4
Zadanie 7. Obliczyć granicę
x
x
x
1
)
(ln
lim
∞
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać ∞
0
. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-
mu.
0
ln
1
1
lim
1
1
ln
1
lim
)
ln(ln
lim
)
ln(ln
lim
)
ln(ln
1
lim
)
ln(ln
lim
1
=
⋅
=
⋅
=
=
=
⋅
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Stąd
1
)
(ln
lim
0
1
=
=
∞
→
e
x
x
x
.
4.5. Zadania różne
Zadanie 8. Obliczyć granicę
x
x
x
ctg
lim
0
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞. Sprowadzamy je do postaci
0
0
.
1
cos
lim
cos
1
1
lim
tg
lim
0
0
tg
lim
ctg
1
lim
ctg
lim
2
0
2
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
=
→
→
→
→
→
→
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Zadanie 9. Obliczyć granicę
x
x
x
ctg
0
)
sin
1
(
lim
−
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 1
∞
. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-
mu.
=
=
−
=
−
=
∞
⋅
=
−
=
−
→
→
→
→
0
0
tg
)
sin
1
ln(
lim
ctg
1
)
sin
1
ln(
lim
0
)
sin
1
ln(
ctg
lim
)
sin
1
ln(
lim
0
0
0
ctg
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
sin
1
cos
lim
cos
1
)
cos
(
sin
1
1
lim
tg
)
sin
1
ln(
lim
3
0
2
0
0
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
.
Stąd
e
e
x
x
x
1
)
sin
1
(
lim
1
ctg
0
=
=
−
−
→
.
5
Zadanie 10. Obliczyć granicę
x
x
x
tg
0
)
(sin
lim
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać
0
0 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-
mu.
=
∞
∞
=
=
=
∞
⋅
=
=
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ctg
)
ln(sin
lim
tg
1
)
ln(sin
lim
0
)
ln(sin
tg
lim
)
ln(sin
lim
0
0
0
tg
0
0
)
cos
(sin
lim
sin
1
cos
sin
1
lim
ctg
)
ln(sin
lim
0
2
0
0
=
⋅
−
=
−
⋅
=
=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
.
Stąd
1
)
(sin
lim
0
tg
0
=
=
→
e
x
x
x
.
Zadanie 11. Obliczyć granicę
x
x
x
tg
0
)
ctg
(
lim
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać
0
∞
. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę loga-
rytmu.
=
∞
∞
=
=
=
∞
⋅
=
=
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ctg
)
ctg
ln(
lim
tg
1
)
ctg
ln(
lim
0
)
ctg
ln(
tg
lim
)
ctg
ln(
lim
0
0
0
tg
0
0
ctg
1
lim
ctg
ctg
ctg
1
lim
ctg
)
ctg
ln(
lim
0
0
0
=
=
⋅
=
=
→
→
→
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
.
Stąd
1
)
ctg
(
lim
0
tg
0
=
=
→
e
x
x
x
.
Zadanie 12. Obliczyć granicę
)
ln
tg
(
lim
0
x
x
x
⋅
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞.
=
=
−
=
−
=
=
∞
∞
=
=
=
⋅
→
→
→
→
→
→
0
0
sin
lim
sin
1
1
lim
ctg
ln
lim
ctg
ln
lim
tg
1
ln
lim
)
ln
tg
(
lim
2
0
2
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
1
cos
sin
2
lim
sin
lim
0
2
0
=
⋅
−
=
−
=
→
→
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
.
6
Zadanie 13. Obliczyć granicę
)
2
ctg
(sin
lim
0
x
x
x
⋅
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞.
2
1
2
cos
cos
lim
2
1
2
2
cos
1
cos
lim
2
tg
sin
lim
0
0
2
tg
sin
lim
2
ctg
1
sin
lim
)
2
ctg
(sin
lim
2
0
2
0
0
0
0
0
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
=
⋅
→
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Zadanie 14. Obliczyć granicę
x
x
x
sin
1
0
)
sin
1
(
lim
−
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać
∞
1 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-
mu.
=
=
−
=
∞
⋅
=
−
⋅
=
−
→
→
→
0
0
sin
)
sin
1
ln(
lim
0
)
sin
1
ln(
sin
1
lim
)
sin
1
ln(
lim
0
0
sin
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
sin
1
1
lim
cos
)
cos
(
sin
1
1
lim
sin
)
sin
1
ln(
lim
0
0
0
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
→
→
→
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
.
Stąd
e
e
x
x
x
1
)
sin
1
(
lim
1
sin
1
0
=
=
−
−
→
.
Zadanie 15. Obliczyć granicę
x
x
x
tg
0
)
cos
1
(
lim
−
→
.
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać
0
0 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-
mu.
=
∞
∞
=
−
=
−
=
∞
⋅
=
−
=
−
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ctg
)
cos
1
ln(
lim
tg
1
)
cos
1
ln(
lim
0
)
cos
1
ln(
tg
lim
)
cos
1
ln(
lim
0
0
0
tg
0
=
−
−
=
=
−
−
=
−
⋅
−
=
−
=
→
→
→
→
)
cos
1
(
sin
lim
0
0
cos
1
sin
lim
sin
1
sin
cos
1
1
lim
ctg
)
cos
1
ln(
lim
3
0
3
0
2
0
0
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
0
cos
sin
lim
2
sin
cos
sin
2
lim
0
2
0
=
⋅
−
=
⋅
−
=
→
→
x
x
x
x
x
x
x
.
Stąd
1
)
cos
1
(
lim
0
tg
0
=
=
−
→
e
x
x
x
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4. Wyrazenia nieoznaczone. Regula de L' Hospitala, uzupelnienie str. 4, 6
9 Reguła de L'Hospitala Symbole nieoznaczone
9 Reguła de L Hospitala Symbole nieoznaczone
AMI 22 Regula De L'Hospitala i Nieznany (2)
(3655) reguła de l hospitala
AMI 22 Reguła De L Hospitala
11 Reguła de l Hospitala Równość asymptotyczna
9 Regula de LHospitala Symbole nieoznaczone
5 Rózniczka, wzór Taylora, tw de L'Hospitala
11 Reguła de
060 Tw de L'Hospitala, badanie funkcji
de l'Hospital
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych oblicz podane granice
Sem 1. Wykład, Wyrażenia Nieoznaczone
AM I, am6 pochodna 2, OBLICZANIE GRANIC WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH TYPU ,
5 Rózniczka, wzór Taylora, tw de L'Hospitala
więcej podobnych podstron