Ruch rotacyjny
Ruch rotacyjny
Kinematyka ruchu obrotowego
Kinematyka ruchu obrotowego
PrzesuniÄ™cie kÄ…towe "¸ = ¸f - ¸i
(w radianach) w czasie "t = tf - ti
tf
Średnia prędkość kątowa
¸f - ¸i "¸
ÉÅ›r = =
tf - ti "t
ti
Chwilowa prędkość kątowa
"¸ d ¸
É = lim =
"t dt
"t 0
Jednostki prędkości kątowej
rad/s
Éf - Éi "É
Åšrednie przyspieszenie kÄ…towe
ąśr = =
tf - ti "t
Chwilowe przyspieszenie kÄ…towe
"É d É
Ä… = lim =
"t dt
"t 0
Jednostki przyspieszenia kÄ…towego rad/s2
Kinematyczne równania ruchu obrotowego
Kinematyczne równania ruchu obrotowego
ze stałym przyspieszeniem kątowym
ze stałym przyspieszeniem kątowym
Ruch obrotowy Ruch translacyjny
É = É0 + Ä…(t - t ) v = v + a(t - t )
0 0 0
1 1
¸ = ¸0 + É0(t - t ) + Ä…(t - t )2 x = x +v (t - t ) + a(t - t )2
0 0 0 0 0 0
2 2
2 2
É2 = É2 + 2Ä…(¸ - ¸0) v = v + 2a(x - x )
0 0 0
Związek między wielkościami kątowymi i
Związek między wielkościami kątowymi i
liniowymi
liniowymi
s
Przesunięcia
¸ =
r
y vS
s = r ¸
ds d ¸
v = = r
s
Prędkości
dt dt
r s
v = r É
s
dv d É
s
¸ Przyspieszenia
as = = r
dt dt
x
as = r Ä…
Gdy ciało doznaje ruchu obrotowego to
Każdy punkt ma taką samą prędkość kątową i
przyspieszenie kÄ…towe
Punkty mają różne prędkości liniowe i przyspieszenia
liniowe
Przyspieszenie dośrodkowe
Przyspieszenie dośrodkowe
Ciało w ruchu obrotowym, nawet przy
stałej prędkości, doznaje przyspieszenia
Przyspieszenie dośrodkowe jest
spowodowane zmianÄ… kierunku
prędkości
"vR
aR = lim
"t
"t 0
x = r cos ¸ x = r cos Ét
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚y = r sin ¸ òÅ‚y = r sin Ét
ół ół
Å„Å‚ax = -r É2 cos Ét
v = -r Ésin Ét
Å„Å‚ ôÅ‚
x
òÅ‚v = r Écos Ét òÅ‚
"vR
y
ół ôÅ‚
ółay = -r É2 sin Ét
aR = r É2 aR = -É2r
y
Całkowite przyspieszenie
Całkowite przyspieszenie
as
2 2
a = as + aR
aR
x
Siła dośrodkowa
Siła dośrodkowa
Druga zasada dynamiki Newtona -
przyspieszenie dośrodkowe jest
spowodowane działaniem siły
FR = maR
FR oznacza jakąkolwiek siłę
utrzymującą ciało w ruchu
krzywoliniowym
Siła grawitacji
Siła tarcia
Naprężenie sznurka
Prawo powszechnej grawitacji
Prawo powszechnej grawitacji
Każde dwa ciała przyciągają się poprzez siłę grawitacji,
która jest proporcjonalna do iloczynu ich mas i
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości
m1m2
2
F = G G = 6.67 ×10-11 Nm2 kg
2
r
Doświadczenie Cavendisha
(1798) Ò! staÅ‚a grawitacyjna G
2
m0mz gRz
m0g = G Ò! mz =
2
G
Rz
3
rkz É2
mk mz
mk rkz É2 = G Ò! mz =
2
G
rkz
n sin ¸
n n cos ¸
f cos ¸
f
f
mg
2
2
mv
üÅ‚
s
v
s
FR = n sin ¸ + f cos ¸ =
ôÅ‚
FR = mr É2 = m
r
żł
r
mg = n cos ¸
ôÅ‚ üÅ‚
f = µs mg
þÅ‚
żł
f = µs n
þÅ‚
Ó!
Ó!
v = µs gr
s
v = gr µs + gr tg ¸
s
Wektorowa natura wielkości kątowych
Wektorowa natura wielkości kątowych
PrÄ™dkość kÄ…towa É jest wektorem
Przyspieszenie kÄ…towe Ä… jest wektorem
Moment siły
Moment siły
Fs = mas as = r ą Fs = F sin Ć
F
F sin Ć = mr ą
2
y Ć
Fr sin Ć = mr ą
FR
FS
m
Ä = I Ä…
r
Moment
Moment siły
bezwładności
O x
Ä = r × F
Moment siły w ruchu rotacyjnym jest odpowiednikiem siły
w ruchu translacyjnym
Jednostki momentu siły
N m (SI)
dyna cm (CGS)
Åšrodek masy
Åšrodek masy
am1g = bm2g
y x2
m1(x - x1) = m2(x - x )
2
śm śm
xśm
m1x1 + m2x
2
x1
a b
x =
śm
m1 + m2
x
m1g m2g 1
rśm =
"m ri
i
M
i
d rśm
1
=
i
"m d ri
dt M dt
i M vśm =
i
"p
M aśm =
i
"d pi = "F
dt
i
i i
Wypadkowa siła zewnętrzna działająca na ciało powoduje
takie jego przyspieszenie jakby cała masa M była
skoncentrowana w środku masy tego ciała
Moment bezwładności
Moment bezwładności
m4
m1
m
I =
i
"m ri2
m3
m2
r
i
4
2 2
2
I = r
i
"m = Mr
I = mr
i =1
2
ri
I =
"mi
i
"r "mi
i
Ó!
2
I =
+"r dm
R
2
I = I + MR
śm
2
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
I = ML2 + M L
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
= ML2 + ML2
12 4
1
= ML2
3
p
Moment pędu
Moment pędu
y Ć
pS
Druga zasada dynamiki Newtona
m
d p
r
F =
d p d
dt
r × F = r × = (r × p)
dt dt
O x
d d r d p
üÅ‚
(r × p) = × p + r ×
ôÅ‚
dt dt dt moment siły
Ä = r × F
ôÅ‚
żł
d p moment pędu
L = r × p
= v
1× + r × dt ôÅ‚
2p
3
ôÅ‚
þÅ‚
0
Druga zasada dynamiki
L = rp sin Ć = rps = rmv
s
Newtona dla ruchu obrotowego
2
= mr É = IÉ
d L
Ä =
L = I É dt
 Jazda rowerem
Jazda na wprost Skręt w lewo
Widok z przodu Widok z góry
Ä
L
"L
L0 r
L0
Q
"L = Ä"t
Ä = r × Q
Moment siły i przyspieszenie kątowe
Moment siły i przyspieszenie kątowe
d É
Ä = I = I Ä…
L = I É
dt
Gdy ciało sztywne poddane jest działaniu niezerowemu
momentowi siły to doznaje ono przyspieszenia kątowego
Przyspieszenie kÄ…towe jest wprost proporcjonalne do
wypadkowego momentu siły
Prawo zachowania momentu pędu
Prawo zachowania momentu pędu
Gdy wypadkowy zewnętrzny moment siły jest
d L
zerowy
Ä =
d L
= 0
dt
dt
moment pędu jest zachowany (Lf=Li)
Praca w ruchu obrotowym
Praca w ruchu obrotowym
F
y Ć
dW = F Å"d s = Fsds
FR
FS
Fs = F sin Ć
d s
r d ¸
ds = r d ¸
¸
dW¸ = Fr sin
x
1 4Ć ¸ = Äd ¸ O
423d
Ä
Przy obrocie o kÄ…t ¸f - ¸i
¸f
W¸ =
+"Äd ¸
¸i
Rotacyjna energia kinetyczna
Rotacyjna energia kinetyczna
Ä = I Ä…
d É
¸f ¸f
Ä… =
dt
W¸ =
+"Äd ¸ = +"I Ä…d ¸
d ¸
¸i ¸i
É = Ò! d ¸ = Édt
dt
¸f Éf
d É 1 1
2 2
W¸ = I Édt = I Éd É = I Éf - I Éi
+" +"
dt 2 2
¸i Éi
Wykonana praca jest równa zmianie energii kinetycznej
1 1
2 2
1
("E )rot = I Éf - I Éi
k
(E )rot = I É2
k
2 2
2
Cylinder o momencie bezwładności I1 rotuje z prędkością
kÄ…towÄ… É0 wokół pionowej osi. Drugi cylinder o momencie
bezwładności I2 (początkowo nieruchomy) spada na pierwszy
cylinder. Powierzchnie cylindrów są chropawe i ostatecznie
osiÄ…gajÄ… tÄ™ samÄ… prÄ™dkość kÄ…towÄ… É.
Obliczyć prÄ™dkość kÄ…towÄ… É? Pokazać, iż tracona jest energia
kinetyczna i obliczyć stosunek energii kinetycznej końcowej do
poczÄ…tkowej.
Li = I1É0 Lf = (I1 + I )É
2
I1
É = É0
I1 + I
2
1
E = I1É2
i
0
2
I1 1 I1
Ef = I1É2 = E
i
0
I1 + I 2 I1 + I
2 2