Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 1

Wektory

1. Dane s¡ wektory ~a = (2, 3), ~b = (−3, 2). Przedstawi¢ te wektory w kartezja«skim ukªa-

dzie wspóªrz¦dnych. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektorów: −~a, 2~b, ~a +~b oraz ~a −~b dwiema

metodami - graczn¡ oraz algebraiczn¡.

2. Dane s¡ wektory ~a = (1, 2), ~b = (−3, 2),~c = (k − 2, m + 3). Dla jakich warto±ci liczb

rzeczywistych k i m wektor ~a +~b + ~c jest wektorem zerowym?

3. W poci¡gu poruszaj¡cym si¦ z szybko±ci¡ 5 m/s toczy si¦ piªka w kierunku prostopadªym

do kierunku ruchu poci¡gu z szybko±ci¡ 2 m/s. Oblicz pr¦dko±¢ (kierunek i warto±¢) piªki

wzgl¦dem torów?

4. Obliczy¢ dªugo±ci wektorów ~a = (2, 2, −2), ~b = (3, −4, 0), a nast¦pnie znale¹¢ jednostkowe

wektory ~a

0

oraz ~b

0

takie, »e ~a

0

k ~a

, ~b

0

k ~b

.

5. Punkty A=(-1,1), B=(4,3), C=(5,5) s¡ wierzchoªkami równolegªoboku ABCD. Wyznacz

wspóªrz¦dne wierzchoªka D oraz dªugo±ci przek¡tnych tego równolegªoboku.

6. Wyznaczy¢ kosinusy k¡tów, jakie tworzy wektor ~a = (−1, 2, 3) z osiami kartezja«skiego

ukªadu wspóªrz¦dnych.

7. Dane s¡ punkty A = (0, −1, 2), B = (−2, 1, 1), C = (1, 2, 3), D = (4, 2, −1). Obliczy¢

iloczyn skalarny wektorów

−→

AB

i

−

−→

CD

oraz kosinus k¡ta mi¦dzy tymi wektorami.

8. Dane s¡ punkty A = (2, −1), B = (1 − a, 2), C = (3, 2 + a). Dla jakiej warto±ci liczby

rzeczywistej a, wektory

−→

AB

oraz

−→

AC

s¡ prostopadªe?

9. Punkty B = (−1, 3) i C = (2, 1) dziel¡ odcinek AD na trzy przystaj¡ce odcinki. Wyzna-

czy¢ wspóªrz¦dne punktów A i D.

10. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ~v, o którym wiadomo, »e jest równolegªy do pªaszczyzny

OXY

i prostopadªy do wektora ~u = (3, −4, 5), a jego dªugo±¢ jest równa dªugo±ci wektora

~

u

.

Liczby rzeczywiste i dziaªania na nich

11. Uzasadni¢, »e liczba:

3

√

9 · 27

−2

· (

1

3

√

3

)

−1

(

1

4

√

3

)

8

jest liczb¡ wymiern¡.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

12. Obliczy¢:

(a)

2
5

: 2

1
2

· 4

1
5

− 1

3

40

+ 1, 35 : 2, 7

(b) 33

1
2

:

(

2,4+1

5
7

)

·4,375

3
2

−1

−

(

2

3
4

−1

5
6

)

·21

8,15−

9

20

13. Dane s¡ liczby x i y. Obliczy¢ x + y, x − y, x · y, x

2

,

y
x

. Otrzymane wyniki przedstawi¢ w

postaci a + b

√

c

.

x = 2 −

√

2,

y = 1 + 2

√

2

14. Usun¡¢ niewymierno±¢ z mianowników uªamków:

2

√

3

,

2 +

√

3

2

√

3

,

3 − 2

√

3

2 −

√

3

,

12

√

3 −

√

2

,

4

3

√

5 − 1

15. Dla x < −2 upro±ci¢ wyra»enie: |x| + |x + 1| +

√

x

2

+ 4x + 4

.

16. Dane sa zbiory: A = (−5, 4], B = [−3, 2). Na osi liczbowej przedstawi¢ zbiory A ∪ B,

A ∩ B

, A \ B, B \ A, oraz (A ∪ B)

0

, A

0

∩ B

0

, gdzie A

0

oznacza dopeªnienie zbioru A:

A

0

= R \ A.

17. Obliczy¢:

log

1
4

64;

log

1
2

32;

log

√

2

2

4;

log

1
3

(3

3

√

3);

log

0,2

5;

log 2 + log 50;

log

6

125

log

6

5

.

18. Obliczy¢:

36

log

6

5

;

2

3+2 log

2

7

;

log

3

5 · log

25

81;

log 400 + log 20 − log 8.

19. Wykona¢ dziaªania:

a

a − b

−

b

b − a

−

a(1 − a)

b

2

− a

2

;

x

x

2

− 9

−

1

x − 3

+

x

3 + x

.

20. Wykona¢ dziaªania doprowadzaj¡c do postaci uªamka nieskracalnego:

a

2

− 16

a

2

− 5a

÷

a

2

+ 4a

a

2

− 25

;

x

4

− y

4

x

3

− y

3

÷

x

2

+ y

2

x

2

− y

2

.

21. Rozªo»y¢ wielomiany na czynniki:

(a) x

6

+ 6x

5

− x

4

− 6x

3

(b) 16x

7

− x

3

(c) x

4

− 81

(d) x

2

+ 2xy − 3x − 6y

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

22. Dla jakich warto±ci parametru k wielomian W (x) = x

5

+ 3x

4

+ 2x

3

− 5x

2

+ 3x + k

jest

podzielny przez dwumian x − 2?

23. Zbudowa¢ wielomian stopnia trzeciego, którego pierwiastkami s¡ liczby: 0, 2, −3.

24. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − 2 jest równa 4, za± reszta z

dzielenia tego samego wielomianu przez x + 3 jest równa 6. Wyznaczy¢ reszt¦ z dzielenia

wielomianu W przez (x − 2)(x + 3).

Zadania domowe

1. Dane s¡ wektory ~a = (−2, 5), ~b = (3, −2). Przedstawi¢ te wektory w kartezja«skim

ukªadzie wspóªrz¦dnych. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektorów: −~a, 2~b, ~a + 2~b oraz 3~a − ~b

dwiema metodami - graczn¡ oraz algebraiczn¡.

2. Punkty A=(1,-2), B=(3,4) s¡ wierzchoªkami równolegªoboku ABCD. Wyznacz wspóª-

rz¦dne wierzchoªków C i D oraz dªugo±ci boku oraz obu przek¡tnych tego równolegªoboku

wiedz¡c, »e przek¡tne równolegªoboku przecinaj¡ si¦ w punkcie S=(2,2).

3. Dane s¡ punkty A = (0, 1, 2), B = (2, 1, 1), C = (3, −2, 1), D = (4, 2, −1). Obliczy¢

iloczyn skalarny wektorów

−→

AB

i

−

−→

CD

oraz kosinus k¡ta mi¦dzy tymi wektorami.

4. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ~v o dªugo±ci 1, prostopadªego jednocze±nie do wektora

~

u = (1, 2, 3)

i wersora osi OY .

5. Obliczy¢

10, 25 :

"

(0, 3 − 0, 15) :

2
3

1, 88 + 2

3

25

: 80

−

3
2

:

3

100

3

1

20

− 2, 65

· 4 +

2
5

#

6. Dane s¡ liczby x i y. Obliczy¢ x + y, x − y, x · y, x

2

,

y
x

. Otrzymane wyniki przedstawi¢ w

postaci a + b

√

c

.

x = 5 − 2

√

5,

y = 2 + 5

√

5

7. Usun¡¢ niewymierno±¢ z mianowników uªamków:

1 +

√

3

2

√

3

,

1 +

√

3

2 −

√

3

,

6

√

5 −

√

3

,

2

3

√

2 − 1

8. Dane sa zbiory: A = [−3, 5), B = [−2, 3). Na osi liczbowej przedstawi¢ zbiory A ∪ B,

A ∩ B

, A \ B, B \ A, oraz (A ∪ B)

0

, A

0

∩ B

0

, gdzie A

0

oznacza dopeªnienie zbioru A:

A

0

= R \ A.

9. Obliczy¢:

log

1
2

8;

log

5

1;

log

√

2

4;

log

1
3

(9

√

3);

log 0, 1;

log 50 − log 5.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

10. Rozªo»y¢ na czynniki wielomiany:

(a) x

5

− 3x

4

− 2x

3

+ 6x

2

(b) 25x

4

− x

2

(c) x

3

− 27

(d) x

2

− 2xy + x − 2y

11. Dla jakich warto±ci parametru k wielomian W (x) = x

5

+ 3x

4

+ 2x

3

− 5x

2

+ 3x + k

jest

podzielny przez dwumian x + 1?

12. Wykona¢ dziaªania:

2

x

2

− 4

−

2 − x

x − 2

+

x(1 − x)

2 + x

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni