Matematyka Dyskretna  ćw. 7
Dyskretna teoria prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo warunkowe,
niezależność zdarzeÅ„, prawdopodobieÅ„stwo na nieskoÅ„czonym ©
Definicja klasyczna prawdopodobieństwa:
Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne w są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia
zdarzenia losowego A możemy liczyć ze wzoru:
Wybrane własności prawdopodobieństwa:
·ð
·ð
·ð
Zliczanie zdarzeń jednakowo prawdopodobnych:
Czy sÄ…
powtórzenia?
Nie Tak
Czy liczy siÄ™ Wariacje z
kolejność? powtórzeniami
Nie Tak
Kombinacje Wariacje bez
bez powtórzeń powtórzeń
Zad. 1. W pudełku znajdują się trzy kule białe i osiem kul czarnych. Losowo wyciągamy dwie
kule bez zwracania (ze zwracaniem). Znajdz
prawdopodobieństwo tego, że:
(a) obie kule są białe
(b) obie sÄ… czarne
(c) jedna z nich jest czarna, a druga biała
Zad. 2. Ze zbioru liczb {1, 2, 5, 6, 7, 9} losujemy trzy różne cyfry i tworzymy z nich liczbę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę nieparzystą?
Zad. 3. Pewien program losuje milion razy liczbę całkowitą z przedziału [1, 1000000]. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej raz jedynkę?
Matematyka dyskretna  dr Marcin Raniszewski
Niech X bÄ™dzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina M podzbiorów X stanowi Ã-ciaÅ‚o jeÅ›li:
·ð ,
·ð ,
·ð .
Definicja prawdopodobieÅ„stwa dla nieskoÅ„czonej przestrzeni zdarzeÅ„ ©:
Niech bÄ™dzie Ã-ciaÅ‚em na ©. PrawdopodobieÅ„stwem nazywamy funkcjÄ™ speÅ‚niajÄ…cÄ… nastÄ™pujÄ…ce
warunki:
·ð
·ð ,
·ð jeÅ›li jest dowolnym ciÄ…giem podzbiorów M parami rozÅ‚Ä…cznych, to .
Najczęściej będziemy przyjmować (zbiór wszystkich podzbiorów ).
Zad. 4. Rzucamy symetryczną kostką aż do otrzymania szóstki:
(a) jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej trzy razy?
(b) jakie jest prawdopodobieństwo, że zakończymy parzystym rzutem?
Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:
Zad. 5. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami, białą i szarą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że liczba oczek na szarej kostce jest 5 pod warunkiem, że:
(a) suma wartości na obu kostkach jest równa 9?
(b) iloczyn wartości na obu kostkach jest 20?
Zad. 6. Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na
żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?
Zdarzenia i nazywamy niezależnymi jeśli: . Warunek ten możemy zapisać równoważnie
jako: .
Zad. 7. Rzucamy cztery razy symetrycznÄ… monetÄ…. Niech oznacza zdarzenie:
 w pierwszych dwóch rzutach dokładnie raz wypadł orzeł , oznacza:  w czterech rzutach
orzeł wypadł dokładnie dwa razy . Czy zdarzenia i są niezależne? Odpowiedz
uzasadnij.
Zad. 8. Dane są dwa niezależne zdarzenia i o prawdopodobieństwach
i . Znajdz
:
(a)
(b)
(c)
Matematyka dyskretna  dr Marcin Raniszewski