FUNKCJE UWIKŁANE

Niech

R

R



2

:

F

Rozważamy równanie

 

0

,



y

x

F

.

Definicja

Jeśli istnieje funkcja

 

x

f

y



, spełniająca w każdym punkcie

R



 X

x

warunek





0

)

(

,



x

f

x

F

, to nazywamy ją

funkcją uwikłaną

określoną w zbiorze X równaniem

 

0

,



y

x

F

.

Przykład

Rozważmy równanie

0

1

2

2





 y

x

.

1

1

x

y

y = y

1

Istnieją funkcje uwikłane spełniające to równanie:

2

1

1 x

y





dla

 

1

,

1





x

lub

2

2

1 x

y







dla

 

1

,

1





x

.

Istnieje nieskończenie wiele funkcji uwikłanych spełniających powyższe równanie, na
przykład funkcja

3

y

y



.

1

1

x

y

y = y

3

Uwaga

Będziemy rozważać tylko ciągłe funkcje uwikłane.

1

Rozważamy problem istnienia funkcji uwikłanej.
Np. równanie

0

1

2

2





 y

x

nie określa żadnej funkcji uwikłanej,

natomiast równanie

0

2



 x

y

określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną.

Twierdzenie

(

o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej

)

Z:

 













0

,

0

,

,

:

Top

0

0

0

0

0

0

0

1

2



















y

x

y

F

y

x

F

U

y

x

P

U

C

F

U

F

U

R

R

T: !

 ciągła funkcja uwikłana

 

x

f

y



określona w pewnym przedziale













0

0

, x

x

za pomocą równania

 

0

,



y

x

F

i spełniająca warunek

 

0

0

y

x

f



(czyli funkcja uwikłana przechodząca przez wybrany punkt P

0

).

Wniosek

Jeśli spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej, to

 

x

f '



w pewnym otoczeniu punktu x

0

i

 









)

(

,

)

(

,

'

x

f

x

y

F

x

f

x

x

F

x

f













lub krótko:

 
 

y

x

y

F

y

x

x

F

y

,

,

'













.

Dowód

(szkic)

Rozważmy równanie

 

0

,



y

x

F

. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji

uwikłanej wiemy, że  funkcja uwikłana

)

(x

f

y



taka, że





















0

0

,

dla

0

)

(

,

x

x

x

x

f

x

F

.

Równanie różniczkujemy stronami i wyznaczamy pochodną funkcji f.















)

(

,

)

(

,

)

(

'

0

,

dla

0

)

(

'

0

0

1

x

f

x

y

F

x

f

x

x

F

x

f

y

F

x

x

x

x

f

y

F

x

x

x

F



















































ڤ

2

Uwaga

Korzystając z powyższego wniosku możemy wyznaczyć ekstrema funkcji bez rozwikłania tej
funkcji.

Twierdzenie

(

o drugiej pochodnej funkcji uwikłanej

)

Z:

 













0

,

0

,

,

:

Top

0

0

0

0

0

0

0

2

2



















y

x

y

F

y

x

F

U

y

x

P

U

C

F

U

F

U

R

R

T: Funkcja ciągła

 

x

f

y



określona w przedziale













0

0

, x

x

równaniem

 

0

,



y

x

F

i

spełniająca warunek

 

0

0

y

x

f



posiada w pewnym otoczeniu punktu x

0

drugą pochodną.

Wzór na drugą pochodną funkcji uwikłanej

Na podstawie wniosku o pierwszej pochodnej funkcji uwikłanej

 
 

0

gdzie

,

,

,

'



















y

F

y

x

y

F

y

x

x

F

y

.

Stąd



2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

'

1

'

''









































































































































































































































































y

F

y

F

x

F

y

F

x

F

y

x

F

y

F

x

F

y

F

y

F

x

F

y

F

x

F

y

x

F

x

F

x

y

F

y

F

x

F

y

F

x

F

y

y

F

y

x

F

y

F

y

x

y

F

x

x

x

F

y

bo, na podstawie założeń o ciągłości drugiej pochodnej funkcji F, mieszane pochodne
cząstkowe są sobie równe.

3

Wniosek

Jeśli spełnione są założenia powyższego twierdzenia i dodatkowo jeśli

0

)

(

'

0



x

y

, to





0

,

0

0







y

x

x

F

, a stąd









0

0

0

0

2

2

0

,

,

)

(

''

y

x

y

F

y

x

x

F

x

y













.

Korzystając z powyższego wniosku można łatwo zbadać

ekstrema lokalne funkcji uwikłanej

f(x)

y



.

Pierwsza pochodna funkcji f musi być równa 0, czyli

























0

0

y

F

x

F

Stąd wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji F, a następnie wystarczy zbadać w każdym z

punktów stacjonarnych

)

,

(

0

0

y

x

P

wartość ilorazu

y

F

x

F









2

2

.

Wtedy, jeśli

0

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

2

2











y

x

y

F

y

x

x

F

, to funkcja uwikłana ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

P

maksimum

lokalne. Analogicznie, jeżeli iloraz ten jest mniejszy od 0, to funkcja uwikłana ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

P

minimum lokalne.

Przykład

(bez twierdzenia)

Niech





0

,

,



z

y

x

F

, gdzie

)

,

( y

x

z

z



.

Aby wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji

)

,

( y

x

z

z



różniczkujemy równanie





0

,

,



z

y

x

F

kolejno względem zmiennej x i y (x, y – zmienne niezależne)




























































































































z

F

y

F

y

z

z

F

x

F

x

z

y

z

z

F

y

F

x

F

x

z

z

F

y

F

x

F

0

1

0

0

0

1

dla

0







z

F

.

opracował Mateusz Targosz

4