Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki

Odpowiedzi do zada« z zestawu nr 6

Ci¡gi

1. (a) a

1

= 0; a

2

= 2; a

3

= 6; a

4

= 12; a

5

= 20

(b) a

n

= n!; a

1

= 1; a

2

= 2; a

3

= 6; a

4

= 24; a

5

= 120

2. (a) a

n

= 3n

(b) a

n

= 5n − 4

, a nie a

n

= 5n + 1

, bo a

1

= 1

, a nie 6,

(c) a

n

= n

2

(d) a

n

= n

n

(e) a

n

= (−1)

n

(f) a

n

= (−1)

n+1

·

n

n+1

3. (a

n

)

- rosn¡cy, (b

n

)

- niemonotoniczny, (c

n

)

- rosn¡cy, (d

n

)

- malej¡cy.

4. c. arytmetyczne: (a), (b); c. geometryczne: (a), (d), (f)

5. a

5

= a

1

+ 4r = 13 ∧ a

8

= a

1

+ 7r = 25 ⇒ a

1

= −3 ∧ r = 4

a

n

= −3 + (n − 1) · 4 = 4n − 7

6. (a) Dwie metody:

(i) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) =
101 · 50 = 5050
(ii) S

100

=

a

1

+a

100

2

· 100 = 5050

(b) 100 + 105 + ... + 995 =?, a

1

= 100,

r = 5,

a

n

= 995 ⇒ n = 180,

S

180

= 98550

7. a

1

= S

1

,

dla n ≥ 2 : a

n

= S

n

− S

n−1

(a) a

1

= −2 ∧

dla n ≥ 2 : a

n

= 4n − 6 ⇒

dla n ≥ 1 : a

n

= 4n − 6 ⇒

ci¡g arytmetyczny.

(b) a

1

= −1 ∧

dla n ≥ 2 : a

n

= 4n − 6 ⇒

ci¡g nie jest arytmetyczny.

8. a

1

= 1, q = −2

lub q = 2 a

n

= 2

n−1

lub a

n

= (−2)

n−1

9. −4, x, y, 32; 2x = −4 + y ∧ y

2

= 32x ⇒ x = 2, y = 8

10. b

n+1

− b

n

= ln a

n+1

− ln a

n

= ln

a

n+1

a

n

= ln q =

const.

11. (a) 2047, (b) 1.

12.

1
9

13. x =

3
4

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

14. (a) 0;

(b) 2;

(c) +∞;

(d) c. rozbie»ny;

(e) 0;

(f) 0;

(g)

1
2

;

(h) 5;

(i) 0;

(j) 2.

15. e

6

Zadania domowe

1. (a) W pierwszym i drugim miesi¡cu »yje tylko jedna para królików, czyli a

1

= a

2

= 1

.

Ka»dy kolejny wyraz ci¡gu (liczba par królików w danym miesi¡cu) jest sum¡ dwóch

poprzednich wyrazów tego ci¡gu (a

n

= a

n−2

+ a

n−1

): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

(b) Liczbami parzystymi s¡ wyrazy ci¡gu na miejscach podzielnych przez 3: 3,6,9,... (co

trzeci wyraz jest parzysty). Liczba 528 dzieli si¦ przez 3, wi¦c 528-y wyraz ci¡gu

Fibonacciego jest liczb¡ parzyst¡.

2. (a, aq, aq

2

)

- szukane liczby stanowi¡ce kolejne wyrazy c. geometrycznego

(a, aq + 8, aq

2

)

- c. arytmetyczny

(a, aq + 8, aq

2

+ 64)

- c. geometryczny

a

1

= 4,

q = 3

lub a

1

=

4
9

,

q = −5

(4, 12, 36)

lub

4
9

, −

20

9

,

100

9

3. a

n

- c. rosn¡cy; b

n

- c. malej¡cy; c

n

- c. niemonotoniczny.

4. a

n

- c. arytmetyczny; b

n

- c. geometryczny;

c

n

- c. nie jest geometryczny i nie jest arytmetyczny.

5.

1
3

;

4

33

;

1;

37
30

.

6. (a) x = 2 lub x = 3; (b) x = −2 lub x = −1 lub x = 1 lub x = 2.

7. n = 21

8. (a) 123300, (b) 3/4.

9. (a) +∞;

(b)

1
3

;

(c)

1
2

;

(d) 0;

(e) −1;

(f) 1;

(g) 4.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI

Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni