Matematyka Dyskretna  ćw. 4
Kombinatoryka
Kombinacja bez powtórzeń i z powtórzeniami, zadania różne
Kombinacja bez powtórzeń:
Niech dany będzie zbiór złożony z n różnych elementów. k-elementową ( ) kombinacją bez
powtórzeń ze zbioru nazywamy każdy k-elementowy podzbiór utworzony z elementów zbioru . Skoro
podzbiór, to elementy nie mogą się powtarzać. Symbol: .
Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru wyraża się wzorem:
Zachodzi:
·ð , gdyż symbol Newtona
·ð (zbiór pusty)
·ð (caÅ‚y zbiór)
·ð
Kombinacja z powtórzeniami:
Niech dany będzie zbiór złożony z n różnych elementów. k-elementową kombinacją z powtórzeniami ze
zbioru nazywamy każdy k-elementowy wielozbiór utworzony z elementów zbioru . Skoro wielozbiór, to
elementy mogą się powtarzać. Symbol: .
Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru wyraża się wzorem:
Zad. 1. Ile zostanie rozegranych meczów w turnieju szachowym dziesięciu zawodników gdzie
każdy grał z każdym dokładnie jeden raz?
Zad. 2. Ile zespołów liczy liga jeżeli w sezonie letnim rozegrano 120 meczów (każdy grał z
każdym dokładnie jeden raz)?
Zad. 3. Ile jest możliwych skreśleń sześciu liczb w Lotto?
Zad. 4. Na ile sposobów można pomalować czterema kolorami sześć nierozróżnialnych
przedmiotów?
Matematyka dyskretna  dr Marcin Raniszewski, dr inż. Witold Staszewski
Czy liczy siÄ™
kolejność?
Nie Tak
Kombinacje Wariacje
Czy sÄ… Czy sÄ…
powtórzenia? powtórzenia?
Nie Tak Nie Tak
Kombinacje Kombinacje Wariacje Wariacje
bez powtórzeń z powtórzeniami bez powtórzeń z powtórzeniami
Zad. 5. Ile jest rezultatów rzutu:
(a) trzema nierozróżnialnymi kostkami?
(b) trzema rozróżnialnymi kostkami?
Zad. 6. Pewna grupa studencka składa się z 10 mężczyzn i 6 kobiet. Na ile sposobów można
ich wpisać na numerowaną listę tak aby:
(a) lista zwierała tylko siedem osób?
(b) lista zawierała trzech mężczyzn i cztery kobiety?
(c) lista zawierała cztery kobiety lub siedmiu mężczyzn?
(d) lista zawierała dwóch mężczyzn i cztery kobiety lub trzech mężczyzn i trzy kobiety?
Zad. 7. Ile jest rezultatów rzutu:
(a) pięcioma nierozróżnialnymi monetami?
(b) pięcioma rozróżnialnymi monetami?
Zad. 8. Znajdz
liczbę układów kart w pokerze następujących rodzajów:
(a) poker (strit w kolorze)
(b) kareta (cztery karty o tej samej wartości)
(c) kolor (pięć kart w tym samym kolorze, ale nie poker)
(d) trójka (dokładnie trzy karty o tej samej wartości, reszta kart o innych wartościach)
(e) para (dokładnie dwie karty o tej samej wartości, reszta kart o innych wartościach)
Matematyka dyskretna  dr Marcin Raniszewski, dr inż. Witold Staszewski