1

ZMIENNA LOSOWA

Wielkość, która w wyniku doświadczenia przyjmuje określoną wartość dopiero po zrealizowaniu
doświadczenia, a nie dająca się przewidzieć przed jego realizacją.

Definicja:
Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przybiera jedną i tylko jedną
wartość ze zbioru tych wszystkich wartości, jakie ta zmienna może przyjąć.

Oznaczanie zmiennych losowych:
- na ogół końcowymi literami alfabetu, np. X, Y, ...

Wartości zmiennej losowej
Wartości zmiennej losowej (realizacja), oznaczamy małymi literami, np. x, y, ...

Przykład 1.
Rzucamy jeden raz monetą. W wyniku realizacji doświadczenia, można otrzymać dwa zdarzenia:

E

1

– wyrzucenie orła,

E

2

– wyrzucenie reszki.

Przyporządkujemy zdarzeniu E

1

wartość 0, a zdarzeniu E

2

wartość 1. Liczby 0 i 1 są realizacjami

zmiennej losowej X, określonej na zbiorze zdarzeń E

1

i E

2

.

Z wartościami zmiennej losowej związane są określone prawdopodobieństwa, tak więc zmienna losowa
przybiera różne wartości z różnym prawdopodobieństwem:

P(X=x

i

)=p

i

przy czym

1

1

=

∑

=

n

i

i

p

Rodzaje zmiennych losowych:

zmienne skokowe (dyskretne),

zmienne ciągłe.

Zmiennymi losowymi skokowymi (dyskretnymi) nazywamy takie zmienne losowe, które mają
skończony lub przeliczalny zbiór wartości.
przykłady:

liczby urodzeń w Polsce,

ocena uzyskiwana przez studentów na egzaminie z wybranego przedmiotu.

Zmiennymi losowymi ciągłymi nazywamy takie zmienne losowe, które mogą przybierać dowolne
wartości liczbowe z pewnego przedziału liczbowego.
przykłady:

wzrost, waga, wiek człowieka,

wytrzymałość belki na zginanie,

opór przewodu elektrycznego.

2

Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)

Definicja: Mówimy, że zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona
tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości

{

}

n

x

x

x

,

,

,

2

1

K

(tzw. punkty skokowe), tak, że dla

każdego

n

i

,

,

1 K

=

0

)

(

>

=

=

i

i

p

x

X

P

,

gdzie

1

1

=

∑

=

n

i

i

p

Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość

i

x

z prawdopodobieństwem

i

p

.

Funkcją

rozkładu

prawdopodobieństwa

(funkcją

prawdopodobieństwa,

rozkładem

prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem:

)

(

)

(

i

i

x

X

P

x

p

=

=

.

Funkcję prawdopodobieństwa p określoną na wartości

i

x

oznaczamy przez

i

p

, czyli

)

(

i

i

x

p

p

=

.

Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tablicowa:

i

x

1

x

2

x

K

n

x

i

p

1

p

2

p

K

n

p

Przykład 2.
Poniżej przedstawiony jest wykres rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X z przykładowej
tablicy:

i

x

-3 0 1

2

i

p

4

1

2

1

6

1

12

1

Wykresem rozkładu prawdopodobieństwa jest zatem zbiór punktów

)

,

(

i

i

p

x

.

Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X

jest funkcja F określona wzorem

∑

<

<

∞

−

=

<

=

x

i

x

i

p

x

X

P

x

F

)

(

)

(

,

gdzie sumowanie odbywa się po tych

i

x

, które spełniają nierówności

x

x

i

<

<

∞

−

.

UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną
dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.

Przykład 3.
W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10zł,
na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1zł, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy
2zł(wygrywamy – 2zł). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne.
Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.

-3

1 2

4

1

x

3

Przestrzeń zdarzeń elementarnych E={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję

R

A

E

X

⊂

→

:

X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną, gdzie A={-2,1,10}.
Zauważmy, że:
X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.

Określmy

rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

P(X=10)=p

1

=

10

1

P(X=1)= p

2

+ p

3

=

10

2

P(X=-2)= p

4

+ p

5

+ p

6

+ p

7

+ p

8

+ p

9

+ p

10

=

10

7

Zapis tablicowy:
wartość zmiennej losowej w zł

-2

1

10

prawdopodobieństwo

0,7

0,2

0,1

Wyznaczmy

dystrybuantę zmiennej losowej:

Dla x

≤

-2

F(x)=P(X<x)=

∑

<

x

x

i

i

p

=0

Dla –2<x

≤

1 F(x)=

∑

<

x

x

i

i

p

=p

1

=0,7

Dla 1<x

≤

10 F(x)=

∑

<

x

x

i

i

p

=p

1

+ p

2

=0,7+0,2=0,9

Dla x>10

F(x)=

∑

<

x

x

i

i

p

=p

1

+ p

2

+ p

3

=0,7+0,2+0,1=1

Tak więc

10

10

1

1

2

2

1

9

,

0

7

,

0

0

)

(

>

≤

<

≤

<

−

−

≤













=

x

x

x

x

dla

dla

dla

dla

x

F

Przykład 4.
Do tarczy oddaje się w sposób ciągły niezależny 3 strzały. Prawdopodobieństwo trafienia wynosi ½
(trafi lub chybi). Niech zmienna losowa X oznacza liczbę trafień w tarczę.
Zbiór zdarzeń tego doświadczenia jest następujący:

{NNN, NNT, NTN, TNN, NTT, TNT, TTN, TTT}

Zmienna losowa przyjmuje więc wartości :

x

1

=0, x

2

=1, x

3

=2, x

4

=3

Obliczamy rozkład prawdopodobieństwa:

P(X=0)=p

1

=1/8

P(X=1)=p

1

=3/8

P(X=2)=p

1

=3/8

P(X=3)=p

1

=1/8

x

i

0

1

2

3

p

i

1/8

3/8

3/8

1/8

4

Obliczamy dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X :





















>

≤

<

+

+

+

≤

<

+

≤

<

≤

=

−

−

n

n

n

n

x

x

dla

x

x

x

dla

p

p

p

x

x

x

dla

p

p

x

x

x

dla

p

x

x

dla

x

F

1

0

)

(

1

1

2

1

3

2

2

1

2

1

1

1

K

M

czyli dla przykładu:





























>

=

+

+

+

≤

<

=

+

+

≤

<

=

+

≤

<

≤

=

)

4

(

3

1

8

1

8

3

8

3

8

1

)

3

(

3

2

8

7

8

3

8

3

8

1

)

2

(

2

1

8

4

8

3

8

1

)

1

(

1

0

8

1

)

0

(

0

0

)

(

F

x

dla

F

x

dla

F

x

dla

F

x

dla

F

x

dla

x

F

Przykład 5.
Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

i

x

0 1 3 6

i

p

3

1

6

1

3

1

6

1

Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób (korzystamy z własności dystrybuanty –
przede wszystkim z lewostronnej ciągłości)

dla

0

≤

x

( ) (

)

0

=

=

<

=

∑

<

x

x

i

i

p

x

X

P

x

F

dla

1

0

≤

<

x

( )

3

1

1

=

=

=

∑

<

p

p

x

F

x

x

i

i

dla

3

1

≤

<

x

( )

2

1

6

1

3

1

2

1

=

+

=

+

=

=

∑

<

p

p

p

x

F

x

x

i

i

dla

6

3

≤

<

x

( )

6

5

3

1

6

1

3

1

3

2

1

=

+

+

=

+

+

=

=

∑

<

p

p

p

p

x

F

x

x

i

i

dla

6

>

x

( )

1

6

1

3

1

6

1

3

1

4

3

2

1

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

∑

<

p

p

p

p

p

x

F

x

x

i

i

Zatem możemy teraz zapisać dystrybuantę w uproszczony sposób:

5

( )

























>

≤

<

≤

<

≤

<

≤

=

6

,

1

6

3

,

6

5

3

1

,

2

1

1

0

,

3

1

0

,

0

x

x

x

x

x

x

F

lub za pomocą tablicy:

x

(

]

0

,

∞

−

(

]

1

,

0

(

]

3

,

1

(

]

6

,

3

(

)

+∞

,

6

F

0

3

1

2

1

6

5

1

Problem ten możemy teraz odwrócić, tzn. mamy zadaną dystrybuantę zmiennej losowej X określoną
przy pomocy powyższej tabelki. Szukamy rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.
Zauważamy, że punktami skokowymi są punkty 0, 1, 3, i 6 (jako punkty nieciągłości dystrybuanty),
których prawdopodobieństwa wyznaczamy za pomocą następujących zależności

(

)

( ) ( )

3

1

0

3

1

0

lim

0

0

1

=

−

=

−

=

=

=

+

→

F

x

F

X

P

p

x

(

)

( ) ( )

6

1

3

1

2

1

1

lim

1

1

2

=

−

=

−

=

=

=

+

→

F

x

F

X

P

p

x

(

)

( ) ( )

3

1

2

1

6

5

3

lim

3

3

3

=

−

=

−

=

=

=

+

→

F

x

F

X

P

p

x

(

)

( ) ( )

6

1

6

5

1

6

lim

6

6

4

=

−

=

−

=

=

=

+

→

F

x

F

X

P

p

x

Stąd rozkład prawdopodobieństwa przedstawia się jak w tablicy na początku tego przykładu.

Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej

Przyjmijmy, że wektor losowy X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru

{

}

n

x

x

x

,

,

,

2

1

K

, zaś

jego funkcją rozkładu prawdopodobieństwa jest p.

Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej
losowej skokowej X nazywamy liczbę

∑

=

+

+

=

=

n

i

n

n

i

i

p

x

p

x

p

x

EX

1

1

1

K

.

Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.

Własności wartości oczekiwanej:
1.

( )

c

c

E

=

2.

( )

aEX

aX

E

=

3.

b

EX

b

X

E

+

=

+

)

(

4.

(

)

EY

EX

Y

X

E

+

=

+

5.

(

)

0

=

−

EX

X

E

(

)

bEY

aEX

bY

aX

E

+

=

+

.

6

Przykład 6.
Zmienna losowa X ma zadany rozkład:

i

x

-5

-1

0

3

i

p

0,2 0,1 0,45 0,25

Policzmy wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej:

( )

35

,

0

75

,

0

1

,

0

1

25

,

0

3

45

,

0

0

1

,

0

1

2

,

0

5

1

−

=

+

−

−

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

+

⋅

−

=

=

∑

=

n

i

i

i

p

x

EX

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi –0,35.

Przykład 7.
Czasem dwie różne zmienne losowe mogą mieć takie same wartości oczekiwane, np. dla zmiennych
losowych X i Y o rozkładach prawdopodobieństwa:

i

x

2

6

i

p

2

1

2

1

i

y

-21 3 30

i

p

3

1

3

1

3

1

W obu przypadkach wartości oczekiwane wynoszą 4 (

4

=

EX

,

4

=

EY

).

Jednak zmienna losowa X ma znacznie mniejszy rozrzut wartości (6-2=4) od zmiennej losowej Y (30-(-
21)=51). W celu dokładniejszego opisania zmiennej losowej wprowadza się nowy charakteryzujący ją
parametr – jest to wariancja.

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej losowej
X od jej wartości oczekiwanej

EX

, tzn.

(

)

2

2

EX

X

E

X

D

−

=

.

inaczej

(

)

(

)

(

)

n

n

n

i

i

i

p

EX

x

p

EX

x

p

EX

x

X

D

2

1

2

1

1

2

2

−

+

+

−

=

−

=

∑

=

K

.

Czasem wariancję zmiennej losowej X oznacza się przez

VarX

. Wariancja jest to więc miara rozrzutu

zmiennej losowej X.

Własności wariancji:

1.

( )

0

2

=

c

D

2.

( )

X

D

a

aX

D

2

2

2

=

3.

(

)

X

D

b

X

D

2

2

=

+

4.

(

)

Y

D

X

D

Y

X

D

2

2

2

+

=

+

5.

( )

( )

2

2

2

EX

X

E

X

D

−

=

Wygodniej jest obliczać wariancję na podstawie własności 5) wariancji zmiennej losowej.

Odchyleniem standardowym zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę:

X

D

DX

2

=

(

X

D

2

=

σ

).

7

Przykład 8.
Policzmy wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa:

i

x

-5

-1

0

3

i

p

0,2 0,1 0,45 0,25

W tym celu musimy najpierw obliczyć

( )

2

X

E

. Zapiszmy rozkład prawdopodobieństwa nowej zmiennej

losowej

2

X

2

i

x

0

1

9

25

i

p

0,45 0,1 0,25 0,2

Wówczas

( )

35

,

7

5

25

,

2

1

,

0

2

,

0

25

25

,

0

9

1

,

0

1

45

,

0

0

2

=

+

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

X

E

35

,

0

−

=

EX

możemy obliczyć wariancję

( )

( )

(

)

7,23

12

,

0

35

,

7

35

,

0

35

,

7

2

2

2

2

=

−

=

−

−

=

−

=

EX

X

E

X

D

Wariancja zmiennej losowej X jest zatem równa 7,23. Stąd odchylenie standardowe wynosi

68

,

2

23

,

7

2

=

=

=

X

D

DX

.