Zmienna losowa

dyskretna

Rozkład dwumianowy i rozkład Poissona

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Założenia:
1. Każda próba jest niezależna od innych.
2. Każda próba może mieć tylko dwa wyniki: „sukces” i

„porażkę” (binarne!).
3. Prawdopodobieństwo „sukcesu” wynosi p i jest

wartością stałą.

Pytamy o prawdopodobieństwo P(k)
zdarzenia, że zmienna losowa X będzie
równa ilości otrzymanych k-sukcesów
przy n próbach.

Pr(X=

k)

Zadanie 1.

Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne:
a) wyrzucenie dokładnie 3 orłów w 4 rzutach,
b) wyrzucenie dokładnie 5 orłów w 8 rzutach?

Zadanie 2

•Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 5 nasion

wybranych z dużej partii nasion o sile kiełkowania 75%

co najmniej 4 nasiona skiełkują.

Rozkład Poissona

•Rozkład Poissona jest rozkładem dyskretnym

(skokowym), który wyraża prawdopodobieństwo zdarzeń

następujących po sobie z daną częstotliwością λ (ilość

zdarzeń na jednostkę czasową) w danym czasie.

Zdarzenia zachodzą niezależnie, tzn. że czas

następnego zdarzenia nie zależy od tego kiedy

wystąpiło poprzednie zdarzenie.

Podstawowe własności rozkładu

Poissona

•λ>0- skoro lambda opisuje intensywność to musi być liczbą

dodatnią

•k=0,1,2,…k=0,1,2,… - ilość zdarzeń nie może być ujemna i

do tego musi być liczbą całkowitą

•Wartość oczekiwana EX=λEX=λ
•Wariancja VarX=λ
•Dominanta( Moda ) jest równa największej liczbie całkowitej

mniejszej od λ, np. dla λ=3.4 dominanta wynosi 3

Zadanie 3

•Rozkład liczby dni nieobecności studentów na zajęciach

z SMR w semestrze jest rozkładem Poissona ze średnią

równą 2,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że student

będzie nieobecny w ciągu semestru:

a) mniej niż 2 razy
b) więcej niż 4 razy

Zadanie 4

Średnią liczbę wypadków na drogach w woj. warmińsko-

mazurskim w ciągu miesiąca można opisać rozkładem

Poissona z intensywnością λ=3.4. Obliczyć:
•prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca zajdą 2

zdarzenia
•prawdopodobieństwo, że w ciągu roku zajdą 24

zdarzenia
•prawdopodobieństwo, że ilość zdarzeń w ciągu miesiąca

wyniesie mniej niż 3