Ruch wokół położenia równowagi trwałej
U( x )
1
"U = "Wzew = -"Wwew ' '' 2
U ( x) = U (0) + U (0) x + U (0) x
2
x
0
dU 1
''
U (x) = U (0) + U (0) x2
Fwew = -
2
dx
dx
dU
dU
dU 1
''
Fw ew = -
Fw ew = - = - Å" 2U (0) x = - k x
Ò!
dx
dx 2
Dla przypadku trójwymiarowego
Ciało wytrącone z położenia równowagi trwałej
ëÅ‚ dU dU dU öÅ‚
będzie wykonywało ruch okresowy wokół tego położenia
F = - Å" i + Å" j + Å" k = -"U
ìÅ‚ ÷Å‚
dx dy dz
íÅ‚ Å‚Å‚
Ruch wokół położenia równowagi trwałej
W pobliżu punktów równowagi energię potencjalną można przybliżyć
wyrażeniem
1
U ( x) = U (0) + k x2
2
Siła
Siła
dU
Fwew = -
dx
F = -k x
F = -k x
Jednorodne równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Ruch harmoniczny prosty
2
d x
+ É2x = 0
" W dowolnej chwili
dt2
F
F = -kx
F a
F = ma
a
a
k
m
RozwiÄ…zaniem sÄ… funkcje postaci
" Ale tutaj F = -kx
x
" Więc:
x = Acos(Ét +Ć)
x = Acos(Ét +Ć)
2
2
d x
d x
ma = m = -kx
dt2
Ä„
x = Asin(Ét +Ć - )
2
2
równanie ró\
niczkowe na x(t)
d x k
= - x
2
m
dt
2
d x
k
+ É2x = 0
É =
niech
dt2
m
Własności ruchu harmonicznego prostego x2
"U = -Ws = - (-kx)dx
+"
x1
Położenie cząstki w dowolnej chwili t:
1
2 2
"U = k(x2 - x1 )
2
x(t) = Acos(Ét +Ć)
ruch odbywa się wokół położenia
równowagi x=0, można przyjąć:
A& amplituda
É& czÄ™stość
É& czÄ™stość
U(0) = 0
U(0) = 0
Ć& faza początkowa
T& okres wówczas
(Ét + Åš)& faza
1
U(x) = kx2
2
2Ä„ k
F = -kx
É = =
T m Ec = U + Ek
Własności ruchu harmonicznego prostego Energia całkowita oscylatora harmonicznego
1 1
E = Ek + U = mv2 + kx2
2 2
x t = Acos Ét + Ć v t = -ÉAsin Ét + Ć
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
E = m îÅ‚-ÉAsin Ét + Ć Å‚Å‚ + k îÅ‚Acos Ét + Ć Å‚Å‚
( )ûÅ‚ ðÅ‚ ( )ûÅ‚
2 2
ðÅ‚
1
1
2 îÅ‚ Å‚Å‚
E = A2 ðÅ‚mÉ2 sin2 Ét + Ć + k cos2 Ét + Ć
( ) ( )ûÅ‚
2
Ek = m(ÉAsin(Ét + Ć ))
k
2
2
Ale É2 = k m skÄ…d
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
E = kA2 ðÅ‚sin2 Ét + Ć + cos2 Ét + Ć = kA2
( ) ( )ûÅ‚
2 2
1
2
Ep = kx2 1 1
E = kA2 = É mA2
2 2
2
Własności ruchu harmonicznego prostego
Ciało wytrącone z położenia równowagi trwałej
będzie wykonywało ruch okresowy wokół tego położenia
Wahadło matematyczne Wahadło fizyczne
F = -mg sin¸
dla małych kątów :
sin ¸ H" ¸
F = -mg sin¸ H" -mg¸
mg g
I
F = - L¸ = -m s = -ks
T = 2Ä„
mgh
mgh
L L
L L
k mg / L g
É = = =
m m L
2Ä„ L
T = = 2Ä„
É g
Wahadło torsyjne
M = -k¸
I
T = 2Ä„
T = 2Ä„
k
k
gdzie I jest momentem
bezwładności układu