x

3

wiedz¡c, »e pochodna funkcji wyra»a

si¦ nast¦puj¡co:

f

0

(x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

.

2. Wiedz¡c, »e (sin x)

0

= cos x

, (cos x)

0

= − sin x

, (e

x

)

0

= e

x

, (x

n

)

0

= n · x

n−1

, (ln x)

0

=

1
x

oblicz pochodne funkcji:

(a) f(x) =

√

2x

,

(b) g(x) = sin x cos x,

(c) h(x) = (sin 2x)

5

,

(d) j(x) = e

7x+3

,

(e) k(x) = tg x,

(f) u(x) = sin

4

x − cos

4

x

,

(g) v(x) = x

x

.

3. Znajd¹ minimum funkcji f(x) = x

2

+ 2

oraz maksimum funkcji g(x) = 2 − x

2

. Okre±l,

dla jakich warto±ci x funkcja jest malej¡ca, a dla jakich rosn¡ca. Jaki to ma zwi¡zek z

warto±ci¡ pochodnej? Zauwa» zwi¡zek mi¦dzy drug¡ pochod¡ a wkl¦sªo±ci¡ i wypukªo±ci¡

funkcji.

4. Czy funkcja f(x) = x

3

posiada ekstremum dla x = 0? Przedyskutuj ró»nice w zachowa-

niu pierwszej i drugiej pochodnej dla funkcji g(x) = x

2

+ 2

i f(x) = x

3

. Jak odró»ni¢

ekstremum funkcji od punktu przegi¦cia?

5. Korzystaj¡c z twierdzenia de l'Hospitala:

lim

x→x

0

f (x)

g(x)

= lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

oblicz granice funkcji dla x → 0:

(a) f(x) =

sin 5x

x

,

(b) g(x) =

e

3x

−3x−1

sin

2

5x

.

6. Oblicz granic¦ lim

x→1

(

1

x−1

−

1

ln x

)

przeksztaªcaj¡c wyra»enie tak, by móc skorzysta¢ z

twierdzenia de l'Hospitala.

7. Na podstawie denicji oblicz pochodne funkcji:

(a) f(x) = cos x,

(b) g(x) = cos 3x.

Sprawd¹, czy wynik dla g(x) zgadza si¦ z obliczeniem na podstawie wzoru na pochodn¡

funkcji zªo»onej.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

8. Wyznacz przedziaªy, w których funkcja y = 1 − 24x + 15x

2

− 2x

3

jest malej¡ca.

9. Znajd¹ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji y = x

3

−3x

2

+6x+2

w przedziale [−1, 1].

10. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji

f (x) =

5x

1 + x

2

.

Zadania domowe

1. Prosz¦ wykaza¢, »e funkcja f(x) = x

5

− 5x

3

+ 25x

nie ma ekstremum.

2. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) = x +

2
x

− 2

w przedziale [1, 4].

3. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji f(x) =

x

2

+2

x+1

.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni