Czwórniki RC i RL

Czwórniki RC i RL

Czwórnikiem nazywamy układ mający cztery zaciski, a dokładnie dwie pary
uporządkowanych zacisków. Jedna z tych par stanowi wejście, a druga wyjście
czwórnika.
Jedną z par zacisków nazywamy wejściem, a drugą wyjściem. Wielkości związane z
wejściem opatrujemy wskaźnikiem 1, a wielkości związane z wyjściem –
wskaźnikiem 2. Przeważnie do wejścia doprowadzone jest źródło energii, a na
wyjściu dołączony jest element odbiorczy.

We

Wy

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

Klasyfikacja czwórników

Czwórniki można podzielić na:

1.

liniowe i nieliniowe

2.

symetryczne i niesymetryczne

3.

odwracalne i nieodwracalne

3.

odwracalne i nieodwracalne

4.

pasywne i aktywne

Czwórnik liniowy występuje wtedy, gdy wszystkie elementy wchodzące w
jego skład są liniowe. Jeżeli czwórnik zawiera chociaż jeden element
nieliniowy wówczas jest on czwórnikiem nieliniowym.

Czwórnik jest symetryczny jeżeli po zamianie miejscami wejścia z wyjściem
nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie dołączonym do
wejścia i wyjścia czwórnika.

wejścia i wyjścia czwórnika.

Czwórnik odwracalny: jeżeli do zacisków wejściowych doprowadzone
zostanie idealne źródło napięcia E, które wywoła przepływ prądu I w
zwartym obwodzie wyjściowym, to po przeniesieniu tego źródła do
wyjścia, w zwartym obwodzie wejściowym też popłynie prąd I.

Czwórnik jest pasywny, jeżeli całkowita energia pobrana przez elementy
czwórnika po dołączeniu do jego zacisków źródła energii, jest nieujemna,
tzn. dodatnia lub równa zeru. Składa się zazwyczaj z rezystorów, cewek i
kondensatorów. Czwórnik pasywny zbudowany jest np. z rezystorów,
cewek i kondensatorów.

Czwórnik, który nie spełnia warunków podanych w definicji czwórnika
pasywnego, jest nazywany czwórnikiem aktywnym. Charakteryzuje się on
tym, że w jego schemacie zastępczym występuje źródło sterowane lub
niesterowane.

niesterowane.

We

Wy

R

L

C

Tranzystor p-n-p w układzie wspólnej bazy może by przedstawiony za pomocą
schematu zastępczego mającego strukturę

czwórnika zawierającego źródło

sterowane.

Również tranzystor pracujący w układzie o wspólnym kolektorze i w układzie o
wspólnym emiterze maj schematy zastępcze zawierające źródła sterowane. Czwórniki
pasywne są z reguły odwracalne, natomiast czwórniki aktywne s przeważnie
nieodwracalne.

Parametry robocze czwórników

•

Admitancja wejściowa y

in

:

Jest to admitancja widziana na zaciskach wejściowych czwórnika .

y

in

= I

1

/U

1

•

Admitancja wyjściowa y

out

:

Jest to admitancja widziana na zaciskach wyjściowych czwórnika w

Jest to admitancja widziana na zaciskach wyjściowych czwórnika w
warunkach , gdy prąd I

g

prądowego źródła sygnału lub napięcie U

g

napięciowego jest równe zero . Aby ją obliczyć należy żródło sygnału
dołączyć do zacisków wyjściowych , pozostawiając na wejściu admitancję
źródła Y

g

.

y

out

= I

2

/U

2

•

Wzmocnienie napięciowe k

u

: Wzmocnienie napięciowe jest definiowane

jako stosunek napięcia na zaciskach wyjściowych do napięcia na zaciskach
wejściowych czwórnika .

k

u

= U

2

/U

1

•

Wzmocnienie napięciowe skuteczne k

uef

: Wzmocnienie napięciowe

skuteczne jest definiowane jako stosunek napięcia na zaciskach
wyjściowych czwórnika do napięcia źródła sygnału .

k

uef

= U

2

/E

g

•

Wzmocnienie prądowe k

i

: Wzmocnienie prądowe jest definiowane

jako stosunek prądu wyjściowego do prądu wejściowego czwórnika

k

i

= I

2

/I

1

•

Wzmocnienie prądowe skuteczne k

ief

: Wzmocnienie prądowe

skuteczne jest definiowane jako stosunek prądu wyjściowego
czwórnika do prądu źródła sygnału .

k

ief

= I

2

/I

g

•

Wzmocnienie mocy k

p

: Wzmocnienie mocy jest

definiowane jako stosunek mocy czynnej P

2

wydzielonej na obciążeniu czwórnika do mocy czynnej
P

1

doprowadzonej do wejścia czwórnika .

k

p

= P

2

/P

1

•

Wzmocnienie mocy skuteczne k

pef

: Wzmocnienie mocy

skuteczne jest definiowane jako stosunek mocy czynnej
P

2

wydzielonej na obciążeniu czwórnika do mocy

dysponowanej P

gd

źródła .

k

pef

= P

2

/P

gd

Równania czwórników określają związki między prądami i napięciami na wej. I

wyj. czwórnika. Są to dwa równania liniowe mające współczynniki
uzależnione od parametrów czwórnika. Związki między napięciami i
prądami można ustalić za pomocą metody klasycznej wynikającej z obu
praw Kirchhoffa, metody oczkowej lub węzłowej.

Wyróżniamy sześć postaci równań czwórnika:

1.

Impedancyjną

Równania czwórników

1.

Impedancyjną

2.

Admitancyjną

3.

Łańcuchowa prostą

4.

Łańcuchową odwrotną

5.

Hybrydową (mieszaną)

6.

Hybrydową odwrotną

Do opisu czwórników pasywnych najczęściej stosuje się postać
łańcuchową. Opisując czwórniki aktywne, zwłaszcza formułując
równania tranzystora, korzysta się z postaci hybrydowej.
Parametry wchodzące do którejkolwiek z wymienionych postaci równań
czwórnika wyznacza się na podstawie znajomości struktury czwórnika i
wartości impedancji lub admitancji gałęzi tworzących tę strukturę.

Równania czwórników

1.

Postać impedancyjna:

U

1

= Z

11

I

1

+ Z

12

I

2

U

2

= Z

21

I

1

+ Z

22

I

2

2.

Postać łańcuchowa:

U

1

= A U

2

+ B I

2

U

1

= A U

2

+ B I

2

I

2

= C U

2

+ D I

2

3.

Postać hybrydowa:

U

1

= h

11

I

1

+ h

12

U

2

I 2 = h

21

I

1

+ h

22

U

2

Stany pracy czwórnika

Wyróżnia się trzy stany pracy czwórnika. Są to:

1.

Stan jałowy

2.

Stan zwarcia

3.

Stan obciążenia

Stan jałowy

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

W stanie jałowym I

2

= 0

Równania mają postać:

U

= A U

U

1o

= A U

2o

I

1o

= C U

2o

Stąd:

A = U

1o

/ U

2o

Parametr A stanowi przekładnię napięciową czwórnika w stanie jałowym.

Stan zwarcia

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

U

2

= 0

Równania mają postać:

U

= B I

U

1z

= B I

2z

I 1z = D I

2z

D = I

1z

/ I

2z

Parametr D jest przekładnią prądową czwórnika w stanie zwarcia.

Stan obciążenia

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

Z

o

W stanie obciążenia równania wyglądają następująco:

W stanie obciążenia równania wyglądają następująco:

U

1

= A U

2

+ B I

2

I

1

= C U

2

+ D I

2

Schematy zastępcze czwórników

U

1

U

2

I

1

I

2

I’

Z

1

Z

2

Y

U’

Typu T

Czwórniki, jako schematy zastępcze wielu urządzeń, można prawie zawsze
przedstawić za pomoc trzech impedancji tworzących struktur jak na rysunku:

U

1

U

2

I

1

I

2

Z

Y

1

Y

2

U’

Typu Π

Czwórnik przedstawiony na rysunku wyższym, nazywamy czwórnikiem typu
(kształtu) T, a czwórnik z rysunku niższego – czwórnikiem typu

Π

. Pierwszy z tych

czwórników nazywany jest też czwórnikiem gwiazdowym, gdy jego gałęzie tworzą
gwiazdę, a drugi nazywany jest czwórnikiem trójkątowym, gdy połączenie
elementów odpowiada połączeniu w trójkąt.
W odniesieniu do gałęzi wzdłużnych posługujemy się pojęciem impedancji gałęzi, a

W odniesieniu do gałęzi wzdłużnych posługujemy się pojęciem impedancji gałęzi, a
w odniesieniu do gałęzi poprzecznej – pojęciem admitancji.

Połączenia czwórników

Rozróżniamy trzy podstawowe układy połączeń czwórników:

1.

Kaskadowe – zwane też łańcuchowym,

2.

Równoległe,

3.

Szeregowe.

Połączeniem kaskadowym czwórników nazywamy takie połączenie, przy
którym zaciski wyjściowe pierwszego czwórnika są przyłączone do

którym zaciski wyjściowe pierwszego czwórnika są przyłączone do
zacisków wejściowych drugiego czwórnika.

[a] = [a1] × [a2]

Połączeniem równoległym (lewa strona rysunku) czwórników nazywamy takie
połączenie, przy którym zaciski wejściowe pierwszego czwórnika są połączone z
zaciskami wejściowymi drugiego czwórnika, jak również zaciski wyjściowe
pierwszego czwórnika są połączone z zaciskami wyjściowymi drugiego
czwórnika.

Połączeniem

szeregowym

(prawa

strona

rysunku)

dwóch

czwórników

nazywamy takie polaczenie, przy którym zacisk 1` pierwszego czwórnika jest
połączony z zaciskiem 1 drugiego czwórnika, jak również zacisk 2` pierwszego
czwórnika jest połączony z zaciskiem 2 drugiego czwórnika.

Stany nieustalone

Stany nieustalone

Warunki początkowe

Stanem początkowym obwodu nazywa się stan, w którym wszystkie napięcia i
prądy w obwodzie są równe zeru. Warunki początkowe są wtedy zerowe.

Komutacją nazywa się zmiany stanu w obwodzie zachodzące w pewnej określonej
chwili, spowodowane np. włączaniem lub odłączaniem dodatkowej gałęzi do
obwodu.

Z takim zjawiskiem związane są dwa prawa zwane prawami komutacji.

Pierwsze prawo komutacji mówi, że prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może
zmienić się „skokiem” i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w
chwili tuż po komutacji. Pierwsze prawo komutacji nazywane jest też zasadą
ciągłości prądu i strumienia magnetycznego w cewce.

Zgodnie z drugim prawem komutacji napięcie na kondensatorze nie może
zmienić się „skokiem” i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w

zmienić się „skokiem” i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w
chwili tuż po komutacji. Prawo to jest także nazywane zasadą ciągłości napięcia i
ładunku na pojemności.

Stan nieustalony w dwójniku RL

Włączenie napięcia stałego

i

u

u

W

R

L

u

u

R

u

L

Przebiegi

i

t

i

U
R

Prąd w funkcji czasu:

t

u, u

R

, u

L

t

u

R

U

u

L

Napięcie na cewce i rezystorze w funkcji czasu:

Sposoby określania stałej czasowej

i

U
R

1. Metoda graficzna:

0,63 i

ust

.

t

τ

2. Stała czasowa jest to czas, po którym prąd w cewce osiągnie wartość
0,63 i

ust.

(63% i

ust.

). Przyjmuje się, że prąd ustalony będzie po czasie

równym 4τ÷5τ.

3. Ze wzoru:

τ = L / R [s]

Zwarcie obwodu RL przy warunku początkowym
niezerowym

i

u

u

R

L

W

u

u

R

u

L

Przebiegi

i

t

U
R

u, u

R

, u

L

t

u

R

U

u

L

-U

u

R

u

L

Sposoby określania stałej czasowej

1. Metoda graficzna:

i

t

U
R

τ

0,37 i

ust.

t

τ

2. Stała czasowa jest to czas, po którym prąd w cewce osiągnie wartość
0,37 i

ust.

(37% i

ust.

). Przyjmuje się, że prąd ustalony będzie po czasie

równym 4τ÷5τ.

3. Ze wzoru:

τ = L / R [s]

Stan nieustalony w dwójniku RC

Włączenie napięcia stałego

i

u

u

W

R

C

u

u

R

u

C

Przebiegi

i

t

i

U
R

u, u

R

, u

C

t

u

C

U

u

R

Sposoby określania stałej czasowej

1. Metoda graficzna:

u, u

R

, u

C

t

u

C

U

u

R

0,63 u

ust

.

t

2. Stała czasowa jest to czas, po którym napięcie na kondensatorze
osiągnie wartość 0,63 u

ust.

(63% u

ust.

). Przyjmuje się, że napięcie ustalone

będzie po czasie równym 4τ÷5τ.

3. Ze wzoru:

τ = RC [s]

Zwarcie obwodu RL przy warunku początkowym
niezerowym

i

u

R

u

C

W

u

u

R

u

C

Przebiegi

t

i

U
R

u, u , u

t

u, u

R

, u

C

t

U

-U

u

C

u

R

Sposoby określania stałej czasowej

1. Metoda graficzna:

u, u

R

, u

C

t

U

u

C

u

0,37 u

ust.

t

-U

u

R

2. Stała czasowa jest to czas, po którym napięcie na kondensatorze
osiągnie wartość 0,37 u

ust.

(37% u

ust.

). Przyjmuje się, że napięcie ustalone

będzie po czasie równym 4τ÷5τ.

Przebiegi w czwórnikach RC

Przebiegi w czwórnikach RC

Układ różniczkujący

R

C

U

1

U

2

R

C

U

1

U

2

Układ całkujący

Wymuszenie prostokątne jednego znaku

u

C

u

R

Różniczkujący

u, u

R

, u

C

t

U

-U

u

C

u

R

Całkujący

u, u

R

, u

C

t

U

-U

Wymuszenie prostokątne zmiennego znaku

Różniczkujący

u

C

u, u

R

, u

C

U

u

R

t

-U

-2U

Całkujący

u

C

u, u

R

, u

C

t

U

u

R

-U

-2U

Filtry częstotliwościowe

Filtry częstotliwościowe

Filtr dolnoprzepustowy RC

Zadanie tego filtru polega na:

•

przenoszeniu, bez tłumienia, składowych widma sygnału
wejściowego leżących w dolnej jego części

•

tłumieniu składowych widma sygnału wejściowego leżących w
górnej jego części

R

C

U

we

U

wy

I

we

f

|k

u

|

|k

u

|

log

1

-20

-3

0

0,1

0,707

0,1f

g

f

g

100f

g

10f

g

Charakterystyka amplitudowa

-20

-40

0,01

0,1

f

φ

arg(k

u

)= φ

0

-

π

/

4

-3

0

-45

o

0,1f

g

f

g

100f

g

10f

g

Charakterystyka fazowa

-90

o

-

π

/

2

Filtr dolnoprzepustowy jest czwórnikiem całkującym i wprowadza ujemne
przesunięcie fazowe, które dla f

g

wynosi –45

o

.

Filtr górnoprzepustowy RC

Zadanie tego filtru polega na:

•

przenoszeniu, bez tłumienia, składowych widma sygnału
wejściowego leżących w górnej jego części

•

tłumieniu składowych widma sygnału wejściowego leżących w
dolnej jego części

R

C

U

we

U

wy

I

we

Charakterystyka amplitudowa

f

|k

u

|

|k

u

|

log

1

-20

-3

0

0,1

0,707

0,1f

d

f

d

100f

d

10f

d

-20

-40

0,01

0,1

Charakterystyka fazowa

φ

arg(k

u

)= φ

-

π

/

4

-3

0

-90

o

-45

o

f

0

0,1f

d

f

d

100f

d

10f

d

-

π

/

2

Filtr górnoprzepustowy RC wprowadza przesunięcie fazowe +45

o

.

Filtr środkowoprzepustowy

Zadanie tego filtru polega na:

•

przenoszeniu, bez tłumienia, składowych widma sygnału
wejściowego leżących w paśmie przenoszenia

•

tłumieniu składowych widma sygnału wejściowego leżących poza
tym pasmem

tym pasmem

U

we

U

wy

R

R

C

C

Filtr środkowoprzepustowy nie wprowadza przesunięcia fazowego.

Filtr środkowozaporowy

Zadanie tego filtru polega na:

•

tłumieniu składowych widma sygnału wejściowego leżących w
paśmie zaporowym

•

przenoszenie składowych części widma leżących poza tym pasmem

•

przenoszenie składowych części widma leżących poza tym pasmem

R

R

R/2

C

C

2C

U

we

U

wy

R/2

Filtry

Filtrem nazywamy układ o strukturze czwórnika, który przepuszcza bez
tłumienia lub z małym tłumieniem napięcia i prądy o określonym paśmie
częstotliwości, a tłumi napięcia i prądy leżące poza tym pasmem.

Pasmo częstotliwości, które filtr przepuszcza bez tłumienia nazywamy
pasmem przepustowym, a pasmo częstotliwości, które filtr tłumi nazywamy
pasmem tłumieniowym. Częstotliwość, która oddziela pasmo przepustowe
od pasma tłumieniowego nazywamy częstotliwością graniczną filtra.

od pasma tłumieniowego nazywamy częstotliwością graniczną filtra.

Podział filtrów

Ze względu na przeznaczenie filtry można podzielić na cztery podstawowe rodzaje:

•

dolnoprzepustowe

•

górnoprzepustowe

•

środkowoprzepustowe

•

środkowozaporowe

Ze względu na konstrukcję i rodzaj działania filtry można podzielić na:

•

pasywne – nie zawierają elementów dostarczających energii do obwodu
drgającego, zawierają tylko elementy RLC

–

jednostopniowe

–

wielostopniowe

•

aktywne – zawierają zarówno elementy RLC, jak również i elementy dostarczające
energię do filtrowanego układu np. wzmacniacze, układy nieliniowe.

Filtry można również podzielić na typy obwodów w jakich są używane:

•

analogowe

•

analogowe

•

cyfrowe

Każdy z tych układów ma inne zastosowanie i w związku z tym inną konstrukcję.
Realizacje układowe filtrów mogą być bardzo różne, od prostych do bardzo
złożonych, wykorzystujących tylko elementy bierne (cewki, kondensatory i
rezystory) lub aktywne (uzupełnione o wzmacniacze).

Parametry filtrów

Dziedzina częstotliwości:

Charakterystyka amplitudowa- zależność wzmocnienia od częstotliwości; na
rysunku przedstawiona jest charakterystyka amplitudowa filtru
dolnoprzepustowego.

Pasmo przepustowe - zakres częstotliwości sygnałów przechodzących przez filtr
bez znacznego tłumienia. Najczęściej przyjmuje się, że krańcem pasma
przepustowego jest częstotliwość, dla której wzmocnienie filtru maleje o 3dB. Są
jednak filtry (o charakterystyce "równomiernie falistej") o nieco inaczej
zdefiniowanej częstotliwości krańcowej pasma przepustowego. Charakterystyka
amplitudowa filtru może nie być płaska, czyli może być nierównomierna (falista) w
obrębie pasma przepustowego. Definiuje się więc nierównomierność
charakterystyki w paśmie przepustowym, jak pokazano na rysunku.

Częstotliwość graniczna - częstotliwość krańcowa pasma przepustowego.
Sygnały o częstotliwościach z pasma zaporowego są znacząco tłumione
przez filtr. Początek pasma zaporowego definiuje się przez przyjęcie
pewnej minimalnej wartości tłumienia sygnałów. może to być na przykład
40dB.

Charakterystyka

fazowa

-

zależność

przesunięcia

fazy

sygnału

wejściowego filtru względem sygnału doprowadzonego do jego wejścia od
częstotliwości

tych

sygnałów.

Przedmiotem

zainteresowania

jest

częstotliwości

tych

sygnałów.

Przedmiotem

zainteresowania

jest

zespolona charakterystyka częstotliwościowa filtru, oznaczana zwykle
symbolem H(s), s=jw, gdzie H, s i w są liczbami zespolonymi. Ważność
charakterystyki fazowej filtru wynika z faktu, że jeśli składowe sygnału
wyjściowego, których częstotliwości całkowicie mieszczą się w paśmie
przepustowym filtru, są różnie opóźnione po przejściu przez filtr, to sygnał
wyjściowy filtru będzie zniekształcony. Stałość czasu opóźnienia sygnałów
o

rożnych

częstotliwościach

odpowiada

liniowemu

narastaniu

przesunięcia fazy w funkcji częstotliwości.

Stąd termin filtr o liniowym przesunięciu fazy odnosi się do filtru o
idealnej charakterystyce fazowej. Na rysunkach przedstawione są wykresy
przesunięcia fazy oraz czasu opóźnienia w funkcji częstotliwości dla filtru
dolnoprzepustowego, który jak widać nie jest filtrem o liniowym
przesunięciu fazy. Charakterystyki fazowe najlepiej jest rysować dla
liniowo wyskalowanej osi częstotliwości.

Dziedzina czasu:

Podobnie

jak

wszystkie

układy

zmiennoprądowe,

również

filtry

można

charakteryzować parametrami w dziedzinie czasu: czasem narastania, amplitudą
pierwszej oscylacji (przerzutem), czasem ustalania się odpowiedzi na wejściowy
skok napięcia. Znajomość tych parametrów jest szczególnie ważna wtedy, gdy
sygnałami wejściowymi filtru są skoki lub impulsy. Na poniższym rysunku
przedstawiona jest typowa odpowiedź filtru na wejściowy sygnał skoku

Czas narastania - czas upływający między chwilą pojawienia się skoku na wejściu a
chwilą, w której odpowiedź układu osiągnie 90% wartości stanu ustalonego.

Czas ustalania - czas upływający do chwili, gdy odpowiedź znajduje się w
uprzednio zdefiniowanym obszarze wokół wartości ustalonej i więcej poza granice
tego obszaru nie wyjdzie.

Oscylacje, amplituda pierwszej oscylacji - są to pojęcia nie wymagające
specjalnych

wyjaśnień.

Występowanie

oscylacji

jest

niepożądaną

cechą

odpowiedzi filtru.