Instytut Robotyki i In»ynierii Oprogramowania

Wy»sza Szkoªa In»ynierska w Zielonej Górze

Laboratorium Systemów Przetwarzania Numerycznego i Symbolicznego

Wektory i macierze (c.d.). Elementy graki 2-D.

Program ¢wiczenia obejmuje nast¦puj¡ce zadania:

1. Zmienn¡ x mo»na skasowa¢ wprowadzaj¡c instrukcj¦ instrukcji:

>> x = [ ]

lub

>> clear x

Jaka jest ró»nica mi¦dzy tymi poleceniami? Przy okazji zapozna¢ si¦ z funkcjami exist i isempty.

2. Dany jest wektor x zawieraj¡cy elementy x

1

, . . . , x

n

. Zapisa¢ instrukcje, które w mo»liwie najprostszy

sposób oblicz¡:

(a) x

1

x

n

+ x

2

x

n

−1

+ . . . + x

n

x

1

;

(b) (x

1

+ x

n

)(x

2

+ x

n

−1

) . . . (x

n

+ x

1

)

;

(c) (x

1

+ x

2

+ 2x

n

)(x

2

+ x

3

+ 2x

n

−1

) . . . (x

n

−1

+ x

n

+ 2x

2

)

.

3. W mo»liwie najprostszy sposób utworzy¢ poni»sze tablice:









0

0

0

. . .

0

0

1

0

. . .

0

0

0

2

. . .

0

. . .

0

0

0

. . .

9









,













2

1

0

. . .

0

0

1

2

1

. . .

0

0

0

1

2

. . .

0

0

... ... ... ...

0

0

0

...

2

1

0

0

0

0

1

2













|

{z

}

10 kolumn

,









1

2

3

. . .

10

0

1

2

. . .

9

0

0

1

. . .

8

. . .

0

0

0

. . .

1









4. Jak posortowa¢ elementy wektora x w porz¡dku malej¡cym (funkcja sort wykonuje to w porz¡dku

rosn¡cym)?

5. Dla x ∈ [−1, 1] narysuj w tym samym ukªadzie wspóªrz¦dnych wykresy funkcji: f

1

(x) = x

, f

2

(x) = x

3

,

f

3

(x) = x

5

.

Nada¢ osi odci¦tych nazw¦ x, a osi rz¦dnych nazw¦ y. Caªemu rysunkowi nada¢ tytuª Funkcje

pot¦gowe. Ponadto u»y¢ funkcji text do umieszczenia w odpowiednich miejscach na rysunku opisów

odpowiednich wykresów (tzn. napisów 'y=x', 'y=x^3', oraz 'y=x^5'). Co spowoduje wywoªanie funkcji

grid?

6. Narysowa¢ wykres funkcji f

1

(t) = sin(t)

dla t ∈ [0, 2π]. Nast¦pnie na tym samym rysunku i w tym

samym ukªadzie wspóªrz¦dnych dorysowa¢ wykres funkcji f

2

(t) = sin(t + 0.25)

(jak to robi¢ bez zmaza-

nia wykresu ju» istniej¡cego?). Nast¦pnie doda¢ jeszcz¦ wykres funkcji f

3

(t) = sin(t+0.5)

. W rezultacie

na jednym wykresie powinny by¢ widoczne trzy przesuni¦te w fazie sinusoidy.

1

7. Wygenerowa¢ losowo przy u»yciu funkcji randn (nb. czym ró»ni si¦ ona od funkcji rand?) macierz

A

∈ R

20

×20

, a nast¦pnie okre±li¢ wektor λ jej warto±ci wªasnych.

Jak zinterpretowa¢ rezultat wykonania polecenia plot(lambda,'x')?

8. Na jednym rysunku umie±ci¢ jeden pod drugim wykresy funkcji f

1

(θ) =

Re [exp(jθ)] oraz f

2

(θ) =

Im [exp(jθ)] dla θ ∈ [0, 2π].

9. U»ywaj¡c odpowiednio procedur bar, stairs i stem narysowa¢ wykresy funkcji

(a) exp(−x

2

)

na siatce -2.9:0.2:2.9;

(b) sin(x) na siatce 0:0.25:10;

(c) sin(x

2

) exp(

−x) na siatce 0:0.1:4.

W jakich sytuacjach powy»sze procedury mog¡ okaza¢ si¦ po»yteczne?

10. Narysowa¢ trójk¡t, kwadrat i okr¡g, a ich wn¦trza wypeªni¢ odpowiednio kolorami czerwonym, zielonym

i niebieskim.

11. Prosz¦ zapozna¢ si¦ z opisem procedury fplot, a nast¦pnie przy jej u»yciu narysowa¢ wykres funkcji

cos(tg(πx))

w przedziale [0, 1]. Dlaczego fplot jest w tym przypadku bardziej odpowiednie ni» plot?

12. Równania orbity Merkurego wzgl¦dem Ziemi s¡ okre±lone równaniami

x(t)

=

93 cos t + 36 cos 4.15t

y(t)

=

93 sin t + 36 sin 4.15t

Narysowa¢ odpowiedni wykres we wspólrz¦dnych (x, y). Przyj¡¢, »e t ∈ [0, 44π/3] i do oblicze« wzi¡¢

punkty z tego przedziaªu z krokiem π/360. Otrzymany wykres nosi nazw¦ epitrochoidy.
Jak spowodowa¢ aby dªugo±ci obu osi na ekranie byªy jednakowe (ekran powoduje, »e zamiast kwadratu

widzimy prostok¡t)?

13. Narysowa¢ we wspóªrz¦dnych biegunowych wykres funkcji r = cos(2θ). Co spowoduje wywoªanie do-

datkowo funkcji grid?
Narysowa¢ równie» spiral¦ Archimedesa dan¡ wzorem r = kθ, gdzie k > 0.

14. Okr¡g na pªaszczyznie zespolonej o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu r jest okre±la

wzór z = re

jθ

. Narysowa¢ pi¦¢ koncentrycznych okr¦gów o promieniach 1, 2, 3, 4 i 5, u»ywaj¡c przy

tym pi¦ciu róznych typów (symboli).

15. Narysowa¢ poni»sze krzywe we wspóªrz¦dnych biegunowych dla 0 ≤ θ ≤ 2π.

(a) r = 3(1 − cos θ)

(b) r = 2(1 + cos θ)

(c) r = 2(1 + sin θ)

(d) r = cos 3θ

(e) r = exp

θ

4π

16. Celem zadania jest powtórzenie pewnych funkcji gracznych i matematycznych.

(a) Narysowa¢ wykres sygnaªu

y(t) = 1

− 2 exp (−t) sin (t), gdzie 0 ≤ t ≤ 8

O± odci¦tych X opisa¢ jako Czas, o± rz¦dnych Y jako Amplituda, a caªemu wykresowi nada¢

tytuª Wykªadniczo zanikaj¡ce oscylacje.

2

(b) Narysowa¢ wykres sygnaªu

y(t) = 5 exp (

−0.2t) cos (0.9t − 30

◦

) + 0.8 exp (

−2t), gdzie 0 ≤ t ≤ 30

(c) Dla 0 ≤ t ≤ 10 narysowa¢ przebiegi sygnaªów

y(t) = 1.23 cos (2.83t + 240

◦

) + 0.625 oraz x(t) = 0.625

na jednym wykresie i okre±li¢ y(t = 0) oraz y(t = 10).

(d) Dla 0 ≤ t ≤ 20 narysowa¢ na jednym wykresie przebiegi

y

1

(t)

=

2.62 exp (

−0.25t) cos (2.22t + 174

◦

) + 0.6

y

2

(t)

=

2.62 exp (

−0.25t) + 0.6

y

3

(t)

=

0.6

Ograniczy¢ wykres do warto±ci y pomi¦dzy -2 i +3. Znale¹¢ minimaln¡ i maksymaln¡ warto±¢

sygnaªu y

1

.

(e) Dla 0 ≤ t ≤ 25 narysowa¢ na jednym wykresie

y

1

(t)

=

1.25 exp (

−t)

y

2

(t)

=

2.02 exp (

−0.3t)

y

3

(t)

=

2.02 exp (

−0.3t) cos (0.554t − 128

◦

) + 1.25 exp (

−t)

Ograniczy¢ o± Y do zakresu od -0.2 do + 1 oraz o± X od 0 do 16. Znale¹¢ równie» nast¦puj¡ce

warto±ci dla sygnaªu y

3

(t)

: y(t = 0), y

min

, y

max

i y(t = 12).

17. Utworzy¢ wektor 101-elementowy, zawieraj¡cy na przemian elementy +1 i -1. Narysowa¢ elementy tego

wektora przy u»yciu instrukcji plot.

3