Zadanie III 30
Wykorzystując równanie stanu dla gazu fotonowego oblicz objętościową gęstość zasobu energii ε i ciśnienie
promieniowania p dla temperatury T

s

=6000 [K] oraz dla temperatury T=10

7

[K]. Wiedząc ,że stała Plancka

h=6,6262*10

-34

[J*s], stała Boltzmana k=1,3806*10

-23

[J/K], prędkość światła w próżni c=3*10

8

[m/s].

Dane: Szukane
T

s

=6000 [K]

=

IV

ε

?

T=10

7

[K] p=?

h=6,6262*10

-34

[J*s]

k=1,3806*10

-23

[J/K]

c=3*10

8

[m/s]

Prawo Stefana Boltzmana

R

T

=σT

4

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

−

4

3

8

2

3

4

5

10

*

67

,

5

14

2

sK

m

J

c

h

k

π

σ

Funkcja rozkładu widmowego

( )

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

m

s

m

J

kT

hc

hc

c

R

T

T

1

*

1

exp

2

4

*

2

5

2

λ

λ

π

λ

ρ

λ

( )

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

Hz

s

m

J

kT

h

c

h

c

R

T

T

1

*

1

exp

2

4

*

2

2

2

ν

ν

ν

ρ

ν

Funkcja rozkładu widmowego

( )

( )

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

=

m

m

J

kT

hc

hc

E

n

T

1

*

1

exp

2

2

5

λ

λ

π

λ

λ

ε

λ

ρ

λ

λ

λ

Średni zasób energii promieniowania

( )

[ ]

J

kT

h

h

E

1

exp

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ν

ν

ν

( )

[ ]

J

kT

hc

hc

E

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

exp

4

λ

λ

Objętościowa gęstość zasobu emitowania

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

∫

3

4

m

J

T

d

IV

β

λ

λ

ε

ε

λ

3

3

4

5

15

8

c

h

k

π

β

=

Uwzględniając ,że ciśnienie gazu w teorii kinetycznej określona jest wzorem :

2

3

1

ϑ

mn

p

=

m – masa cząsteczki gazu w kilogramach [kg]
n – objętość gęstości zasobu masy [1/m^3]

f

m

- uśredniona masa spoczynkowa fotonu

2

3

1

nc

m

p

f

=

ν

nh

E

h

=

h=0,1,2,3,……

Średni zasób energii fotonu może być oznaczany:

( )

( )

λ

ϑ

E

E

=

( )

( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

=

=

=

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

1

exp

1

exp

*

*

0

0

0

kT

hc

c

h

kT

h

h

kT

En

Bf

E

E

f

E

E

E

E

n

n

n

n

n

n

n

λ

λ

ν

ν

λ

ϑ

Funkcja rozkładu widmowego średniego zasobu energii

( ) ( )

( ) ( )

( )

λ

ε

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

=

n

m

c

n

E

f

2

( )

( ) ( )

λ

λ

λ

λ

λ

ε

λ

λ

d

n

m

c

d

f

2

=

( )

( ) ( )

∫

∫

∞

∞

=

0

0

2

λ

λ

λ

λ

λ

ε

λ

λ

d

n

m

c

d

f

n

m

c

f

IV

2

=

ε

4

T

IV

β

ε

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

−

4

3

16

10

*

56

,

7

4

K

m

J

c

σ

β

T

s

=6000 [K]

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

3

98

,

0

m

J

ε

p = 3*10

-6

[atm]

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

3

12

10

*

56

,

7

m

J

ε

[ ]

atm

p

IV

7

10

*

5

,

2

3

1

=

=

ε