Grupa

Imię

Nazwisko

Liczba punktów

METODY NUMERYCZNE – poprawa 25.03.2011

1. Zapisz równanie różniczkowe

4 ¨y yx=0

z warunkami początkowymi

{

y

1=1

˙y1=2

w postaci

układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.

2. Metoda Gaussa-Jordana rozwiązywania układów równań liniowych jest metodą:

a) dokładną

b) przybliżoną

c) jednokrokową

d) drugiego rzędu

3. Przedstaw graficznie metodę prostokątów całkowania numerycznego na przykładzie funkcji

f

 x=∣x∣

w

przedziale

〈

−2,2

〉

z krokiem

h

=1

. Opisz elementy rysunku.

4. Zilustruj twierdzenie Bolzano. Pamiętaj o konieczych oznaczeniach.

5. Przekształć wyrażenie y=x-sin(x) tak aby uniknąć problemu kasowania dla małych x.

6. Czego dotyczy określenie “kwadratury Newtona-Cotesa”?

a) kwadratowej metody poszukiwania pierwiastków równania nieliniowego,
b) całkowania numerycznego,
c) rozwiązywania układów równań liniowych metodami o kwadratowej zbieżności,
d) różniczkowania numerycznego.

7. Pewna stacja meteorologiczna prowadzi pomiary temperatury od stycznia 2000 roku. Pomiary dokonywane są

raz w tygodniu. Grupa biologów zwróciła się z zapytaniem jak kształtowała się temperatura w 1999 roku w
grudniu. Jakie zadanie z metod numerycznych należy rozwiązać, aby udzielić odpowiedzi na to pytanie?

8. W metodzie Newtona rozwiązywania równań nieliniowych potrzebny jest punkt startowy. Jak sprawdzić, który

z krańców przedziału jest tym punktem?

9. Zbieżny proces iteracji ma cechę samopoprawności. Wyjaśnij co to oznacza?

10. W pewnej kwadratowej macierzy A element a

11

= 0. Co należy zrobić aby możliwe stało się użycie metody

eliminacji Gaussa do rozwiązania układu Ax=b.

11. Podaj przynajmniej jeden z wystarczających warunków zbieżności procesu w metodzie iteracji prostej. Objaśnij

zastosowane symbole.

12. Podaj dwie dowolne własności krzywej Beziera.

13. Określ rząd macierzy A. Zapisz obliczenia.

A

=



1 1 2
2 1 4
3 0 6



14. Dla funkcji na wykresie dorysuj kolejne kroki algorytmu siecznych i określ czy algorytm jest zbieżny. Pamiętaj

o koniecznych oznaczeniach.